離焦像邊界對(duì)曲率傳感精度影響研究

肖春生，安其昌

(1.中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023;2.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033)

1 引 言

大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡在近二十年來(lái)發(fā)展獲得了飛速發(fā)展，為了獲得更高的巡天效率與集光能力，其口徑與視場(chǎng)都在不斷擴(kuò)大[1-3]。國(guó)外已經(jīng)研制并成功運(yùn)行多臺(tái)大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡，8米級(jí)的大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡已經(jīng)投入建設(shè)[4-5]，而國(guó)內(nèi)尚未開(kāi)展2.5米以上的大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡研究，與國(guó)際先進(jìn)水平相比，不論是在占領(lǐng)“太空高地”保障國(guó)土安全方面，還是在探測(cè)存在撞擊威脅的小行星等天文學(xué)鄰域，均存在較大差距。為了進(jìn)一步提升大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡的探測(cè)能力，通過(guò)主動(dòng)光學(xué)對(duì)望遠(yuǎn)鏡中的各個(gè)主要部件進(jìn)行獨(dú)立、實(shí)時(shí)的面形校正與姿態(tài)控制，不僅可以降低對(duì)光學(xué)加工、系統(tǒng)裝配精度的要求，還可以有效地放寬對(duì)大型跟蹤架剛度的要求，降低系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)慣量[6-7]，最終實(shí)現(xiàn)更好的成像效果。與以往以查表為主的主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)相比，大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡閉環(huán)主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)具有校正頻率高及可調(diào)自由度多的特點(diǎn)[8]。結(jié)合大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡本身軸外像差敏感度高、焦面空間緊張的特點(diǎn)，亟需一種不附加過(guò)多元件，且可以覆蓋全部視場(chǎng)的焦面波前探測(cè)方法[9-10]。

目前，大口徑望遠(yuǎn)鏡波前傳感主要分為兩類(lèi)，分別為光瞳面波前傳感(探測(cè)器與入瞳共軛)包括哈特曼傳感器以及干涉儀，另一種探測(cè)方式為焦平面波前傳感，利用焦平面所獲得的圖像，對(duì)波前進(jìn)行恢復(fù)，這類(lèi)技術(shù)被統(tǒng)稱(chēng)為“相位恢復(fù)技術(shù)”(Phase Retrieval, PR),包括曲率傳感器，相位差異(Phase Diversity，PD)等。曲率傳感技術(shù)在近年來(lái)運(yùn)行的大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡上，均有成功應(yīng)用[11]。針對(duì)大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡閉環(huán)主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)，在傳統(tǒng)曲率傳感的基礎(chǔ)上，通過(guò)多視場(chǎng)波前曲率傳感，對(duì)系統(tǒng)高階像差進(jìn)行探測(cè)并在此基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)中眾多主動(dòng)環(huán)節(jié)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。

對(duì)于常規(guī)的高分辨成像望遠(yuǎn)鏡而言，成像視場(chǎng)往往不足1角分，其主動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)僅需要一顆導(dǎo)星進(jìn)行波前傳感，其像元分辨率很高，星點(diǎn)像邊緣像素的影響往往可以忽略不計(jì)，同時(shí)，由于哈特曼傳感器本身的特點(diǎn)，子孔徑內(nèi)的平均也降低了邊緣像素的影響。因此，在本文曲率傳感解算過(guò)程中，對(duì)離焦星點(diǎn)像邊緣區(qū)域?qū)Σㄇ敖馑愕挠绊戇M(jìn)行分析，分別從理論解和數(shù)值仿真的角度建立了邊界信號(hào)與解算結(jié)果之間的聯(lián)系。

2 曲率傳感基本原理

曲率傳感器由Roddier在1988年提出[11]，其基本原理是光瞳處波前局部的曲率變化，所對(duì)應(yīng)的焦內(nèi)像與焦外像的光強(qiáng)分布會(huì)發(fā)生對(duì)應(yīng)的變化，如圖1所示。根據(jù)近場(chǎng)電磁波的傳輸方程，可以解算出波前信息，如式(1)所示：

