指出一處錯誤，提出兩點建議

曹良春

引言

自“國家基礎教育課程改革”進行以來，作為一線教師，我首先感受到的突出變化有三點。（1）實驗教材、試用教材或者是“定版”教材的版本，如雨后春筍般一下子出現了很多，形成了百花齊放的繁榮景象。（2）相對于我以前十幾年用的教材，幾乎所有版本都在不同程度上改變了章節內容的結構，以及內容的呈現方式。（3）特別突出的是，與學生生活實際聯系緊密的內容，以及以學生為主體、自主探究發現的內容有較大幅度地增加。

新課改后，我所在的區域最先接觸到的初中數學“課改教材”是華東師大版的“實驗教材”，其中的《用正多邊形拼地板》的內容讓人耳目一新，也引起了學生的濃厚興趣。再后來，本區域又換了人民教育出版社的《義務教育教科書》，因為教一個輪回需要三年時間的原因，我是2018年才接觸到該版本（《教師教學用書.數學.八年級上冊》，2013年6月第一版，2018年5月第6次印刷），同樣的內容，只是以“教學活動”的形式呈現，也即是老師們常說的“平面鑲嵌”，因為曾經對這個內容作過一定的研究，所以想看看較之于“華東師大版”又是怎樣解決“探究的適度性”問題的。

在對《教師教學用書》進行了認真的閱讀和研究后，發現了一處錯誤;然后，還想在結構的編排和解析的方式上提出兩點建議。

1.指出一個錯誤

《教師教學用書》第55頁，正文倒數第六和第七行：“x=108（正五邊形），y=144（正十邊形）時，p=2，q=1，即2個正五邊形和1個正十邊形可以鑲嵌平面。”

其實，在教科書（學生用書）第26頁已經說得很明白，“平面鑲嵌”的三個條件是：①不留空隙;②不重疊;③把平面或平面的一部分完全覆蓋（其實質就是能夠繼續鑲嵌下去）。

《教師教學用書》的編者忽略了第3個條件，雖然在同一個頂點處幾個內角的和剛好等于360°，確實不重疊也無縫隙（如下圖圖一），但卻不能繼續鋪下去（如下圖圖二、圖三、圖四中虛線橢圓所示）。

所以，《教師教學用書》上的這個結論是錯誤的。

2.提出兩點建議

2.1建議使結構完整，使分類的情況完備

《教師教學用書》第55頁：

建議改為以下結構：

（2）用正多邊形鑲嵌平面：

2.2建議在解析的思維方式上能用學生更容易理解和接受的方式

我們搞數學教育教學的，遇到這類問題，通常會根據經驗，首先想到常規的解決模式，那就是設未知數、列方程，可列出的是不定方程，特別是后面的情況，會出現八元二次不定方程，學生一下子就頭大了，不和您玩兒了，老師，您就慢慢解吧！我只需要您的結論……這在我當初用上面提到的我的拙作中的方法講解的時候遇到過的尷尬……然后，有閑的時候，想要找到一種更簡潔的方法的想法就一直在我的腦子里面翻騰，還好，這種簡單的方法被找到了。

首先，需要先確認兩個結論：

結論1：正多邊形的每個內角都小于180°;

結論2：正多邊形中每個內角最小的是60°，此時它是正三角形。

好了，逆向思維開始了。

在同一頂點處幾個內角的和要等于360°，又因為每個內角都小于180°，所以，不可能用兩個正多邊形來拼，至少要3個正多邊形，360°÷3=120°，每個內角度數為120°的是正六邊形。

又因為，正多邊形的每個內角的度數越小，在同一頂點處需要的正多邊形的個數越多，而正三角形的每個內角最小，是60°，360°÷60°=6（個），即：在同一頂點處進行平面鑲嵌的正多邊形最多只能有6個。

因此，用同一種正多邊形進行平面鑲嵌，設在同一頂點處的正多邊形的個數為m，則3≤m≤6，既然，m=3和6已經討論了，就還剩兩種可能，m=4和5，此時，用360°÷4=90°，是正四邊形;360°÷5=72°，沒有內角等于72°的正多邊形……

歸納：用同一種正多邊形進行能平面鑲嵌的只有：正3，正4和正6。

對于c：“用三種以上的正多邊形鑲嵌平面”，同樣用這樣的思維方式。

首先還是確認兩個結論：

（1）根據實際意義，三種以上，即至少用四種正多邊形;

（2）正多邊形的每個內角的度數隨邊數的增多而增大。

不妨先用內角度數最小的四種，即正3+正4+正5+正6，則在同一頂點處的四個內角的和為：60°+90°+108°+120°=378°>360°，既然內角最小的四種正多邊形的四個角的和都大于360°，則無論選取哪四種不同的正多邊形，其在同一頂點處的幾個內角的和都必然大于360°。

歸納：用三種以上的正多邊形不能鑲嵌平面。