多速率濾波器組的研究進展

劉慶，楊俊杰

（1.廣東工業大學信息工程學院，廣州510009；2.廣東技術師范大學電子與信息學院，廣州510665）

0 引言

濾波技術在現代信號處理領域占據著舉足輕重的地位，信號的獲取、傳輸，以及處理和交換，都離不開濾波技術。濾波技術對于信號進行安全可靠和有效靈活的傳輸至關重要，且廣泛應用于通信、控制、測量、儀器儀表、語音、遙感、圖像處理等許多工程應用領域。而隨著信息技術的飛速發展，以濾波器組為關鍵技術的多速率信號處理成為了現代信號處理領域一個至關重要的研究方向。

事實上，多速率系統由線性時不變（Linear Time-Invariant，LTI）系統和二次采樣操作（例如下采樣或上采樣）組成。通常，多速率系統根據其操作模式分為兩種類型。第一種類型對應于濾波器組結構，即根據給定應用的要求，將原始輸入信號細分為不同的頻帶或通道。而第二種類型對應于多路復用濾波器（Transmultiplexer，TMUX）結構，即將多個信號組合成一個信號通過信道傳輸，在接收端再將這些信號分離處理，通常也稱為綜合/分析濾波器。

1 多速率濾波器組的基本概況

數字濾波器本質上就是一個頻率選擇網絡，該網絡選擇并調整與其他頻率相比的某些頻率插入，或者將預期間隔之外的所有頻率內容衰減。從根本上說，完成了濾波操作以提高信號質量。濾波的特性取決于濾波器的頻率響應，而濾波器的頻率響應由系統參數或系數計算得到。因此，通過適當地分配系統系數，可以根據給定的應用設計適當的頻率選擇網絡。所使用的兩種經典類型的數字濾波器是有限脈沖響應（Finite Impulse Response，FIR）和無限脈沖響應（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器，它們之間的FIR 數字濾波器由于易于執行，穩定性和線性設計而被廣泛用作數字信號處理系統的組成部分。

濾波器組主要由分析濾波器和合成濾波器組合而成。分析濾波器用于在頻域中將輸入信號劃分為不同的子帶集，每個子帶包括原始信號的某些頻率成分，這些子濾波器稱為分析濾波器。類似地，合成濾波器的由許多子濾波器構成，該子濾波器組合子帶信號并生成信號或重建信號。這些濾波器組可以分為兩種類型：基于用于信號分離的通道數的兩通道和M 通道濾波器組。

兩通道濾波器組由一個分析濾波器組成，其后是發送端的減采樣器，而增采樣器后接接收端合成濾波器。根據重構輸出的性能，兩通道濾波器組可以進一步分為近乎完全重構（Nearly Perfect Reconstructed，NPR）和完全重構（Perfectly Reconstructed，PR）濾波器組。NPR 兩通道濾波器組稱為常規正交鏡像濾波器組，其中重建的輸出和輸入信號不是彼此精確的復制。通常，在NPR 兩通道FB 中，分析和合成濾波器處于線性相位。在完全重構濾波器組中，可以消除三種類型的失真。這些濾波器組有一定的延遲，但是信號是原始信號的精確復制。

M 通道濾波器組將信號分為M 個子帶。根據通道帶寬的性質，M 通道濾波器組分為兩種方式：均勻和非均勻的M 通道濾波器組。而均勻的M 通道濾波器組分為三類：樹形結構，獨立的M 通道（并行濾波器組）和調制濾波器組。與兩通道濾波器組相比，抗混疊和完美重建的條件要復雜得多。根據信道帶寬以及二次采樣因子，將M 信道濾波器組進一步分為均勻和非均勻濾波器組。而基于余弦調制技術的M 通道濾波器組設計，由于使用了簡單的原型濾波器設計和快速離散余弦變換（Discrete Cosines Transform，DCT），余弦調制（Cosine Modulated，CM）濾波器組已在信號處理的許多應用中變得非常流行。