圖1 曲率傳感原理Fig.1 Principle of curvature sensing

(1)

其中：I(ρ)為強(qiáng)度，Φ(ρ)為相位，為梯度算子，得到的結(jié)果為斜率，2為拉普拉斯算子，得到的結(jié)果為曲率。ρ為光瞳內(nèi)坐標(biāo)，z為光軸方向。由式(1)可知，解算的結(jié)果與波前的斜率曲率均有關(guān)。

對(duì)于自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)，一般離焦量?jī)H為幾個(gè)焦深，離焦星點(diǎn)像十分接近光瞳形狀，相減后，可以認(rèn)為：

δ(|ρ|-R)·Φ(ρ)→0，

故式(1)通過(guò)近似可得式(2)：

(2)

其中Δz為P1P2共軛位置相對(duì)入瞳的距離，如式(3)所示：

Δz=f(f-l)/l,

(3)

S=2Φ(ρ).

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行泊松方程的求解即可，具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)光軸方向差分所估計(jì)的波前曲率建立式(4)。具體產(chǎn)生離焦像的方法可采用分光鏡或者利用透明介質(zhì)進(jìn)行光程延遲。對(duì)式(4)兩端同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，可得式(5):

FFT(S)=FFT(2Φ(ρ))=

-4π2(u2+v2)FFT(Φ(ρ)),

(5)

其中u，v為空間頻率。利用逆傅里葉變換，可得式(6)，基于式(6)即可獲得曲率傳感結(jié)果。

(6)

但是，對(duì)于大口徑大視場(chǎng)主動(dòng)光學(xué)，其離焦量可達(dá)到幾百個(gè)焦深，因此，離焦星點(diǎn)像在像散的影響下橢率會(huì)非常大，相減之后，邊緣區(qū)域面積相對(duì)增加許多，對(duì)于求解泊松方程的精度造成影響。

3 連續(xù)邊界分析

實(shí)際處理中，由于邊緣所占區(qū)域會(huì)被帶入核心區(qū)域一起計(jì)算，因此，從理論分析的角度，對(duì)邊界對(duì)大口徑大視場(chǎng)主動(dòng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡曲率傳感的影響進(jìn)行分析。

分別就中心區(qū)域曲率為零與不為零的兩種情況為例。

首先，分析整體波前像散Φ5(x,y)斜率與曲率之間的關(guān)系，首先整體波前像散Φ5(x,y)如式(7)所示:

Φ5(x,y)=α5ρ2cos 2θ=α5ρ2(2cos2θ-1)=

2α5x2-α5(x2+y2),

(7)

其中α5為整體波前像散系數(shù)。

對(duì)應(yīng)的斜率如式(8)所示：

(8)

結(jié)合式(1)可得邊界處的斜率如式(9)所示：

δ(|ρ|-R)·

(9)

基于式(5)可得整體波前像散曲率如式(10)所示：

Φ5(x,y)=α5[x2-y2]=0.

(10)

同理，整體波前彗差Φ7(x,y)如式(11):

Φ7(x,y)=α7ρ3cosθ=2α7x(x2+y2),

(11)

其中：α7為整體波前彗差系數(shù)。其斜率如式(12)所示：

6α7x2-3α7(x2+y2).

(12)

其曲率如式(13)所示：

Φ7(x,y)=[2α7x(x2+y2)]=24α7(x+y).

