再論彎曲時空中的量子場論的新構想

摘 ?要：通過坐標時和固有時的關系式，由度規表達式導出時空膨脹公式，得到由度規直接讀出時空膨脹公式的方法，然后利用平移算符，將時空膨脹效果體現在平直時空的量子場論中。最后討論在彎曲時空參考系中進行量子實驗，以康普頓散射為例，考慮引力場導致的粒子產生與湮滅，給出一個適用的光子和引力場耦合的相互作用拉氏密度（半經典理論）。

關鍵詞：彎曲時空 ?量子場論 ?康普頓散射 ?引力作用

中圖分類號：O412.3;O413.4 ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2020）10（a）-0198-03

Abstract： Based on the relation between coordinate time and proper time， the expansion ratio of space-time is derived， and the met ? ?hod of deriving the expansion ratio of space-time directly from the metric is obtained. Then， the expansion effect of space-time is embodied in the quantum field theory of flat space-time by using the translation operator. Finally， we discuss the quantum experiment in the curved space-time reference frame. Taking Compton scattering as an example， we consider the particle generation and annihilation caused by the gravitational field， and give a suitable interaction Laplace density （semiclassical theory） between photon and gravitational field.

Key Words： Curved space-time; Quantum field theory; Compton scattering; Gravitation

1 ?勘誤

筆者曾經在文獻[1]中介紹過一種通過固有尺度和光速不變導出時空膨脹公式的方法，但筆者限于自身水平，將狹義相對論中的概念直接沿用至彎曲時空中，導致了和一般教科書中導出的固有時和坐標時的關系式的差別。下面給出關于時空膨脹的準確推導。

即時空膨脹收縮的比例正是對應時空坐標前的度規矩陣元的開方根（時間坐標差一負號），所以線元ds是洛倫茲不變量，所以我們可以直接從度規中讀出時空膨脹比例關系，固有時間和坐標時間的關系式就是時間的膨脹比例式。

按照上述的時空膨脹關系式，再利用文獻[1]中提到的平移算符（要按照新的膨脹收縮比例構造算符），可以將符合平直時空的量子場論變換到彎曲時空參考系中表述。這里所得到的時空膨脹和一般教材中的討論一致，可以直接從度規給出，而利用平移算符處理過后可以用于度規之間的變換，不同度規場之間的量子場論表達式的變換。

2 ?彎曲時空中的康普頓散射實驗

在經典廣義相對論中，引力其實是一種時空彎曲效應[4]。在文獻[1]中把引力場視為經典的場，并且只考慮引力的時空彎曲效應，調整度規膨脹收縮算符后有以上結果，現在考慮引力場對量子實驗的影響，但并不將引力場量子化，并認為產生或湮滅的量子物質不足以改變空間的強引力場，所以只給出半經典的結論。在彎曲時空中觀察量子實驗，如康普頓散射，實驗室和人都處在彎曲的時空之中，如強引力靜態球對稱星球表面，采用史瓦西度規。如果考慮引力場的屬性，光子與電子的散射實驗中，一般以電子為靶，光子在入場碰撞和出場測量的時候，對應的空間位置是不一致的，在量子實驗室中，光子出射的位置和動量不一，這是概率性的，但如果在經典的引力時空背景下，光子的移動自然導致相應的紅移或者藍移。那么這種散射完的光子是否滿足相應的紅移或者藍移，由于是量子力學是概率事件，不存在軌跡，所以是不滿足的，但是整個體系（包括了引力場）在宏觀尺度和時間下的能量是守恒的，也就是強引力場可導致康普頓散射實驗中出射光子的頻率分布的改變，一般來說，降低使體系能量變化大的散射光子的出現幾率，使得整個散射體系平均下來滿足整個空間體系的能量守恒定律。

其中T是編時算符;L1是光子和電子場耦合的相互作用拉氏密度;x1和x2是康普頓散射中兩個相互作用點，可以參考康普頓散射的費曼圖;e是微擾展開小量，是自然單位制下的電子電荷量，如果轉換到正常單位制，則是精細結構常數的開方根，這里對我們的討論無影響。式子已經取有貢獻的最低階微擾項，即展開式的第二階，略去其他。

3 ?引力場與光子的耦合

對于乘上的相互作用項，是無量綱常數（對應光子的能量變化率），在引力背景下（注：不包括星球半徑內部，可以令半徑內作用項為0，不刻意寫出）全空間可積分，本身收斂，對于已經重整化的理論，不造成積分的發散困難。

引力場和光子場的耦合作用在計算時相當于調整躍遷振幅，使產生紅移量或者藍移量大的粒子的概率改變，構造出來的相互作用項應該含有引力場量算符，但是由于沒有將引力場量子化，所以沒辦法給出場量，所以這是個半經典的理論。但是如果仔細觀察引力場的紅移公式，就會發現紅移公式與度規密切相關，可以從度規中轉變而來，這是廣義相對論中的引力紅移推導來源，可參考文獻[7]。也就是說引力場雖然并沒量子化，但是引力作為一種度規場，它的度規相關項已經寫在拉氏相互作用項當中了。作為一個替代的半經典理論，我們認為引力場量已經寫入式子中了。而且這種嘗試也將有助于我們探索量子引力論的最終形式。

在平直時空中的康普頓散射實驗中每一對碰撞粒子都遵循能量守恒，但在彎曲時空中由于引力紅移，每一對粒子能量守恒似乎不守恒，而調整概率后整體守恒，那么如果是只有一對粒子碰撞，再無其他粒子碰撞，時空的能量如何守恒，其實在光散射過程中，由于是微觀量子過程，沒有軌跡，不遵循紅移定律，但是引力場可以湮滅實物粒子（高能電子），產生低能電子，從而滿足體系能量守恒，這種想法向極端推廣，就是黑洞的蒸發，在視界面處產生一個正頻粒子，并逃逸出去，黑洞視界是無限紅移面，如果不是量子隧穿效應，是絕對無法逃逸出去的，引力勢可以視為無窮，但這并不符合能量守恒，所以黑洞內部就吸入負頻粒子，相當于湮滅內部一個粒子，使體系守恒。這種解釋的物理結果和原來的黑洞蒸發的物理解釋結果一致。

4 ?引力場與其他粒子場的耦合

上面提到引力場可以湮滅粒子也可以產生粒子使體系能量守恒，若考慮引力場與實物粒子的能量耦合，因為任何粒子在場內不同地方的引力勢能是不一樣的，所以同樣可以有以上和光子耦合的討論，但是涉及具體引力作用，比較復雜，而且屬于半經典的理論，故不敘述。

5 ?結語

構造出半經典的相互作用量，就能在彎曲時空中討論量子場論的實驗，如果要把觀察者移動到其他參考系，那么就要利用文獻[1]中的方法加上時空膨脹收縮的算符的作用，使我們擁有一套描述彎曲時空中的量子場論現象的理論工具。廣義相對論與量子理論應該統一于非線性理論，理論應該是描述空間彎曲，帶有統計性，且真空是充滿能量的。對于尚在發展中的量子引力理論，這是一種有價值的嘗試與探索。

參考文獻

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[3] 俞允強.廣義相對論引論[M].2版.北京：北京大學出版社，1997：77-79.

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