基于GM（1,1）模型的繞陽(yáng)河流域豐水年預(yù)測(cè)

王 垠

（遼寧省阜新水文局，遼寧 阜新 123000）

1982 年我國(guó)控制論專家鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論，該理論一經(jīng)提出后便在國(guó)際上引起了極大的關(guān)注。其主要觀點(diǎn)是把隨機(jī)量看作在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，盡管這些灰色量間存在著無(wú)規(guī)則的干擾因子，但經(jīng)過(guò)處理后總能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性。它是一種獨(dú)特的預(yù)測(cè)方法，一般表達(dá)方式為GM(1，1)，即表示利用n 階微分方程對(duì)x 個(gè)變量所建立的模型，在原始數(shù)據(jù)量較少時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。目前，灰色理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于農(nóng)業(yè)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、水利水電、生命科學(xué)等各學(xué)科，灰色預(yù)測(cè)是灰色系統(tǒng)應(yīng)用的范疇之一。灰色預(yù)測(cè)是通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來(lái)尋找系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)數(shù)列，然后建立微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事務(wù)未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的狀況。常見(jiàn)的灰色模型有GM（1,1）、GM（2,1）、DGM 和Verhulst，其中后三者適用于非單調(diào)的擺動(dòng)序列或有飽和的S型序列，而GM（1，1）模型適用于具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列，因此，在灰色預(yù)測(cè)中，GM（1,1）灰色模型是最常用的模型[1]。目前，GM（1,1）模型廣泛應(yīng)用于水文數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方面的研究中，如杜小剛、原文林等人應(yīng)用改進(jìn)GM（1,1）模型對(duì)某站的徑流量做出中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)[2]；李東奎、冮行久應(yīng)用灰色模型對(duì)柳河流域的干旱年進(jìn)行模型建立及預(yù)測(cè)[3]；李建峰,吳愛(ài)祥等人利用GM（1,1）模型對(duì)某邊坡工程降雨量進(jìn)行模型建立及預(yù)測(cè)[4]。

1 灰色系統(tǒng)的GM（1,1）預(yù)報(bào)模型

GM（1,1）主要形式是將離散的隨機(jī)數(shù)經(jīng)過(guò)依次累加成算子，削弱其隨機(jī)性，得到較有規(guī)律的生成數(shù)，然后建立微分方程，解方程進(jìn)而建立模型。其模型建立具體方法如下：

將X（0）設(shè)定為原始時(shí)間序列，則X（0）可生成序列X（0）=X（0）（k）（k=1，2，3……n），設(shè)X（1）為生成序列，則X（1）=X（1）（k）（k=1，2，3……n）。根據(jù)GM（1,1）模型概念將離散的隨機(jī)數(shù)經(jīng)過(guò)依次累加成算子，當(dāng)增加濾掉信息時(shí)，X（0）和X（1）之間關(guān)系為由于上式為隨機(jī)數(shù)據(jù)的累加形式滿足指數(shù)分布，故可得關(guān)于X（1）的微分方程。本文將X（1）看為關(guān)于時(shí)刻t 的連續(xù)函數(shù)，X（1）=X（1）（t），建立GM（1，1）模型：

式中：α 和μ 為模型參數(shù)。

由（1）式可得X（1）的離散的預(yù)測(cè)數(shù)列：

通過(guò)數(shù)列計(jì)算確定α 和μ 值后，按模型進(jìn)行遞推即可求得預(yù)測(cè)的累加數(shù)列，通過(guò)檢測(cè)后，再進(jìn)行累減，即可得到預(yù)測(cè)值。本文均為等時(shí)間，間隔Δt=1，因此，ΔX（1）（t）=μ+αX（1）（t），前差Δf 和后差Δb 分別為：

由（5）按最小二乘法原則可以求出（2）式的系數(shù)矩陣：

2 GM（1,1）模型的應(yīng)用

2.1 繞陽(yáng)河流域豐水年預(yù)測(cè)模型建立

繞陽(yáng)河發(fā)源于遼寧省阜新市阜蒙縣扎蘭營(yíng)子鄉(xiāng)駱駝山,境內(nèi)河長(zhǎng)114 km，境內(nèi)流域面積3669.1 km2，流域形狀呈扇形。其主要支流有羊腸河、東沙河、二道河、葦塘河等。本流域地勢(shì)多屬丘陵，西高東低，植被稀疏,水土流失嚴(yán)重。該流域降雨時(shí)空分布不均，屬暴漲暴落河流，多年平均降雨量為439.8 mm，多年平均蒸發(fā)量為1746 mm。該區(qū)域四季分明，雨熱同季，日照豐富，干燥多風(fēng)，因自然地理?xiàng)l件不同，氣候差異顯著。流域內(nèi)有韓家杖子水文站，位于繞陽(yáng)河上游，該斷面以上流域內(nèi)包括阜蒙縣的鶩歡池鎮(zhèn)、建設(shè)鎮(zhèn)、塔營(yíng)子鄉(xiāng)、平安地鎮(zhèn)，彰武縣的哈爾套鎮(zhèn)和四堡子鎮(zhèn)部分地區(qū)。本文采用流域內(nèi)韓家杖子水文站1951 年～2018 年降雨資料，利用GM（1,1）模型對(duì)本流域的豐水年進(jìn)行預(yù)測(cè)。韓家杖子水文站歷年降雨量見(jiàn)圖1。