2 多速率濾波器組的主要進展

在過去的幾十年中，由于多速率濾波器組可以有效地降低信號的處理復雜度，所以在通信、圖像編碼、語音編碼等許多領域都有廣泛的應用，許多研究人員在多速率FB 設計領域進行了廣泛的研究。根據頻域中信號子帶分解所使用的通道數，多速率FB 分為兩通道和M 通道FB[1]。在信號重構的基礎上，多速率FB的研究又分為NPR 和PR FB 設計。此外，根據復合濾波器的相位，對NPR FB 的研究可分為線性和非線性相位FB。在線性相位兩通道多速率FB 或正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filter，QMF）組中，通過分別部署復合濾波器和線性相位FIR 濾波器的適當設計，可以消除混疊和相位失真，通過使用計算機輔助技術或優化技術可以將幅度失真最小化[1]。

在QMF 組中，由于分析和合成之間存在正交關系，濾波器的設計問題僅歸結為單獨的原型濾波器設計[1]。在這種情況下，已經有許多研究指定兩通道多速率FB 的原型濾波器[2]。這些設計方法可以進一步分為基于優化和非優化的方法。使用優化技術的設計問題被框架化為非線性單目標或多目標函數，這可以通過許多優化技術來解決，例如經典的迭代、非迭代[3-5]方法以及自然啟發式優化技術[6]。

1980 年，Johnston 提出了第一種用于設計雙通道FB 的對稱迭代方法[4]。在這種方法中，目標函數被構造為原型濾波器的加權和，具有阻帶誤差能量和紋波能量，并通過Hooke 和Jeaves 優化算法進行了優化[4]。此方法無法提供最佳解決方案，需要手動初始化。此外，Jain 和Crochiere[5]提出了一種具有相同目標函數的新穎設計方法。在文獻[5]中，已經消除了手動初始化，并且解決方案比文獻[4]中的解決方案更加優化，但是由于高度的非線性，它非常適合于高階濾波器組。而在這兩種算法中，重建誤差都不是等波紋。因此，Chen和Lee[7]引入了一種迭代技術來優化頻域中的目標函數，該算法會影響等波紋重構誤差。此外，研究人員基于文獻[8-9]引入了許多算法。這些算法在峰值重構誤差和計算時間方面優于文獻[7]中給出的算法，但是對于高階FB 設計，所有這些算法都是不可接受的。此后，Bregovic 和Saramaki[10-11]開發了一種用于設計兩通道FB 的兩步法，用于那些需要等波紋重構誤差和較小阻帶能量的應用。

發現以最小最大邏輯構造的設計問題需要更有效的優化技術。因為加權最小二乘最優化技術的代碼更小，并且分析式地傳送解決方案。因此，加權最小二乘最優化技術比其他常規技術更合適。所以，部分研究人員將加權最小二乘法引入了FB 設計領域[4]。在文獻[9]中，通過使用兩種迭代方法的無約束加權最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）方法解決了加權極小極大問題。此方法后來在計算時間和重構誤差方面進行了修改[8]。此后，WLS 技術已被各種研究廣泛應用，其目標函數，不同的參數和約束條件或使用不同的模型進行了修改[12]。

在這種情況下，引入了許多經典的迭代和WLS 技術，來有效地設計使用約束或無約束公式的QMF 組。在文獻[13]中，研究人員使用拉格朗日乘數法來優化非線性約束問題。在文獻[14]中，無約束優化方法已用于優化目標函數，這些目標函數被構造為重構誤差，阻帶殘余能量或通帶能量的線性或非線性組合。遺憾的是，上述所有討論的技術在峰值重建誤差（Peak Reconstruction Error，PRE）和計算復雜度方面都組織得不夠好。

