繞組分段永磁直線同步電機預設性能滑模反推控制

李大盼

(江南大學 物聯網工程學院，無錫 214122)

0 引 言

近年來，直線電機在傳送系統中得到了廣泛的應用。相比于傳統的旋轉電機，直線電機沒有將旋轉運動轉換成直線運動的中間裝置[1]，比如絲桿和齒輪，減少了機械損耗，并且擁有傳統直線運動系統難以比擬的高精度，同時還有高效率、低噪聲和機構簡單、功率密度大等諸多優點[2]。相比于直線感應電機，永磁同步直線電機(以下簡稱PMLSM)效率更高、功率密度更大[3]，因此在高品質直線運動系統中得到廣泛應用。根據PMLSM本體結構，可以分為長初級PMLSM和長次級PMLSM，長次級永磁同步直線電機一般用履帶鏈供電，供電電纜需要跟隨動子運動，這無疑會限制電機最大速度，降低電機加減速性能，并且對系統的可靠性產生不利影響[4]。繞組分段永磁直線同步電機(以下簡稱WS-PMLSM)由于其初級繞組分段的特點，解決了傳統長初級繞組由于初級繞組過長引起的供電電壓高、電阻及電感過大、電磁損耗大等問題[5]。從原理上講，WS-PMLSM將較長的PMLSM的初級分成若干段段的小直線電機，在驅動電機時，只需對與次級耦合的小電機進行驅動，克服了長初級PMLSM電阻、電感較大的缺點，可以降低驅動系統壓力，并且電機運行效率也可以得到提升。但定子繞組運行時參數是時變、不確定的，例如溫度變化對電阻的影響，三相不平衡，軌道結構等[6]，特別是次級滑塊同時與兩段定子繞組耦合的過度階段，由于WS-PMLSM特殊的定子繞組分段結構，定子繞組的磁通、電感都隨次級滑塊位置變化，不考慮定子鐵心飽和的情況下，動子從一段定子移除的過程中，電感的大小與耦合面積成正關系，變化率約為25%，磁鏈與耦合面積近似成正比[1]，所以，在WS-PMLSM的控制系統設計中，應該著重考慮電機模型參數變化對控制系統的影響，針對這種情況，傳統的PI控制難以取得良好的控制效果。

反推控制已經在PMLSM控制中得到了廣泛的應用，該方法可以對PMLSM完全解耦，另一方面，根據反推控制設計的控制系統具有全局穩定性[7]，但傳統反推控制需要被控對象精準的模型信息，并且無法適應參數隨時間的變化。為了提升傳統反推控制的魯棒性，自適應[8-9]、滑模[10-11]等方法被引入到反推控制中，用于處理被控對象參數不確定性和系統的非線性，并取得了較好的控制效果。文獻[5]提出了自適應反推方法，通過設計自適應率來估計控制對象參數變化，用于消除參數不確定性對控制系統帶來的影響。但它沒有考慮微分環節所帶來的微分膨脹問題，所設計的控制器計算量過大，限制了其實際應用；另外，該方法無法確保系統穩定的快速性。

本文將預設性能引入自適應反推控制，并引入受限指令濾波，解決輸入受限和微分膨脹問題。預設性能考慮超調量和調節時間等瞬態性能，能夠保證跟蹤誤差在一定時間內收斂到預設區域內。本文設計的控制器優點在于：1) 中間控制變量沒有微分環節，消除微分膨脹；2) 運用預設性能方法，在保證系統穩定的基礎上考慮系統的瞬態性能，使收斂速度更快，引入滑模變結構方法，增強了魯棒性；3) 受限指令濾波限制了虛擬控制信號的幅值和變化速率，滿足系統對狀態變量和控制信號的約束，增強了實用性。最后，通過仿真實驗證明所設計控制器的有效性。

1 WS-PMLSM的數學模型

次級滑塊運動到初級線圈的過程中，次級滑塊磁場對初級繞組磁場產生影響。隨著耦合面積的增加，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵磁電動勢的幅值呈現上升趨勢。當次級滑塊完全運動到初級繞組上方(磁路完全耦合)，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵磁電動勢的幅值保持穩定，不再發生變化。而在次級滑塊退出初級繞組的過程中，隨著耦合面積的減小，初級線圈的磁路磁阻、自感和互感和勵磁電動勢的幅值呈現下降趨勢[13-14]。