圖1 韓家杖子站歷年降水量過(guò)程線圖

根據(jù)韓家杖子水文站降雨資料，本文以大于600 mm 的年份作為豐水年，建立表1。其中X（0）為洪水年份在時(shí)間序列中的排列位數(shù)，X（1）為其排列位數(shù)累加項(xiàng)。

表1 豐水年對(duì)象表

按式（7）、式（8）得：

2.2 模型精度檢驗(yàn)

2.2.1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)是按照精度檢驗(yàn)C（后驗(yàn)差）和P（小誤差概率）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)。

其中e（0）（t）=x（0）（t）-x（0）（t），t=1，2，…，n 為殘差數(shù)列。

3）計(jì)算后驗(yàn)差比值

后驗(yàn)差檢驗(yàn)要求指標(biāo)C 越小越好，C 指標(biāo)越小表示S1越大而S2越小；指標(biāo)P 越大表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1的點(diǎn)越多。其精度等級(jí)可以根據(jù)表2 判斷。

表2 GM（1,1）模型精度表

所有的Δ（t）均小于0.6745S1，因此可以判斷，P=1＞0.95，C=0.12＜0.35，模型精度為好，計(jì)算模型合格。殘差具體計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表3。

表3 殘差檢驗(yàn)表

2.2.2 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

關(guān)聯(lián)度即是在預(yù)測(cè)值與累加值（或還原值與原始值）之間，計(jì)算其接近程度。關(guān)聯(lián)度大，精度較高，反之則差。對(duì)GM（1,1）模型做關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，可以以x0（k）作為參考系列，與x1（k）作關(guān)聯(lián)度分析。關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算利用如下公式：

其中X0（k）為參考數(shù)列的第k 個(gè)取值，Xi（k）為比較數(shù)列第k 個(gè)取值，ρ∈[0,1]為分辨系數(shù)，一般取ρ=0.5。

根據(jù)表3 殘差檢驗(yàn)表，由于i=1，所以：

因此根據(jù)公式（9）：ξ（1）=1；ξ（2）=0.5201；ξ（3）=0.9092；ξ（4）=0.3333。

3 繞陽(yáng)河流域豐水年預(yù)測(cè)

根據(jù)模型計(jì)算，當(dāng)k=5 時(shí)，x1（5）=94.5338，還原數(shù)據(jù)x0（5）=44.5862；還原數(shù)據(jù)減去原點(diǎn)年份數(shù)據(jù)，則第五次洪水發(fā)生年份為第四次豐水年份后的第15 年，即1994 年。根據(jù)韓家杖子雨量站歷年降雨量數(shù)據(jù)，1994 年雨量為751 mm，降雨量大于600 mm，符合實(shí)際情況。

當(dāng)k=6 時(shí)，x1（6）=156.7934，還原數(shù)據(jù)x0（6）=62.2596；還原數(shù)據(jù)減去原點(diǎn)年份數(shù)據(jù)，即預(yù)測(cè)第六次豐水發(fā)生年份為第4 次豐水年份后的第33 年，即2012 年。根據(jù)韓家杖子雨量站歷年降雨量數(shù)據(jù)，2012 年雨量為632.1 mm，降雨量大于600 mm，符合實(shí)際情況。

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)數(shù)值與實(shí)際情況相符，可以看出對(duì)繞陽(yáng)河流域洪水年模型的建立是合理的。這對(duì)該流域降雨特點(diǎn)的研究提供極大的便利條件，為今后該流域水文監(jiān)測(cè)預(yù)警機(jī)制提供數(shù)據(jù)支撐。GM(1,1）模型在水文數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的適用面十分廣泛，本文主要是對(duì)韓家杖子流域洪水年進(jìn)行模型建立并進(jìn)行豐水年預(yù)測(cè)，同樣可以適用于各區(qū)域干旱年、徑流量等方面預(yù)測(cè)。但GM（1,1）模型的建立還存在一定局限性，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差較大、數(shù)據(jù)選取不合理等方面問(wèn)題，因此在應(yīng)用中要注意數(shù)據(jù)處理、精度檢驗(yàn)等方面問(wèn)題。