基于Green 函數法的Timoshenko 曲梁強迫振動分析

趙 翔，周 揚，邵永波，劉 波，周 仁

(1. 西南石油大學土木工程與測繪學院，成都 610500；2. 西南油氣田分公司重慶氣礦開發科，重慶 400021)

我國基礎設施建設的不斷完善加快了土木工程、機械工程、石油工程等的發展步伐，在很多實際工程問題中，由于受場地、工程地質條件以及優化和美觀設計等影響，直梁結構不再能滿足工程需求，因此出現了很多曲梁結構，例如曲線橋梁、曲線隧道和彎曲機械構件等[1 ? 3]。研究曲線結構的抗震與直線結構不同，它的力學特性復雜，分析起來更加困難[4]。在對這些實際工程問題的研究中，曲線結構抗震研究往往被簡化為曲梁的強迫振動。許多學者已經在做這方面的研究，例如魏雙科[5]建立雙脊骨空間模型用于分析曲線梁橋的地震反應行為；閆磊等[6]提出了一種新型抗震體系—漂浮抗震體系，該抗震體系適用于非規則曲線橋梁的抗震；周彥良等[7]研究曲線隧道在不同地震波輸入方向下不同斷面的拱頂位移、內力和最大主應力變化規律；周彥良等[8]分析了曲線隧道的震害特性與機理。何燕麗、趙翔[9]建立了力電耦合的曲梁壓電俘能器模型并運用Green函數求得其強迫振動的解析解。

國內外學者對曲梁的靜力學研究已經比較成熟[10 ? 14]，針對Timoshenko 曲梁，Lee 和Yan[15 ? 16]應用位移函數法對具有強非線性邊界條件的Timoshenko 曲梁的面內、外靜撓度進行了研究。靜力法能解決簡單曲梁結構與工況的位移及內力分析問題，且可以獲得解析解，但對于復雜結構、復雜工況，靜力法求解難度則比較大，所以對曲梁動力特性的研究顯得尤為重要。

梁的動力特性研究一直是一個經典且長期存在的問題[4, 17 ? 18]。從以往的研究看，Euler、Rayleigh和Timoshenko 等各種各樣的經典模型依次被提出。而曲梁的動力特性研究目前還處于探索階段，由于曲梁結構在工程中的應用日益增多，所以越來越多的學者開始關注曲梁的振動問題，而梁的振動分為自由振動和強迫振動，其中自由振動是指振動系統按其固有頻率振動，不需外力的作用，而強迫振動是指在周期性外力的持續作用下，振動系統發生的振動。目前來看針對Timoshenko曲梁強迫振動問題的研究還較少，多數的學者主要還是傾向于研究Timoshenko 曲梁的面內、外自由振動。例如，Lee[19 ? 20]用偽譜法對Timoshenko曲梁進行面內、面外自由振動分析，Liu[21]基于等幾何方法對Timoshenko 曲梁的面內、外自由振動進行了研究，Lv 等[22]結合改進的傅里葉級數法和瑞利-里茲法，給出了具有一般彈性邊界和耦合條件的多跨Timoshenko曲梁面內振動分析的統一解。當然還有一些研究方向不同的學者，例如，Calim[23]通過對空間彎曲和扭曲的Timoshenko 梁理論公式的重寫，得到了粘彈性地基上圓形梁的控制方程。

上述學者對Timoshenko 曲梁的振動問題做了很多研究，但其研究方向主要還是集中在自由振動的問題上。經過作者的文獻調研，迄今為止還未有學者對Timoshenko 曲梁的強迫振動問題進行深入研究。由于結構在地震荷載作用下的破壞主要源于強迫振動，因此研究曲梁的強迫振動問題對今后的曲梁結構抗震分析是十分必要的。

從整體上看，以往的研究大多沒有考慮阻尼效應。事實上，阻尼效應在工程應用中是非常重要的，Li 等[24]通過引入兩個特征參數來考慮阻尼對強迫振動的影響，用Green 函數法求解了Timoshenko 直梁在強迫振動下的解析解；本文在參考文獻[24]的基礎上研究了具有阻尼效應的Timoshenko 曲梁(TCB)強迫振動的穩態Green 函數。從基本控制方程出發，本文依次采用分離變量法和Laplace 變換，推導出Green 函數，其中涉及的所有常數由邊界條件決定。通過將某些物理量設置為零或無窮大，可以很容易地將目前的基本解簡化為不存在阻尼效應的經典Timoshenko 直梁 (TB)、 Prescott 梁 (PB)和 Euler-Bernoulli 梁(EB)的基本解。通過數值計算，討論了該方法的有效性，并給出了各種特殊幾何物理量的影響。目前的解決方案以封閉和顯式的形式給出，可以作為計算方法的基準。此外，根據最近的研究[25 ? 27]，本文可以利用現有的解決方案對更多涉及的問題進行分析。

