基于解析-遺傳算法的永磁電機齒槽轉矩優化

周曉燕，王德鵬，徐志凱

(青島理工大學 信息與控制工程學院，青島 266520)

0 引 言

在用有限元法進行優化設計過程中，為了降低永磁電機的齒槽轉矩，需要對電機重新建模、剖分、計算，過程復雜，耗時長。而解析算法無需剖分，建模過程簡單，能夠方便地和優化算法結合對參數進行優化設計。傳統的有限元算法并不能聯合優化算法對齒槽轉矩進行電機參數的優化計算，解析法一般應用于比較特殊(求解域比較規則)的邊界條件下，能夠獲得精確的磁場解析解并根據電機的性能要求進行相關參數的分析優化。同時，解析算法可以聯合遺傳優化算法對電機參數進行優化計算，得到電機設計參數最優解。

目前，國內外學者對齒槽轉矩做了很多的研究，取得了很多成果。文獻[1]采用全局最優法和有限元分析法相結合，研究了極弧系數組合優化對齒槽轉矩的影響；文獻[2]研究了改變定子齒槽參數對異步起動永磁同步電動機齒槽轉矩的影響；文獻[3]研究了通過優化設計氣隙磁密的特定次諧波，來實現削弱齒槽轉矩的目的；文獻[4]研究了通過永磁體不對稱放置來削弱內置式永磁體同步電動機齒槽轉矩；文獻[5]提出了一種基于粒子群算法來優化永磁電機齒槽轉矩的方法。

本文研究了一種基于解析算法的遺傳優化算法對永磁電機的齒槽轉矩進行優化。根據文獻[6]建立內轉子表貼式永磁無刷電機直接解析模型的基本思路，建立了齒槽轉矩的解析表達式并編寫程序，以齒槽轉矩的幅值為目標函數，選取電機定子槽口寬度以及極弧系數作為優化參數，結合MATLAB中的遺傳算法工具箱進行優化，得出最優參數組合。將最優參數組合作為輸入進行仿真驗證，電機的齒槽轉矩削弱效果明顯。

1 永磁電機直接解析法

為便于數學建模，設定電機計算場域為二維磁場，根據文獻[7]經過合理假設后，表貼式永磁無刷電機在二維極坐標下的剖面圖如圖1所示，并將電機內的磁場區域劃分為氣隙區域、永磁體區域以及槽區域。

圖1 二維極坐標下表貼式永磁電機剖面圖

圖1中，Rr為轉子外徑；Rm為永磁體外經；Rs為定子內徑；Rsy為電機槽深；Q為槽數；β為槽寬；θ0為永磁體與初始設定的基準位置間偏移角度；θi為第i槽距離初始設定的角度。

電機徑向充磁，永磁體磁化強度M可以表示為r和θ的函數[7]：

(1)

(2)

式中：v為永磁體磁場的諧波次數；p為電機的極對數；αp為極弧系數。

假定初始時刻電機轉子的S磁極正對槽口的中心線，則θi=-β/2+2iπ/Q，本文模型中為θ0為0。

在極坐標系下，氣隙區域、永磁體區域的矢量磁位分別滿足如下方程：

氣隙區域AⅠ：

(3)

永磁體區域AⅡ：

-uru0×M

(4)

式中：

(5)

空載時第i槽區域矢量磁位Asi：

(6)

Rs≤r≤Rsy

θi≤θ≤θi+β

(7)

1.1 電機空載氣隙磁場的計算

首先,建立空載情況下的表貼式永磁電機解析數學模型，建立氣隙區域、永磁體區域、槽區域的矢量磁位方程以及電機的邊界條件方程。

其次,編寫相應的MATLAB計算仿真程序，所編寫的程序能夠計算氣隙區域、永磁體區域和槽區域矢量磁位，并由此計算氣隙區域的磁密[7]。圖2為解析法與有限元法計算樣機氣隙磁密結果的對比。

圖2 氣隙磁密波形

1.2 齒槽轉矩的解析表達式

永磁電機中的齒槽轉矩主要是電機空載運行時，永磁體和鐵心之間的相互作用而產生的。目前，計算齒槽轉矩的方法主要有解析法和數值法，解析法能夠直觀地反映齒槽轉矩和各個物理量之間的關系，適用于采用優化算法來進行優化。本文采用解析法計算齒槽轉矩。

解析法主要有能量法和麥克斯韋應力張量法，結合前面計算氣隙磁場所采用的直接解析法的特點，選用麥克斯韋應力張量法[9]計算齒槽轉矩?？梢钥闯?，在前面已經求得氣隙磁場矢量磁位系數的前提下，編寫相應的MATLAB計算程序，即可求得齒槽轉矩[7]。圖3為解析法與有限元法計算樣機結果的對比。

圖3 齒槽轉矩波形

將計算結果與有限元法仿真波形結果進行比較，可以看出，采用解析算法與采用有限元算法進行仿真得到的實驗波形吻合程度還是很高的，從而證明了本文選用解析算法進行電機氣隙磁密及齒槽轉矩求解的正確性和有效性。