(13)

以此類(lèi)推，邊緣斜率數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 邊緣斜率數(shù)據(jù)Fig.2 Data of slope at wavefront edge

邊緣所表現(xiàn)的為斜率信息，而按照曲率進(jìn)行計(jì)算時(shí)，做差可以得到連續(xù)邊界所引入的誤差，如圖3所示。

圖3 邊緣斜率帶入的誤差Fig.3 Error introduced by slope at edge

邊緣斜率帶入誤差空間頻域分布如圖4所示。邊緣處是斜率與曲率差別較大，同時(shí)由于沒(méi)有進(jìn)行迭代優(yōu)化，邊緣所造成的誤差在空間頻率較低時(shí)更加明顯。

圖4 邊緣斜率帶入誤差空間頻域分布Fig.4 Spatial frequency distribution of error introduced by edge slope

4 離散邊界分析

離散情況，首先分析采樣率影響，在此基礎(chǔ)上，分析離散邊界的影響。

元量化誤差是星點(diǎn)探測(cè)的重要誤差來(lái)源，同時(shí)也直接影響著波前傳感精度。由于探測(cè)結(jié)果是以像元的形式表達(dá)，傳統(tǒng)的ROI(Region of Interest)分析方法，基于高斯分布的星點(diǎn)像進(jìn)行分析，通過(guò)閾值法獲得星點(diǎn)像所對(duì)應(yīng)區(qū)域[16]。而對(duì)于大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡而言，其視場(chǎng)遮攔大，獲取的離焦星點(diǎn)圖為“DONUT”形式，同時(shí)，其不圓度隨著視場(chǎng)的增大而增加，系統(tǒng)離焦星點(diǎn)像全寬半高DefFWHMCom與系統(tǒng)在焦星點(diǎn)像全寬半高focFWHMCom關(guān)系如式(12)所示。根據(jù)公式(12)可得，在焦像的FWHM大約為2″，最少占16個(gè)像元，離焦像為3.6″，至少51個(gè)像元。在此情況下，需要對(duì)元量化誤差進(jìn)行分析，探究目標(biāo)星點(diǎn)的提取方法，獲得元量化誤差意義下最優(yōu)離焦量。

(14)

其中:D為口徑，l為離焦量，f為焦距。

由于大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡，由于光學(xué)系統(tǒng)本身的畸變以及像差對(duì)應(yīng)關(guān)系的非線性，導(dǎo)致傳統(tǒng)的定標(biāo)方法精度不足。針對(duì)天基大視場(chǎng)觀測(cè)設(shè)備所獲得的圖像，擬采用分割視場(chǎng)的方法，將大視場(chǎng)分割為若干個(gè)小視場(chǎng)，在小視場(chǎng)中，對(duì)天光背景、光學(xué)系統(tǒng)固定像差以及圖像畸變等進(jìn)行分塊研究，可以有效地降低擬合所需要的多項(xiàng)式階數(shù)，減少邊界處的擬合誤差。對(duì)于離焦像的信息提取，與傳統(tǒng)ROI技術(shù)不同，結(jié)合視場(chǎng)分割，使用局部的閾值，以便提取DONUT像。

那么針對(duì)理想系統(tǒng)，引入精度所對(duì)應(yīng)誤差，可得波前傳感器所對(duì)應(yīng)的檢測(cè)誤差，假設(shè)曲率傳感離焦量為2 mm，前九階Zernike多項(xiàng)式測(cè)量誤差以30%計(jì)，假設(shè)每次都可以完全實(shí)現(xiàn)曲率傳感所計(jì)算調(diào)整量，當(dāng)要求測(cè)量誤差小于5%時(shí)，迭代次數(shù)為3。因此，在粗對(duì)準(zhǔn)環(huán)節(jié)后，通過(guò)“曲率傳感—精調(diào)—曲率傳感”的迭代循環(huán)，即可實(shí)現(xiàn)大口徑大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡主動(dòng)光學(xué)調(diào)節(jié)。

主焦點(diǎn)光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真模型，如圖5所示其設(shè)計(jì)視場(chǎng)為3°，取+1.45°處視場(chǎng)，利用曲率傳感進(jìn)行迭代的效果如圖5所示，通過(guò)兩步迭代其誤差，將誤差有效抑制。

圖5 主焦點(diǎn)光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真模型Fig.5 Design and simulation model of primary focus optical system