1 TCB 模型的建立

曲梁強迫振動的控制振動方程[28]為：

式中：v(s,t)、w(s,t)、ψ(s,t)分別為曲梁的軸向位移、徑向位移和轉角；p(s,t)為外部荷載；N(s,t)為軸向力；Q(s,t)為剪力；M(s,t)為彎矩；R、A、I分別表示曲梁的半徑、截面面積和截面靜距；E、G分別為曲梁材料的彈性模量和剪切模量；γ、μ分別表示曲梁的轉動慣量和單位長度質量；κ為曲梁的剪切修正因子[29]；c1表示平動阻尼[30]；“.”表示對時間t的導數。

式中：EI和κAG分別代表彎曲剛度和剪切剛度；“'”表示對曲梁任意截面位置s的導數。假設梁上作用有如下簡諧分布荷載：

將式(8a)與式(8b)聯立消除Ψ，此時再將式(9)代入，即得到TCB 的振動控制方程：

2 TCB 強迫振動的穩態Green 函數

振動控制方程式(10)可以簡寫成以下形式：

當常數a1、a2、a3、b1、b2和b3被賦予適當的值時，Euler-Bernoulli 曲梁(ECB)和Prescott 曲梁(PCB)的振動方程也可以表示為式(11)的形式。不同梁模型所對應的a1、a2、a3、b1、b2和b3可見附錄1 中的表1。

值得注意的是式(10)可以被退化為經典模型。在讓c1和c2消失的情況下，設置曲梁半徑R為無窮大可以得到不產生阻尼效應的傳統TB 模型；如果進一步設置剪切修正因子κ為無窮大，就得到了PB 模型的控制方程；最后忽略轉動慣量的影響，也就是令γ=0 可以得到EB 模型的控制方程[21]。(注*：在下文中，作者引用變量 x 代替曲梁的任意截面位置 s ，以便于與Laplace 變換中的復變量s= σ +i τ 作區分)。

根據疊加原理，式(11)的解可以表示為如下卷積積分的形式：

式中：L為梁的長度；f(x0)為外部荷載的分布函數；G(x,x0)為待求的Green 方程。從物理上來說，Green 方程G(x,x0) 指的是梁上任意一點x0作用一個單位集中力所引起的梁的響應。從數學上來說，G(x,x0)指的是下面微分方程的解：

式中，δ(·)是狄拉克函數。由式(13)可以看出G(x,x0)=W(x,x0)，即在x=x0處作用一個簡諧單位集中力所引起的梁的位移W(x)。

為了推導出相應的Green 函數，作者對式(13)中的變量x施行Laplace 變換，這里引入一個新的函數We(x)：

對式(13)中的變量x施行Laplace 變換，得到：

3 確定Green 函數的待定系數

首先通過計算 ?i(x) (i=1, 2, ···, 7)的各階導數，來確定常數W(0)、W'(0)、W"(0)、W"'(0)、W(4)(0)和W(5)(0)，根據式(16)中Ai(x)和式(19)中 ?i(x)的定義有：

物理上來說，式(21)建立了邊界處x=0 與梁上任意截面位置x之間的關系，特別當x=L時，可以建立以下代數方程組：

如果令?1(x)及其各階導數都為0，則式(22)所描述的關系同樣適用于TCB 的自由振動。

在確定了曲梁的邊界條件下，常數W(0)、W'(0)、W"(0)、W"'(0)、W(4)(0)和W(5)(0)可以被求解。對不同的梁模型：EB、PB 和TCB，各種不同邊界條件的表示形式參見附錄2 中表2。

本文解適用于附錄2 中的各種不同邊界，這里以兩端簡支的TCB 在x=L/2 處受到簡諧荷載P0cosΩt作用為例進行具體求解過程的說明，如圖1所示，來說明如何確定6 個待定常數：W(0)、W'(0)、W"(0)、W"'(0)、W(4)(0)和W(5)(0)。

首先，根據x=0 處的邊界條件確定位移和力學邊界：

圖1 兩端簡支的曲梁在x=L/2 處受到簡諧力作用Fig. 1 A simply-supported curved beam subject to harmonic force at x=L/2

通過將位移邊界式(23)代入式(8)中通過消元法得到W(0/L)、W'(0/L)、W''(0/L)、W'''(0/L)、W(4)(0/L)和W(5)(0/L)的關系式：