WS-PMLSM每段小電機從本身物理特性來講是一個PMLSM，其數學模型也與PMLSM相同，但由于WS-PMLSM特殊的繞組分段結構，在動子從一段繞組過渡到另一段繞組的過程中，動子對繞組模型產生影響，電機磁鏈和電感隨動子位置變化而變化，由于電機的電感和磁鏈為動子位置的函數，將其分別用Ls(x)和ψf(x)表示，如圖1所示。

圖1 WS-PMLSM結構圖

WS-PMLSM單段初級繞組在d,q軸同步旋轉坐標系下電壓方程：

(1)

式中：ud,uq是d,q坐標系下的定子電壓；id,iq是d,q坐標系下的定子電流；Rs為相電阻；τ為極距；v為動子速度。

第n段初級繞組產生的電磁推力：

(2)

初級繞組整體產生的電磁推力：

(3)

次級滑塊同時與兩個初級繞組耦合的過渡階段，兩段繞組同時對次級滑塊產生電磁推力，對兩繞組施加大小相等、相位相同的電流，兩段初級繞組可以等效為一個初級繞組，保證在過渡階段電磁推力不發生變化。

WS-PMLSM的動力學模型：

(4)

式中：TL是負載力；M是運動部分的總質量；B是摩擦系數。

2 預設性能滑模反推控制器設計

WS-PMLSM模型具有非線性特征，并且模型參數不確定，傳統的PI控制不能很好地適應這種情況，為了獲得精確的速度控制，本文設計了預設性能自適應反推控制器。

2.1 限幅值指令濾波

反推控制需要對虛擬控制量進行逐級求導，會出現微分膨脹問題[12]，同時考慮到實際應用中執行器飽和的問題。本文用限幅指令濾波替代微分環節，解決了微分膨脹和控制器飽和問題。其狀態空間模型的方程：

(5)

圖2 限幅值指令濾波結構

本文以WS-PMLSM速度作為跟蹤目標，q軸電流作為虛擬控制量，定義追蹤誤差：

e1=v(t)-vc(t)

ed=id

(6)

從圖2可以看出，其可以不通過微分求導環節得到輸入信號的微分，但濾波器不可避免地產生誤差，該誤差可能會對控制效果帶來不利影響。為了消除這種影響，對跟蹤誤差進行補償：

(7)

式中：η為指令濾波誤差。

設計指令濾波補償信號：

(8)

2.2 預設性能函數與誤差變換

為了獲得預先設定的控制性能，提出預設性能函數，系統速度的跟蹤誤差被限制在預設性能函數內。預設性能函數的定義如下：

本文選擇預設性能函數:

ρ(t)=(ρ0-ρ)e-lt+ρ

(9)

式中：ρ0,ρ和l均正數。

(10)

為了將約束條件轉化為等式形式，在動態性能函數中引入轉換函數，將式(10)轉化：

(11)

式中：ε(t)為轉換誤差；L(·)為光滑且嚴格遞增的函數，另外，L(·)應滿足一下性質：

(12)

(13)

定義一個滿足上述條件的函數：

(14)

將式(11)，式(12)代入式(14)可得：

(15)

對ε(t)求導可得：

(16)

將式(7)代入式(16)可得：

(17)

2.3 預設性能自適應反推控制器設計

對系統進行如下限定：

限定2：輸入受限和狀態受限的幅度和速率已知。

Step 1:選擇李雅普諾夫函數：

(18)

對V1求導可得：

(19)

選擇：

(20)

由式(19)、式(20)可以得到：

(21)

式中：k1為大于零的設計參數。

Step 2：為了增強系統動態性能，q軸電流環引入滑模變結構方法。設計滑模面：

式中：a為正的常數；n>m>0。

設計滑模面的趨近律：

(22)

式中：k2,τ均為大于零的常數。

(23)

對V2求導可得：

(24)

選擇：

(25)

(26)

式中：k3為大于零的常數。

將式(25)、式(26)代入式(24)可得：

(27)

做穩定性分析：

(28)

V2[e1(t),e2(t),e3(t)]

(29)

