彈性支撐對多跨梁結構振動特性的影響

宋 超，趙 巖，劉江濤，張 航，高 聰

(1.海軍裝備部裝備項目管理中心，北京100071；2.中國艦船研究院，北京100101；3.哈爾濱工程大學，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

船上設備工作產生的寬頻激勵將不可避免地引起船體結構振動，該寬頻振動能量經由基座、甲板等船體結構向響應面傳遞，將對船舶舒適性和結構安全性產生危害[1]。船體結構是由眾多桿、梁和板等彈性構件相互耦合而成的組合結構[2]，其中，梁系結構作為船舶結構中的重要部分，是影響船體振動傳遞的主要因素之一。因此開展船舶梁系結構振動特性影響的研究，對揭示船舶結構復雜多模態振動機制具有重要的指導意義。

李俊[3]從基礎理論出發，推導了考慮剪切變形和轉動慣量的彎扭耦合薄壁梁自由振動的動態傳遞矩陣，并給出了其顯式表達式。湯華濤[4]利用有限元法推導了空間單元的傳遞矩陣，研究了懸臂梁結構在含軸向拉壓應變時其振動特性變化的問題。Nandakumar等[5]基于狀態矢量法修改阻尼傳遞矩陣，進行了結構參數識別的分析理論探究。王獻忠[6]應用非齊次項的精細積分，提出一種求解加筋圓柱殼動響應的精細傳遞矩陣方法。

由以上研究可知，一方面現有文獻大多聚焦于單跨梁結構和簡單組合結構在經典邊界條件下的自由振動特性，鮮有學者開展對多跨梁振動機理揭示的研究。同時對于彈性支撐條件下多跨梁結構振動特性研究尚未見公開報道。為此，本文在已有研究成果的基礎上，對實際船舶梁系結構進行簡化，開展具有彈性支撐的多跨梁其彈性支撐相關參數改變對結構振動特性的影響研究，旨在更好地揭示船體振動特性規律。

1 多跨梁結構振動特性分析

1.1 梁系結構振動方程

將連續梁結構簡化為若干個無質量彈性梁段和集中質量，如圖1所示。

圖1 簡單梁結構模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of simple beam model

此時，將梁上任一點的位移矢量和力矢量作為線性傳遞矩陣理論[6]分析變量，結構狀態矢量：

式中：y為當前點的撓度；θ 為轉角；M為彎矩；S為剪力。

由傳遞矩陣法基本方程得：

式中：Cip稱 為點傳遞矩陣；Ci f為場傳遞矩陣。

取彈性梁段li作為分離體，如圖2所示。令y軸向上為正；梁右截面上的彎矩逆時針方向為正，剪力向下為正，左截面上的彎矩順時針方向為正，剪力Si?1向上為正。

圖 2梁結構計算模型Fig.2 Calculation model of beam structure

由彎曲平衡方程可知：

式中：E為材料的彈性模量；I為慣性矩。聯立式（3）和式（4）并用矩陣形式表示，有

取集中質量mi作為分離體，其右端矢量為左端矢量為由位移連續條件與力平衡條件得：

結合式（5）和式（6）可得第i-1個梁段右端至第i個梁段右端的狀態矢量傳遞關系：

式中：Ci為單元傳遞矩陣，有

對于圖1所示的連續梁振動系統，有

式中，C為總傳遞矩陣。

由兩端邊界條件，可確定梁首末處的狀態矢量Z0和Zn，聯立方程可解得結構的固有頻率與模態。

1.2 梁系結構振動特性分析

為簡化研究，本文以如圖2所示的輕質梁段和集中質量組成的多自由度系統為研究對象。各段彈性梁長度=0.2 m，彈性模量 ，截面慣性矩，各集中質量為=1.6 kg。邊界條件設為兩端簡支，如圖3所示。

liE=2.1×1011N/m2I=1.0×10?6m4mi

圖3 平面橫向振動彈性梁段Fig.3 Elastic beam section with transverse vibration

根據邊界條件可得，結構兩端狀態矢量均滿足：

由傳遞矩陣法解得連續梁的振動模態，經歸一處理后前4階模態振型計算結果如圖4所示。

在連續梁中心位置即第10個集中質量處施加單位力，計算得到第5個集中質量元件5#、第10個集中質量元件10#及第15個集中質量元件15#三點處的強迫振動響應頻譜曲線。為保證計算精度，計算頻段設為1～200 Hz，計算結果如圖5所示。

由圖5可知，系統振動響應在16 Hz，144 Hz出現峰值，峰值頻率與系統第1階、第3階固有頻率相接近；此外，激勵位置處即第10個集中質量元件振動響應存在反共振頻率100 Hz；結構振動響應曲線在第2階固有頻率63.8 Hz附近未出現共振峰值，原因是激勵位置位于結構第2階模態振型的節點附近，不能引起結構強振動。除共振峰值頻率附近外，結構振動響應均較小。

