基于彈性地基桿系有限單元法的樁位移反分析方法

高 杭

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

在基坑、邊坡等工程建設的過程中，橫向受力樁例如排樁、地下連續墻、抗滑樁等支護形式應用十分廣泛[1-3]。針對此類支護結構，大量專家和學者已經做了很多的工程研究，并提出了集中典型的計算土壓力的計算方法，例如經典計算方法、彈性地基梁法及有限單元法。本文通過實測的水平位移值反演橫向支護樁的樁后土壓力。相比于監測儀器誤差大的特點，該方法在工程實踐中更為簡便、經濟、有效。

本文采用彈性地基桿系有限元法[4-5]，其基本計算原理是將橫向受力樁基底上面的部分作為普通梁單元，并把基坑下面的土看作彈性地基梁單元，因此對該支護結構的主動土壓力和被動土壓力進行桿系有限元分析。本文的彈性地基桿系有限單元法的主要計算過程和有限元的矩陣計算過程類似，首先離散支護結構、形成單元剛度矩陣、集成整體剛度矩陣以及建立矩陣平衡方程來求解，最后使用最小二乘法[6]進行優化得到最優解。

1 基本原理

1.1 樁單元離散

該將橫向支護樁從頂部向下分為兩個節點且等截面的桿單元。如果一共有N個單元，則此N個樁單元的節點數為N+1個。同時，為了保證計算的精確度，單元一般劃分的長度為1～2 m。除此之外，在橫向受力樁截面的突變處、荷載處、地層分界線和支撐作用點處等盡量分布節點，便于后期計算。

1.2 剛度矩陣的合成

近設長度為Ni的桿單元，在其節點Ni+1處的剪力和彎矩分別為Qi、Mi、Qi+1、Mi+1，單元兩端的位移分別為ui、ui+1，如圖1所示。

圖1 桿單元受力與變形

根據結構力學梁單元的轉角位移方程和疊加原理以及單元受到的荷載與節點之間的關系，單元剛度方程為以下形式：

[Kb]e{δ}={P}e

(1)

式中：[Kb]e為單元剛度矩陣；{δ}為單元位移陣列；{P}e是單元荷載陣列。單元剛度矩陣[Kb]e可以表示為：

(2)

式中：E為樁的彈性模量；I為截面慣性矩；l為單元長度。

對于被動區土體的剛度矩陣而言，由Winkler彈性地基梁原理可知，土體產生的土抗力為：

p(y)=myu

(3)

將上式帶入等效節點載荷的計算公式：

(4)

可以得到被動區域土體的剛度矩陣為：

(5)

式中：b0為樁計算寬度；m為地基土抗力比例系數；h為開挖的深度。

最后將樁單元矩陣和土體剛度矩陣合成為總體剛度矩陣，即根據單元的編號將各個單元矩陣首尾相加拼裝成一個大矩陣。

1.3 樁受力分析

在基坑開挖深度h之后，排樁兩側所受土壓力隨樁的位移不同而產生非線性變化。在樁后側，分別設單元節點載荷為P0、P1、P2、P3、…Pn用來表示樁后呈非線性的土壓力。

由此當深度y的單元受到如圖所示假設的兩端分別為pi-1、pi的線性荷載時，其單元上任意一點ξ的土壓力大小可以用pi-1、pi表示為：

p(ξ)=pi-1+(pi-pi-1)ξ

(6)

則由兩端分別為pi-1、pi的線性荷載產生的等效節點荷載，并進行積分可以得到

{P}e的矩陣分布形式如下：

{P}e=bpi-1l(1/2l/12 1/2 -l/12)T+

b(pi-pi-1)l(3/20l/30 7/12 -l/20)T

(7)

1.4 總體剛度矩陣及其解

當求得了總體剛度矩陣和節點和荷載矩陣之后，結構的剛度方程可以表示為：

(8)

若令[B]=[K]-1[A]，則可以得到：

(9)

若令實測{X}的系數矩陣為[C]，即

(10)

通過現場實測的方法得到m個截面的水平位移值{σ}=(δ1、δ2、δ3、…δm)，建立等式方程得到

(11)

該方程組的未知數p的個數n小于等式的方程數量m，屬于超定的矛盾方程組，沒有實質解,因此采用最小二乘法對位移實測數據優化求解。

2 最小二乘法求最優解

設位移殘差平方和函數為：

(12)

如果對{P}時，目標函數{p}={p*}取得最小值。

(13)

當求導得到導數為0時，則{P}有唯一解：

{p}=([C]T[C])-1[C]T{δ}

(14)

土壓力陣列{p}={p0p1p2…pn}即為反演的土壓力。

3 算例分析

圖2為某基坑開挖深度和荷載分布情況，開挖深度為11 m，樁徑為1.0 m，樁長為14 m，入土深度為3 m，支護樁的彈性模量為30 000 MPa，基坑土層為泥巖，且其m值為30 000 kN/m4。假設該樁受到樁后土壓力的作用而產生頂端最大位移為10 mm的線性位移。下文將通過彈性支點法和本文所述方法分別進行計算并進行比較驗證其可行性。

圖2 位移示意(單位:mm)

為了模擬在實際情況下的位移測量誤差，對每一個測點的位移分別加一個5 %和10 %的隨機誤差。

對應土壓力的計算，分別使用彈性支點法計算一個理論解和使用本文所用的方法得到一個反演分析解。在5 %位移誤差和10 %誤差的情況下得到反演土壓力比較圖分別如圖3、圖4所示。

圖3 在5%隨機誤差下反演土壓力比較

從以上結果可以分析得知，用彈性地基桿系有限元法對橫向受力樁進行實測位移反分析樁后受力是可行的，取得了較好的模擬效果。反演得到的土壓力和通過理論計算得到的土壓力誤差范圍不超過10 %，而且實測位移的擾動越小， 反演得到的土壓力越準確。

圖4 在10 %隨機誤差下反演土壓力比較

4 結論與建議

(1)本文通過實際案例計算，驗證了彈性地基桿系有限元法計算樁后土壓力的分布形式的可行性，而且計算結果較為準確。

(2)盡管彈性地基桿系有限元法的計算結果與實測數據之間存在一定的差異，但是該方法能夠充分考慮基坑開挖過程中巖土體的物理力學特性、目前仍是一種應用性較強，計算較為簡單的排樁支護有限單元計算方法。