(30)

由于實際系統中誤差e1,eq,ed是有界的，所以W(t)有界，根據Barbalat’s定理，W(t)是連續一致的，可以得到：

當t→時，e1,eq,ed收斂到零，系統穩定。

3 仿真研究

本文搭建了一個如圖3所示的仿真系統，用于驗證所設計方法的有效性。系統仿真實驗中WS-PMLSM參數如表1所示，限幅值指令濾波器的各項參數如表2所示。

表1 WS-PMLSM參數

表2 限幅值指令濾波器參數

圖3 系統控制框圖

為了獲得良好的控制效果，控制器參數設計：k=100,k1=k2=k3=8000；自適應參數設計：γ1=40000,γ2=60 000,γ3=7 500。預設性能函數設計：ρ(t)=(1-0.005)e-90t+0.005。

通過對比PI控制和預設性能滑模反推控制(以下簡稱PPSC)的控制效果，驗證所設計控制器的有效性和抗干擾性。在PI控制中，為了使WS-PMLSM獲得快速的動態性能和超調的靜態性能，使用試湊法確定PI各環節的參數。仿真中，為了檢驗控制方法對外部干擾的魯棒性，在t=0.3 s時刻加入突變量，將電機負載Tl由10 N突變至100 N。

仿真結果如圖4～圖8所示。可以看出，電機剛起動時，誤差較大，在控制系統的調控下，補償誤差迅速減小，并且最終收斂到零。在整個過程中，補償誤差沒有超出預設性能區間，滿足預先對控制系統設定的性能指標。圖4為PPSC和傳統PI控制電機速度對比。圖6為兩種控制方法誤差對比，對比兩種跟蹤效果，PPSC超調量更小，當系統達到穩定時，PPSC沒有靜差。在系統受到外部干擾時，PPSC受到擾動影響，出現最大速度誤差比PI控制最大速度誤差小，并且能夠快速修復外部擾動對控制系統的影響，使系統快速達到穩定狀態，跟蹤誤差快速下降到零，這表明PPSC對外部擾動具有良好的魯棒性，并且具有更好的動態性能。在電機實際運行過程中，外界對電機的擾動是不可預知的，例如電機負載質量變化，為了驗證所設計方法對這類外部擾動的魯棒性，將電機動子指令設為原來的3倍即3M。圖7為正常動子質量和動子質量為3M時系統補償誤差對比。從圖7中可以看出，當動子質量增加到原來的3倍時，系統起動后，補償誤差仍然迅速減小，并且最終收斂到零，在整個過程中，補償誤差沒有超出預設性能區間，滿足預先對控制系統設定的性能指標。圖8為電機滑塊質量為3M時，兩種控制方法的速度對比圖。可以看出，在電機參數發生變化時，PPSC能夠很好地跟蹤速度指令，超調量較小，并且速度誤差可以收斂到零。當系統受到外部擾動時，PPSC對外部擾動具有良好的魯棒性，能夠迅速達到新的穩定狀態，使跟蹤誤差收斂到零。因此,當WS-PMLSM無法獲得或者無法精確獲得時，本文設計的PPSC也能夠獲得良好的跟蹤效果，具有重要的應用價值。

圖4 補償誤差

圖5 速度對比

圖6 誤差對比

圖7 3M補償誤差

圖8 3M速度對比

4 結 語

本文設計一種基于預設性能的指令濾波滑模變結構反推控制器(PPSC)，用于處理WS-PMLSM參數不確定性和系統非線性問題。基于李雅普諾夫穩定性理論設計了反推控制器，為了解決反推控制器中的微分膨脹問題，設計了指令濾波器代替微分環節。引入指令濾波器不可避免地產生指令濾波誤差，為了避免該誤差對控制效果帶來不利影響，對指令濾波器的誤差進行了處理。為了增強系統的魯棒性，引入了滑模變結構方法，并且引入了預設性能方法以優化系統的動態和靜態性能。最后通過仿真實驗，針對WS-PMLSM控制，驗證了所設計的PPSC控制器具比傳統PI控制器有更好的跟蹤性能，其動態性能和靜態性能都優與傳統的PI控制器，并且具有較好的魯棒性，驗證了所設計控制器的有效性和優越性。