2 基于解析-遺傳算法的齒槽轉矩優化

2.1 遺傳算法

遺傳算法是模擬生物界中的進化規律而提出的一種用于求解函數最小值的、具有隨機搜索能力的全局優化算法[10-11]。遺傳算法的基本原理是：遺傳算法是一類借鑒生物界的進化規律(適者生存，優勝劣汰遺傳機制)演化而來的隨機化搜索方法，其主要特點是直接對結構對象進行操作，不存在求導和函數連續性的限定，具有內在的隱并行性和更好的全局尋優能力，采用概率化的尋優方法，能自動獲取和指導優化的搜索空間，自適應地調整搜索方向，不需要確定規則。其具有全局性、并行性、高效性、魯棒性、普適性、簡明性等特點[12]。

遺傳算法能夠對結構對象直接進行操作，并且具有潛在的并行性，可以進行多個個體的同時比較，使用條件也容易滿足。目前，已被廣泛地應用各個領域中，是現代智能計算中的關鍵技術。

結合遺傳算法的特點，可以發現，遺傳算法可以很好地處理優化齒槽轉矩這項復雜的問題。它首先根據實際要解決的問題，對函數要求解的解空間進行編碼，然后從中隨機生成若干個個體組成算法迭代的初始種群，然后在選擇、交叉、變異的操作下通過迭代去逐步尋找最優的參數組合[13-14]。遺傳算法的基本流程如圖4所示。

圖4 遺傳算法的基本流程圖

2.2 齒槽轉矩的優化實現

函數的優化設計也即目標函數在各種約束條件下，使得目標函數的值達到最優。目標函數的優化體現了設計者的愿望，是工程設計中重要的決策之一。在調用遺傳算法優化的過程中，必須很好地將目標函數和遺傳算法結合。

根據已經編寫的基于解析算法的齒槽轉矩計算程序，調用MATLAB中的遺傳算法工具箱，選取了對齒槽轉矩影響較大的極弧系數和定子槽口寬度作為優化變量，在其他變量保持不變的情況下，設置極弧系數和齒槽轉矩在合理的范圍內，以齒槽轉矩的幅值為目標函數進行參數尋優。

此外，在調用遺傳算法的過程中，還需要處理好遺傳算法的參數問題。在這些參數中，種群的規模，交叉算子和交叉概率，變異算子和變異概率以及迭代次數等對算法的性能都有著重大的影響。因此，必須將這些參數和需要優化的目標函數之間進行很好的結合，以期達到采用遺傳算法實現全局優化的目的。

3 計算實例

以一臺4極18槽內轉子表貼式永磁發電機為例，采用遺傳算法對齒槽轉矩進行優化。電機原模型基本參數如表1所示，在優化的過程中定子槽口寬度β應滿足如下關系:

表1 電機原模型基本參數

定子槽口寬度β范圍即[0.075rad,0.349rad]，極弧系數αp的取值范圍根據經驗值設為[0.7,0.9]，遺傳算法的基本參數設置如表2所示。

表2 遺傳算法的基本參數設置

根據齒槽轉矩的解析表達式，采用MATLAB對其進行編程，并利用MATLAB中的GA工具箱對齒槽轉矩進行優化，得出的目標函數優化過程如圖5所示，圖6為原電機模型在β=0.13 rad，αp=0.8處的齒槽轉矩波形，圖7為優化后電機在β=0.105 rad，αp=0.803處的齒槽轉矩波形。比較優化前后的齒槽轉矩幅值,可以發現，原電機模型的齒槽轉矩的幅值為0.009 N·m，優化后的齒槽轉矩的幅值為0.000 6 N·m, 優化后的齒槽轉矩幅值相對于原電機模型削弱效果顯著。電機優化后模型基本參數如表3所示。

圖5 基于目標函數的優化過程

圖6 原電機模型齒槽轉矩波形

圖7 電機優化后齒槽轉矩波形

對樣機優化前后氣隙磁密進行傅里葉諧波分析，圖8為電機優化前后徑向氣隙磁密諧波。

(a) 優化前

根據本文所選用的樣機參數可知，對齒槽轉矩起主導作用的是電機空載氣隙磁通密度中的9次諧波，經過對電機空載氣隙磁通密度的傅里葉分解，比較優化前后的氣隙磁密可以發現，優化后電機徑向氣隙磁密的9次諧波相對于優化前電機模型9次諧波有一定的削弱效果，從而進一步驗證了采用遺傳優化算法進行電機優化的正確性和有效性。

4 結 語

本文針對永磁電機固有的齒槽轉矩問題，研究了一種基于解析-遺傳算法的優化方法，在利用直接解析法計算電機齒槽轉矩的基礎上，采用遺傳算法對電機極弧系數和定子槽口寬度進行綜合優化求得最優解，結果表明在最優解下電機齒槽轉矩得到明顯的削弱。

此方法相較于有限元算法，不需要進行復雜的有限元剖分，在保證解析求解正確的基礎上可以簡便快捷地求解電機內部磁場的解析解，并為探究電機尺寸參數等物理量與電機磁場之間的相互關系提供了條件。另外，此方法可以靈活地選取永磁電機的參數作為優化變量，既能夠對電機某一參數進行定量優化得到理論最優解，又能夠對多個電機參數同時進行定量優化得到最優組合解。不僅適合分數槽電機，同樣適合整數槽電機，具有普適性。