在研究的早期階段，開發了幾種基于梯度的技術，例如Levenberg-Marquardt（LM）算法和準牛頓法[15]，以提高PRE 和計算效率。在文獻[15]中給出了一種通過采用Marquardt 優化技術來設計兩通道FB 的新方法。這個設計方法通過使用準牛頓（Quasi-Newton，QN）[16]和Levenberg-Marquardt（LM）方法[17]提高了PRE 和計算效率。與線性相位NPR QMF 設計相似，非線性相位和PR QMF 組中也報告了許多經典技術[13，27-28]。顯然，可以通過放棄線性相位或FB 的某些其他特性來達到PR 條件。由于本章精講線性相位NPR QMF 設計，因此這里不包括PR QMF 組的詳細信息。非線性和PR QMF 組的詳細信息在文獻[3]中進行了說明。

剛開始研究工作主要集中在設計兩通道FB 上，此后，由于兩通道FB 設計簡單且復雜度較低，因此研究工作擴展到設計多通道FB 上，尤其是基于調制的多通道FB 設計。文獻中列舉了許多調制技術，例如調制重疊變換，余弦調制，改進的離散傅立葉變換（Modified Discrete Fourier Transform，MDFT）技術等[18]。在不同類別的調制技術中，余弦調制技術因各種要求而更加流行。余弦調制的FB 也分為PR 和NPR 余弦調制（CM）的濾波器組。在NPR CMFBs 中，放寬PR 狀態以降低設計復雜度。此后，對具有此類特性的FB 進行了詳細研究，并開發了各種方法[19]以及提出了幾種有效的方法，從而促進NPR CMFBs 原型濾波器的高效設計。因此，在常規設計方法[18]中，必須在第2M 頻帶濾波器與原型濾波器的沖激響應系數中的一組二次約束之間建立關系。必須使用受約束的或不受約束的優化技術來盡可能減少原型濾波器的這些約束和阻帶衰減，但是這樣的操作非常耗時。由于該領域的不斷發展，一些具有更簡單的最小化成本函數的新程序已被開發。為了降低保守設計中的計算復雜度[18]，Creusere 和Mitra[19]提出了第一種系統線性搜索優化方法，通過每次迭代改變通帶頻率（ωp）設計CMFB 的原型濾波器。該方法在重建方面產生了改進的濾波器組性能。但是，它也存在收斂緩慢的問題。因此，這個算法不適用于具有較大抽頭的濾波器。為了提高效率和簡化性，Lim 和Vaidyanathan[20]提出了一種新的高效技術，通過部署Kaiser 窗函數來設計原型濾波器。通常，用加窗方式設計的FB 可以降低阻帶誤差，而通帶紋波應保持大約等于阻帶紋波[21]。因此，一些研究人員設計了一種基于加權約束最小二乘（Constraint Least Square，CLS）技術的新方法來設計給定通道重疊的CMFB。從以上文獻可知，已有部分學者提出了許多用于兩通道和M 通道FB 設計的常規技術。而這些常規技術的問題在于它們可能會困在局部極小值中。為了克服這個問題，部分研究人員采用了各種全局優化技術[22-26]，且大多數全局優化技術都是受自然現象驅動的，例如社會行為：鳥群、魚群學習、蜂群智能；和生物過程：繁殖、突變和相互作用。因此，這些算法也稱為自然啟發（Nature-Inspired，NIO）或群體優化技術（Swarm Optimization Techniques，SOTs）。因此，許多全局優化技術被用于設計高度優化的FB，例如遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）[23]，粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）及其不同的變體[24]，人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）算法[25]和自適應差分進化（Adaptive Differential Evolution，ADE）算法[26]。在這種情況下，在文獻[22]中，基于坐標旋轉的遺傳算法被用于兩通道濾波器組設計，在PSO 優化的基礎上，針對QMF 組提出了一種使用非線性無約束優化的新設計技術。后來一些研究人員提出了一種基于PSO 和ABC 算法的新混合技術，用于兩通道QMF 組設計。