將其與式(21)聯立可得到如下矩陣：

左邊界處：x=0，此時有，W(0)=0，矩陣(25)中的前兩個方程由式(24b)和式(24c)得到；右邊界處：x=L，此時將式(21a)代入式(24a)，將式(21c)和式(21e)代入式(24b)，將式(21b)、式(21d)、式(21f)代入式(24c)，可依次得到矩陣式(25)中的后3 個方程。

λ1、λ2、λ3、λ4和λ5的值參見附錄4，從而式(21)中的所有常數W(0)、W'(0)、W"(0)、W"'(0)、W(4)(0)和W(5)(0)被確定。因此兩端簡支的TCB 的Green函數的形式如下：

其中， ?i(x)(i=1, 3, 4, 5, 6, 7)在式(19)中被給出，應該再次指出的是式(26)適用于TB、PB 和EB；通過將半徑R設置為無窮大，可以簡化為TB 振動模型，在此基礎上，將剪切修正因子κ設置為無窮大，可以退化為PB 振動模型，最后再把轉動慣量γ 設置為0，可退化為EB振動模型。

對于其它的邊界條件，如兩端固支，兩端自由，固支-簡支，懸臂等邊界條件，與求解兩端簡支曲梁的Green 函數一樣，按照同一過程也可以得到相應的Green 函數。

4 數值結果和討論

如圖1 所示,考慮到一個兩端簡支的TCB，梁高為h，梁長L，在x0=L/2 處受到單位簡諧集中力P(x,t)=δ(x?L/2)eiΩt作用。為了便于說明，本文引入以下無量綱化參數：

4.1 Green 函數解的有效性驗證

在第3 節中，已經提到TCB 模型的Green 函數解可以退化為TB 模型的Green 函數解。利用這一點可以對簡支TCB模型的Green 函數解進行退化驗證，看其是否與Li[24]所得到的TB 的Green函數解是一致的。因此如圖2 所示，作者將本文結果的退化解與文獻[24]中的簡支Timoshenko 直梁模型的結果作了對照。

圖2 簡支TB 在中點處作用單位簡諧集中力的無量綱化的撓度Fig. 2 The dimensionless deflection subject to the external unit simple harmonic concentrated force at the middle section of simply supported TB

對照顯示，本文結果的退化解與文獻[24]的結果完全吻合，從而本文結果的有效性得到了驗證。

為了進一步驗證解的有效性，利用ANSYS 軟件建立了兩端固支的TCB 有限元模型，并將跨中處作用單位靜荷載下產生的無量綱化撓度與本研究的靜態解作對比分析，如圖3 所示。這里引入無量綱化參數：g1(ξ, ξ0)=G(x,x0)/wc，其中wc=L3/(192EI) 是兩端固支梁的中截面x0=L/2 處受到單位集中力作用產生的最大靜撓度。

圖3 固支TCB 在中點處作用單位集中力的無量綱化的撓度Fig. 3 The dimensionless deflection subject to the external unit concentrated force at the middle section of fixed-fixed TCB

對比顯示本文的靜態解與有限元算例的位移值基本吻合，從而本文結果的有效性得到了進一步驗證。

4.2 兩端簡支的不同梁模型共振頻率研究

圖4 所示是以外激勵頻率Ω1為自變量的無量綱化撓度g(1/2, 1/2)，圖中的TB、PB、EB 均由TCB模型退化而得。

計算結果得出，當Ω1=1.0 時，EB發生共振。對于PB 和TB，它們的共振頻率分別為 ?P1B=0.997和 ?T1B=0.984，也就是說，其一階固有頻率分別為90.138 rad/s 和88.981 rad/s，這與文獻[21]中的結果一致，并且與文獻[36]中所預測的值相吻合，從而進一步證明了本文所得解的正確性。

圖5 所示是不同半徑的TCB(L=0.5m)以外激勵頻率Ω1為自變量的無量綱化撓度g(1/2, 1/2)。

從圖中可以看出，隨著半徑的增長，TCB的共振頻率逐漸減小，并收斂于TB(R=∞)的共振頻率。

圖4 以外激勵頻率Ω1 為自變量的無量綱化撓度g(1/2,1/2)Fig. 4 The dimensionless deflection g(1/2, 1/2) as a function of the dimensionless frequency Ω1 of external dynamic force as independent variable

圖5 不同半徑的TCB 以外激勵頻率Ω1 為自變量的無量綱化撓度g(1/2,1/2)Fig. 5 The dimensionless deflection g(1/2, 1/2) as a function of the dimensionless frequency Ω1 of external dynamic force as independent variable for TCB with different radiuses