主鏡為600 mm球面鏡，F(xiàn)數(shù)為4。后端共有4片校正鏡，其中第1，2塊透鏡為雙膠合透鏡，用于校正部分色差。4塊改正鏡的口徑分別為260 mm，160 mm，130 mm，126 mm。

圖6 曲率傳感波前重建與迭代精度分析Fig.6 Curvature sensing wavefront construction and iteration analyses

在此采用閾值法從探測(cè)結(jié)果中提取目標(biāo)圖像。光學(xué)仿真軟件與中值濾波模擬像元合并的過(guò)程，如圖5所示，可見(jiàn)四葉梁對(duì)離焦星點(diǎn)像的影響在元化后可以忽略不計(jì)，同時(shí)邊界像素?cái)?shù)量下降很快，基本符合指數(shù)規(guī)律。單個(gè)星點(diǎn)像所對(duì)應(yīng)的下采樣圖形，對(duì)于所對(duì)應(yīng)的采樣方式，其形態(tài)學(xué)所含有的信息差異已經(jīng)較小，處于較為平緩的部分，不會(huì)由于形態(tài)學(xué)的變化，引起測(cè)量精度的大范圍波動(dòng)。

利用模型進(jìn)行光線追跡得到離焦星點(diǎn)像，對(duì)邊緣像素?cái)?shù)量與下采用率之前的關(guān)系進(jìn)行分析如圖所示：其信息熵的變化[17]如圖7所示，可見(jiàn)當(dāng)采樣率低于10×10后，其攜帶信息的能力迅速下降。

圖7 星點(diǎn)像下采樣Fig.7 Under sampled donut

對(duì)不同的采樣率下的離焦星點(diǎn)像邊緣進(jìn)行解算，可得，在較低的采樣率下，由于邊界所占據(jù)的額像元數(shù)減少，其誤差傳播效應(yīng)降低。針對(duì)彗差而言，減少了14%以上。

圖8 星點(diǎn)像下采樣Fig.8 Under sampled donut

利用單透鏡可以對(duì)大口徑大視場(chǎng)系統(tǒng)進(jìn)行模擬與分析，采用的系統(tǒng)F數(shù)為4，其焦前焦后的探測(cè)所得的光強(qiáng)分布如圖9(a)、(b)所示，通過(guò)光軸方向差分所估計(jì)的波前曲率如圖9(c)所示。利用式(6)可得波前如圖9(d)所示。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖9(e)所示。在不同采樣率(40×40與16×16)下，彗差總體變化20%，與仿真結(jié)果吻合。可見(jiàn)，采樣率的變化會(huì)影響波前像差解算的空間選擇性，因此，需要更多的迭代步數(shù)獲取結(jié)果。但是，過(guò)多的像元意味著離焦量較大，對(duì)探測(cè)信噪比會(huì)產(chǎn)生不利影響。

圖9 波前曲率傳感演示驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)Fig.9 Domonstration of curvature sensing

5 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在連續(xù)情況下，單位圓邊緣引入的誤差約為0.5 μm；離焦星點(diǎn)像在100個(gè)像元以下，其攜帶信息的能力迅速下降；在接近100個(gè)像元時(shí)，對(duì)彗差的檢測(cè)精度為0.035 mm，與400個(gè)像元時(shí)下降14%以上。

因此，在采樣率較低的情況下，考慮閉環(huán)主動(dòng)光學(xué)的誤差收斂效應(yīng)，通過(guò)兩次迭代，即可將誤差控制在30 nm以?xún)?nèi)，基本滿(mǎn)足主動(dòng)光學(xué)波前傳感需要。如果需要得到更高精度或者更高空間分辨率，則需要懸著像元較小的探測(cè)器，根據(jù)斜率與曲率不同的數(shù)值特征，嚴(yán)格區(qū)分作用區(qū)域，進(jìn)而分別進(jìn)行求解。