近年來，一些研究人員提出了新的設計方法來優化數字濾波器和濾波器組的設計，這些方法不僅對硬件資源需求小，而且計算效率高[24，29]。研究人員使用了無乘法器的多速率濾波器組，由于乘法器是硬件電路中最消耗資源的組件，因此從電路中去掉乘法器可以降低總體資源成本。

從文獻回顧來看，很明顯多速率濾波器組在FB 設計領域取得了顯著進展，并且在FB 設計領域結合了各種受自然啟發的常規約束優化。這些方法存在計算時間較長和失真程度較高的問題。此外，無乘法器多速率濾波器組領域中的新研究趨勢吸引了許多研究人員去開發高效且資源優化的多速率系統。因此，FB 設計領域需要開發一種有效的方法，該方法可以最小化計算時間，重建誤差和混疊失真并同時利用最少的資源。

3 多速率濾波器組的未來研究方向

上面的討論表明，有很多研究應用于多速率濾波器組的設計。對于多速率系統的最新進展，本節討論了一些最新的研究方面，這些方面是基于同時利用自然激勵優化技術、分數導數、多相成分、小成分分析、濾波器的無乘法實現和濾波器組。最近，常規的整數導數約束已被用于設計各種FIR 濾波器，以提高指定頻率點的設計精度。但是，分數演算在許多工程應用（例如，電網、電磁理論、生物醫學應用、信號和圖像處理）中顯示出改進的性能。分數導數增加了通過減少上述控制問題中的收斂時間來改善控制性能的可能性。因此，在2012 年一些研究人員設計了一種基于分數導數約束（Fractional Derivative Constraints，FDCs）的設計線性相位FIR 濾波器的新技術。與傳統的最小二乘法和傳統導數方法相比，該技術可提供更平滑的通帶和阻帶區域。但是，它不是那么有效。迄今為止，有關分數導數的文獻表明，仍然需要一種有效的技術，該技術應使用FDC 和進化優化技術來設計不同類型的線性相位FIR 濾波器和更高階的多速率FB。文獻綜述還顯示，沒有可用于同時優化所有FDC 的方法。小數導數在多速率濾波器組設計領域也未使用。

數字濾波器的多相表示減少了計算復雜性和數據存儲是信號處理的重要進步。但是，根據當前文獻，沒有提出用于FIR 濾波器和多速率濾波器組的優化設計的方法。最佳多速率濾波器組設計的方法還存在許多探索的空間，我們認為，以下是幾個可能的方向：

（1）通過改進優化算法可以實現多速率濾波器的優化設計。可以采用兩種常規技術的混合組合，例如基于梯度的算法或群體優化方法，以改進濾波器組的優化算法。

（2）通過采用其他形式的分數階導數，例如Riemann-Liouville、M.Caputo，來獲得更優化的多速率濾波器組。

（3）改進的問題公式，例如L2，L1和L∞誤差函數的混合組合，也可以改善多速率濾波器組的響應。

（4）可以探索使用正則有符號數（Canonical Signed Digit，CSD）的公共子表達式消除技術（Common Subexpression Elimination，CSE）或其他加法器最小化技術的概念，以設計數字無乘法器FIR 濾波器，并且自此以來就沒有引入和分析無乘法器多速率濾波器組。

（5）尚未實現具有能夠滿足各種復雜的設計規范的靈活性的無乘法器和濾波器組的有效設計，這可以通過基于數學的算法的發展來探索。

（6）高效的多速率系統設計可用作5G 通信和其他通信技術的最佳收發系統。

（7）最佳濾波器組結構的概念可以用作基于濾波器組的傳感工具，或者可以為認知無線電，智能天線和無線傳感器網絡的頻譜共享和分配提供很大幫助。

4 結語

本文簡要對多速率濾波器組設計進行了詳細回顧，重點回顧了多速率濾波器組在優化設計方面的進展，也指出了目前存在的不足，并提出了未來研究的幾個方向。