圖6 所示是無量綱化的梁的撓曲線g(ξ, 1/2)，其橫坐標是無量綱化的梁的跨度ξ=x/L。圖中的TB、PB、EB 均由TCB 模型退化而得。從四種梁模型相應Green 函數曲線的模態形狀可以看出，Ω1=0.5 可以激發一階模態。在該頻率激勵下，PB與EB 的解極為接近，這說明轉動慣量對Green 函數的影響較為微弱。相反的，TB 與EB 的解差異顯著，這說明剪切效應對梁的振動撓曲線影響較大。如圖6 所示，TCB 與三種直梁模型的撓曲線相似，其撓度比TB 模型的撓度小。但是從下一小節的研究結果中不難發現隨著半徑R的變小，TCB 的撓曲線形狀會發生較大的變化。

4.3 不同半徑下簡支TCB 的撓度變化

圖7 所示是不同半徑的TCB 無量綱化的撓曲線g(ξ, 1/2)，其橫坐標是無量綱化的梁的跨度ξ=x/L。

圖6 在外激頻Ω1=0.5 作用下，EB、PB、TB 和TCB(R=5)的無量綱化撓度g(ξ,1/2)Fig. 6 The dimensionless deflection g(ξ,1/2) of EB, PB, TB,and TCB (R=5) corresponding to Ω1=0.5 of external dynamic force.

圖7 不同半徑下，TCB 的無量綱化撓度g(ξ,1/2)Fig. 7 The dimensionless deflection g(ξ,1/2) of TCB with different radiuses

從圖中可以看出，隨著半徑R的減小，TCB的撓度逐漸變小，應當特別指出的是：當半徑R=0.25 m 為梁長L=0.5 m 的1/2 時，其邊界處轉角為0，撓曲線的形狀類似于兩端固支的直梁。

圖8 所示是以半徑R為自變量的無量綱化撓度g(1/2, 1/2)。

圖中可以看出隨著半徑R的增長，在起始階段TCB 的跨中撓度呈線性增加，隨后增加趨勢逐漸變得緩和，最終收斂于相同條件下TB 模型的無量綱化撓度。

4.4 阻尼效應對簡支TCB 的影響

圖9 與圖10 所示是以半徑R=2 m，梁長L=0.5 m的TCB 為例，分別以阻尼比ζ1和ζ2為自變量的無量綱化位移g(1/2, 1/2)。

圖8 以半徑R 為自變量的TCB 的無量綱化撓度g(1/2,1/2)Fig. 8 The dimensionless deflection g(1/2,1/2) of TCB with radius R as independent variable

圖10 以阻尼比ζ2 為自變量的無量綱化撓度g(1/2, 1/2)Fig. 10 The dimensionless deflection g(1/2,1/2) of TCB with damping ratio ζ2 as independent variable

從圖中可以看出：隨著阻尼比ζ1和ζ2的增加，位移值變得越來越小，這是符合客觀物理實際的；另外，通過對比圖9 與圖10 還可以看出平動阻尼的影響比轉動阻尼要大。控制方程中的平動阻尼代表空氣阻尼，而轉動阻尼代表材料阻尼[33]。計算結果表明，材料阻尼對簡支曲梁的位移響應影響較小，因此可以忽略。

5 結論

本文通過Laplace 變換，系統地研究了兩端簡支、固支、自由邊界條件下TCB 強迫振動的Green函數。并以兩端簡支邊界條件為例，證實了所得到的TCB 強迫振動Green 函數可以退化到TB、EB和PB 的強迫振動Green 函數。并通過數值手段，研究了以上四種梁模型的共振頻率、不同半徑下TCB 的撓度變化和阻尼效應的影響。并得出以下幾點重要結論：

(2)隨著半徑R的增大，TCB 的無量綱撓度逐漸變大，并最終收斂于TB 的無量綱撓度，應當特別指出的是：當半徑R=0.25 m 為梁長L=0.5 m 的1/2 時，其邊界處轉角為0，撓曲線的形狀類似于兩端固支的直梁。

(3)隨著阻尼比ζ1和ζ2的增加，TCB 的跨中撓度近似于線性越小。此外，由于材料阻尼對簡支曲梁的位移響應影響較小，因此可以忽略。

在解的驗證部分，所得到的TCB 的Green 函數退化為TB 的Green 函數后與Li 等[24]所得到的TB 的Green 函數完全吻合，且退化為EB 的Green函數與Abu-Hilal[33]所得到的EB 的Green 函數一致。此外，本文的靜態解與有限元算例的位移值基本吻合，從而本文結果的有效性得到了進一步驗證。

本文的研究結果可為相關理論研究和工程應用提供有益參考，文中所涉及的物理量符號說明參見附錄3 中表3。