如何運用“數形結合”思維解決函數中兩圖形相交時自變量的取值范圍

楊春梅

初中階段我們總共學習了三種函數：一次函數、反比例函數、二次函數，這三種函數所涉及的內容多，難度大，教師難教，學生難學。因此筆者對一次函數和反比例函數兩個圖像相交時，如何求自變量的取值范圍進行了相關研究，發現要很好的解決這個問題，就要合理的使用數學中數形結合的思想。

一.兩個圖像的交點在第一、三象限

例1：如圖1所示一次函數與反比例函數，

（1）若>.求自變量的取值范圍.

（2）若<.求自變量的取值范圍.

解析：第一步：分別過A、B兩點作軸的垂線m、n，如圖 2，找到

直線m、n與軸的交點的橫坐標=-3，=2.

第二步：觀察三條直線m、y、n，將整個平面分成了四個部分，從左到右用一、二、三、四標出來。

第三步：找到每一部分的界點，如圖2，第一部分，即直線m的左邊，用<-3表示;第二部分，即直線m與直線y之間，用-3<<0表示;第三部分，即直線y與直線n之間，用0<<2表示;第四部分，即直線n的右邊，用>2表示。

第四步：看題目要求，第（1）問>，求的取值范。這里要注意理解“>”即一次函數的圖像在反比例函數的上方，觀察圖2，符合條件的只有第二、四部分，就可以得出的取值范圍為-3<<0和>2。同理可得第（2）問“<”，即一次函數的圖像在反比例函數的下方，符合條件的只有第一、三部分 ，就可以得出x的取值范圍為<-3和0<<2。

二.兩個圖像的交點在第二、四象限

例2：如圖3所示一次函數與反比例函數，

（1）若>.求自變量的取值范圍.

（2）若<.求自變量的取值范圍.

解析：第一步：分別過A、B兩點作軸的垂線，如圖 4，

找到直線與軸的交點的橫坐標=-3，=2.

第二步：觀察三條直線，將整個平面分成了四個部分，從左到右用一、二、三、四標出來。

第三步：找到每一部分的界點，

如圖4，第一部分，即直線m的

左邊，用<-3表示;第二部分，

即直線與直線y之間，用-3<<0表示;

第三部分，即直線y與直線之間，用0<<2表示;第四部分，即直線的右邊，用>2表示。

第四步：看題目要求，第（1）問>，求的取值范。這里要特別注意理解“>”即一次函數的圖像在反比例函數的上方，觀察圖4，符合條件的只有第一、三部分，就可以得出x的取值范圍為<-3和0<<2。同理可得第（2）問“<”，即一次函數的圖像在反比例函數的下方，符合條件的只有第 二、四部分 ，得出的取值范圍為-3<<0和>2。

綜上，對于一般的一次函數與反比例函數的圖像相交，設交點的橫坐標為、（<），則的取值范圍歸納如下：

對于整個解答過程可以歸納為：一畫垂線，二分區域，三找界點，四定范圍。當然，在具體的問題中，還需要靈活處理，比如有時會只出現某一個象限的圖像，或者說交點只有一個，如圖5、圖6.

圖5，看交點所在象限（即第一象限）的圖形，如圖7;圖6，看交點所在的象限（即第四象限）的圖形，如圖8。然后按照上述四個步驟進行。這里要注意第二步分區時，只觀察一個象限，只有兩個部分。

因為只有兩個部分，所以這類題的結果只有一種情況，具體操作可參照前面的解析。

由此可看出，運用數形結合的思想方法解決問題很輕松、很快捷，更重要的是學生容易理解。本文，筆者雖然只解析了一次函數和反比例函數兩個圖像相交時，如何求自變量的取值范圍，此方法其實也適用于一次函數和二次函數兩個圖像相交時自變量的取值范圍的求解。我國著名數學家華羅庚曾經說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述。通過“數”與“形”相互轉化，從而達到解決問題的目的，因此數形結合也就成為研究數學問題的重要思想方法。尤其是在解決函數問題時，恰當運用數形結合，往往使得問題迎刃而解，達到事半功倍的效果。在教學過程中，我們教師要有意識的向學生滲透數形結合的思想，讓學生活學活用，才能更有效的提高學生學習數學的效率，進而提高學生的數學素養。