挖掘隱含信息 構建晶體密度計算模型

河北 史義靜 王民會

一、明確晶胞中含有的微粒數目，突破晶胞質量的計算

1.熟悉“均攤法”，明確晶胞中微粒數目

(1)立方晶胞中不同位置的粒子數

(2)六棱柱晶胞中不同位置的粒子數

2.利用摩爾質量架起微粒數目與質量之間計算的橋梁

二、明確晶體空間構型，突破晶胞體積的計算

晶體中微粒排列的空間構型影響晶體的密度，常見晶體類型的空間構型是空間想象能力和邏輯思維能力訓練的基礎，是解題中運用類比遷移思維的捷徑。所以要明確常見晶胞中晶胞參數即晶胞的邊長a與粒子半徑r的關系。以立方晶胞為例，已知晶胞參數為a，則晶胞體積V=a3。

1.簡單立方晶胞

立方體中處于相鄰頂點位置的粒子相切，晶胞如圖1所示，由圖可知a=2r，V=(2r)3。

圖1

2.體心立方晶胞

圖2

3.面心立方晶胞

4.金剛石晶胞

(a)

(b)

(c)

(d)

圖5

三、典型例題

【例1】(2019·全國卷Ⅰ·35節選)(4)圖6(a)是MgCu2的拉維斯結構，Mg以金剛石方式堆積，八面體空隙和半數的四面體空隙中，填入以四面體方式排列的Cu。圖6(b)是沿立方格子對角面取得的截圖?？梢?，Cu原子之間最短距離x=________pm，Mg原子之間最短距離y=________pm。設阿伏加德羅常數的值為NA，則MgCu2的密度是________g·cm-3(列出計算表達式)。

(a)

(b)

【分析】該題中，圖6(a)比較復雜，而圖6(b)需要考生將兩個圖的位置關系對應起來，在有限的考試時間內，考生很難入題，導致放棄該題。這就需要學生們要熟記常見晶體的結構特征，精準審題，快速突破難點。

第一步：提取信息，快速突破思維障礙點

(1)類比常見晶體類型，突破陌生晶體難點

題目需求的“Mg原子之間最短距離y”，根據圖7(b)可知，為Mg原子的直徑，但是題目并沒有給出Mg原子的半徑、直徑等信息，這需要我們將圖7(b)跟圖7(a)對應起來，如圖7所示：

(a)

(b)

(2)靈活提取題干信息，突破思維難點

圖6(a)過于復雜，多數考生很難看出Cu原子的位置，很多考生到此就放棄了。如果考生能認真審題的話，是不用糾結于Cu原子的具體位置的，因為題目中“圖6(a)是MgCu2的拉維斯結構”，這句話表明了Mg原子和Cu原子的個數比為1∶2，這樣就能得出晶胞內含有的Cu原子的數目為8×2=16?；蛘吒鶕}目中“八面體空隙和半數的四面體空隙中，填入以四面體方式排列的Cu”，可知Cu原子全部在晶胞的體內，即Cu原子的數目為4×4=16。

(3)注意單位換算，避免非智力失誤

1 pm=10-10cm 1 nm=10-7cm

由圖7(b)可知，晶胞的邊長為apm，即a×10-10cm，晶胞的體積為V(晶胞)=a3×10-30cm3。

第二步：構建立體晶胞構型與平面截圖之間的對應關系，突破邊長與微粒半徑的關系

(c)

(d)

本題中，16個Cu原子的位置排列情況如下，根據題目中“八面體空隙，填入以四面體方式排列的Cu”，這個八面體指的是面心的6個Mg原子圍成的正八面體，在其中心填入了四個銅原子以正四面體結構排列，如圖9所示。

圖9

再根據題目中“半數的四面體空隙中，填入以四面體方式排列的Cu”，這個“半數四面體”指的是“Mg以金剛石方式堆積”的晶胞分割成的八個小立方體中，體心內無鎂原子的小立方體，即本文圖4(b)的8號、3號、1號、6號小立方體，在這四個小立方體的體內分別填充了四個銅原子，以正四面體結構排列，如圖10所示。

圖10

由圖10可知，上述八面體空隙中的4個Cu原子，分別處在這四個正面體中，所以，該晶胞中16個Cu原子分為4組，每組4個以正四面體結構排列，填充在該晶胞的體內。

【例2】(2019·全國卷Ⅱ·35節選)(4)一種四方結構的超導化合物的晶胞結構如圖11(a)所示，晶胞中Sm和As原子的投影位置如圖11(b)所示。

(a)

(b)

圖中F-和O2-共同占據晶胞的上下底面位置，若兩者的比例依次用x和1-x代表，則該化合物的化學式表示為________，通過測定密度ρ和晶胞參數，可以計算該物質的x值，完成它們關系表達式：ρ=________g·cm-3。

【答案】SmFeAsO1-xFx

【分析】該題晶胞為長方體，對于一些習慣立方晶胞的考生來說，容易陷入思維定式，將晶胞的體積算為a3×10-30cm3，從而失分。除此，該題還考查了數學上的三視圖，另外，運用“均攤法”求解各個原子的數目時，一部分考生難以理解題意，無法算出F-和O2-的數目，導致放棄該題。這就需要學生們平時要訓練自己的空間想象能力，考試時提取有效信息，突破難點。

第一步：類比常見晶體類型，突破陌生晶體難點

第二步：理解俯視圖，突破微粒的相對位置

根據題目中“晶胞中Sm和As原子的投影位置如圖11(b)所示”，對比圖11(a)和圖11(b)可知，圖11(b)是圖11(a)的俯視圖，As和Sm原子位置關系如下：

(a)

(b)

第三步：靈活提取題干信息，突破思維難點

那么，F-和O2-的數目各自為多少呢？根據題目中“兩者的比例依次用x和1-x代表”，可得，F-的數目為2x，O2-的數目為2(1-x)。

(1)該化合物中各個微粒的比值為Sm∶Fe∶As∶O∶F=2∶2∶2∶2(1-x)∶2x=1∶1∶1∶(1-x)∶x，故該化合物的化學式為SmFeAsO1-xFx。

(3)該晶胞為長方體，其體積=底面積×高，即：V(晶胞)=a2c×10-30cm3

圖13

【例3】(2018·全國卷Ⅲ·35節選)(5)金屬Zn晶體中的原子堆積方式如圖13所示，六棱柱底邊邊長為acm，高為ccm，阿伏加德羅常數的值為NA，Zn的密度為________g·cm-3(列出計算式)。

圖14

第二步：晶胞的上下面都為正六邊形，因為正六邊形由六個等邊三角形組成，所以，正六邊形的面積=三角形OAB的面積×6，如圖14所示。

設OD的距離為xcm，根據勾股定理：