數形結合教學方法淺析

舒俊江

現實世界中，空間形式和數量之間有著多種多樣的聯系，經過人類不斷地研究和探索，發現其中某些關系，再由人們不斷提煉逐漸形成一種思想、在這些思想中就蘊含著數學思想，它是對數學事實和數學理論的本質認識.基本數學思想如：分類討論思想、函數與方程思想，等等，它們在基礎數學中具有奠基性和總結性，在學習數學知識的過程中，數學思想運用得當，就能在發展學生的數學能力方面發揮方法論的作用.下面我就結合數形結合思想教學方法談談自己的認識.

一、數形結合思想的認識

（一）數形結合的含義.

數形結合就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化，解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合的運用，大致分為兩種基本形式：一是“形”的問題轉化為用數量關系解決，它往往把技巧性極強的推理論證轉化為數量關系解決，起到化難為易的作用.二是“數”的問題轉化為形狀的性質解決，它往往具有直觀性，易于理解和接受的優點.總之，數形結合思想通過“以形助教”、“以數解形”，將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，是數的規律性和靈活性的有機結合.

（二）數形結合的原則.

1.等價性原則

數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞.有時由于圖形的局限性，不能完整地表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時是抽象而嚴格證明的誘導.

2.雙向性原則

在數形結合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成.僅對代數問題進行幾何分析或只對幾何問題進行代數分析，在很多時候是很難行得通的.

3.簡單性原則

找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用帶數方法，或者兼用兩種方法敘述解題過程，則取決于哪種方法更簡單，而不是刻意追求一種流行的模式——代數問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數方法.

二、數形結合思想的運用

例1.A、B兩村子在河的同側，且A、B村到河的距離分別為1千米、3千米，A、B兩村的水平距離為3千米，現要在河邊修一抽水站向A、B兩村送水，鋪設水管的工程費用是每千米2.2萬元，如果國家撥款10萬元，試問這兩個村至少還需要自籌資金多少元，才能把水管鋪到兩村？

分析：運用軸對稱知識，如圖1-1所示.

圖1-1

1.作點A、B關于直線C、D的對稱點A■、B■.

2.連接A■B兩點交直線CD于點P.

3.任取P以外點P■.

由幾何知識可知，AP■=A■P■，AP=A■P，AP■+P■B=A■P■+P■B>A■B，即A、B兩點間直線距離最短，即點P就是河邊修建抽水站的地方.

根據勾股定理：A■B=■=■=5（千米），

所以兩個村至少還需要自籌資金為：5*2.2-10=1（萬元）.

評述：此例表明，P■在CD上移動時，當且僅當P■與P點重合時，AP■+B■P=AP+BP的值最小.

運用數形結合的方法，不僅直觀易發現解題途徑，簡化了解題過程，而且開闊了思維視野，有利于對所用知識的理解和鞏固.

同時，此例可以變成如下例子：

例2.已知x+y=3，且x>0，y>0，求x、y為何值時，■+■有最小值？

根據上例運用數形結合的思想方法，按等價性原則進行代數與幾何的轉換，使問題變得主動和直觀.

分析：設AC=1，BD=3，CD=x+y=3，如圖1-2.

1.作A點關于直線CD的對稱點.

2.連接A■、B兩點交直線CD于點P.

求x、y為何值時，■+■有最小值，即

變為CD上求一點P，使AP+BP的值最小.

解：因為AC=A■C=1，BD=3，

圖1-2

又因為A■C/BD=CP/PB=1/3，所以CP=3/4，PD=9/4，

即x=3/4，y=9/4時，■+■有最小值.

評述：通過認真分析問題的“題設”與“結合”特征，運用數形結合的思想，處理以上類似數學問題，體現了以形助數、以數解形.不難發現，我們還可以做以下一般性推廣.

例3.已知x+y=p（p>0），且x>0，y>0，求x、y為何值時，■+■有最小值？

三、數形結合思想的幾點思考

（一）數學思想與數學基礎知識及基本方法是怎樣的一個關系.

數學思想即認識數學處理數學問題發熱基本觀點，而觀點的形成又是人們在長期的學習中反復應用提煉逐步產生的，它來源于數學基本知識與基本方法，同時高于知識與方法，運用數學思想能使知識向更深更高層次發展.例如在以上例子中，運用轉化與化歸思想把式子轉化為直觀圖形，變復雜為簡單.長期反復地訓練，學習就會由自發變為自覺，在處理問題時會主動自覺地運用，調用這樣的方法與手段貫徹實現用這種思想解決問題.

（二）數形結合思想在數學教學中應逐步滲透.

學生運用數形結合的方法解決數學問題，是逐步熟練提高的過程，教師應對學生進行多次的數形結合思想滲透，不斷發展學習數學的數形結合的思想，進而使學生逐漸形成在學習數學的時候有效運用數形結合的意識.必須使學生充分明白，要想利用數形結合思想解決問題，就必須找準二者的契合點，然后根據相應對象的屬性，將數與形進行巧妙結合，進而相互間進行有效轉化，這樣才能真正有效地解決相應的數學問題.總之，引導學生不斷地進行規律探索，從特殊到一般，進而歸納并總結一般性的結論.

（三）創造良好的課堂氛圍，有利于學生對數形結合思想的學習和掌握.

創造良好的課堂氛圍，教師要在課堂教學中處處要求自己，以身作則，用自己的威望影響全班學生，給全班學生以積極的情緒體驗.教師的情緒、情感具有感染性，它能使學生受到潛移默化的影響.教學的趣味性，同樣也有助于激發學生的學習興趣.營造濃厚的學習氛圍，教學內容難易要適度，由淺入深，學生經過積極努力，最后難題也容易解答，此時，他們就會體驗到隨之而來的幸福和喜悅，為自己的智慧、毅力和力量而信心大作，從而學習興趣更濃厚，教師還應從學生非言語行為（表情、目光、動作、姿勢）中了解學生的思想動態.教師一句熱情而富有鼓勵性的話，一個親切信任的眼神，都能引起學生的興奮感、責任感，使其形成積極的心理狀態.這種良好的氣氛對數形結合思想的教學或其他教學思想的教學都會產生非常積極的作用.

參考文獻：

[1]張必華.重視通性通法滲透數學思想.

[2]初中數學教與學.2013（5）.