在16 Hz，64 Hz，100 Hz，144 Hz頻率下梁結構各單元的強迫振動響應結果如圖6所示。可以看出，共振峰值頻率16 Hz，144 Hz下結構響應分布與結構前兩階模態振型相近；系統在64 Hz，100 Hz下各單元振動響應都相對較小。

1.3 船舶結構多跨梁簡化模型

圖4 梁結構振動模態振型Fig.4 Vibration mode of beam structure

船舶結構存在不同跨度的縱骨、橫梁等骨材結構，從而與甲板形成不同尺度的加筋板架結構，本研究僅考慮結構截面方向，以設有彈性支撐的多跨梁近似模擬加筋板或板架結構，其中平板采用彈性梁段和集中質量點模擬；骨材結構采用彈性支撐模擬，為簡化研究，這里僅考慮其剛度，計算模型如圖7所示。進而研究彈性支撐的跨度和剛度改變對多跨梁結構振動特性的影響。

圖5 振動響應頻譜圖Fig.5 Vibration response spectrum

圖6 梁結構振動響應分布Fig.6 Vibration response of beam structure

對于設置彈性支撐的集中質量mi，取其作為分離體，支撐剛度為k，其右端矢量為左端矢量為由位移連續條件與力平衡條件得：

圖 7多跨梁計算模型Fig.7 Calculation model of multi span beam

計算模型采用由60個無質量彈性梁段及59個集中質量構成的多自由度系統模擬多跨連續梁，各段彈性梁彈性模量E=2.1×1011N/m2，慣性矩I=1.0×10?6m4，各集中質量為mi=1.6 kg，支撐剛度為k=3.0×105N/m。

2 彈性支撐跨度對振動特性的影響

2.1 結構跨度對多跨梁振動特性的影響

本節對于具有彈性支撐的多跨梁結構，兩端簡支邊界下結構跨度分別為6 m，9 m，12 m，15 m，18 m，設支撐剛度均為k=3.0×105N/m，計算不同結構跨度下多跨梁的首階固有頻率，計算結果如圖8所示。可以看出，隨結構跨度的增大，結構固有頻率呈下降趨勢，且隨跨度增大逐漸趨于平緩。

圖8 不同跨度系統首階固有頻率變化Fig.8 First order natural frequency variation of different span system

2.2 支撐跨度對多跨梁振動特性的影響

在結構跨度為1 2 m的多跨梁上，分別均布3～6個彈性支撐，設支撐剛度k=3.0×105N/m，計算不同支撐跨度下的結構首階模態變化，計算結果如圖9所示。可以看出，隨支撐跨度的增大，多跨梁結構固有頻率呈下降趨勢，其1階振型也發生變化。

圖9 系統自由振動特性變化Fig.9 Change of free vibration characteristicsof the system

3 彈性支撐剛度對結構振動特性的影響

3.1 整體剛度對結構振動特性的影響

以結構跨度為12 m、均布5個彈性支撐的多跨梁為研究對象，整體支撐剛度K=ik，基礎剛度k=2.0×105N/m，計算模型如圖10所示。

圖10 多跨梁計算模型Fig.10 Calculation model of multispan beam

為了計算不同支撐剛度下的結構模態變化，本文給出了支撐剛度整體依次取1～5k時結構的固有頻率和模態陣型，計算結果如圖11所示。可以看出，隨支撐剛度的增大，結構固有頻率呈上升趨勢，且上升幅度越來越小，結構一階振型也發生變化。

在多跨梁結構左側1/3即20號點位置施加單位力，計算當支撐剛度改變時，多跨梁系統左側1/4位置即15號點振動速度響應變化，計算頻段定位在1～200 Hz范圍，結果如圖12所示。可以看出，隨支撐剛度的增大，振動響應曲線右移，且右移幅度越來越小，這是因為支撐剛度的增大使得結構固有頻率升高所導致的；且隨頻率升高，振動響應曲線右移幅度越來越小，這是由于支撐剛度的增大對高階結構固有頻率影響小于低階結構固有頻率所造成。

圖11 系統自由振動特性變化Fig.11 Change of free vibration characteristics of the system

圖12 振動速度響應頻譜圖Fig.12 Frequency spectrum of vibration speed response

3.2 局部剛度對結構振動特性的影響

對于船舶板架結構，一般由甲板、結構剛度相同且略小的多條縱骨及剛度較大的縱桁結構構成，為此簡化后的多跨梁結構中彈性支撐剛度將不完全相同。如圖10所示，取兩側支撐剛度k=4.0×105N/m，中部支撐剛度為k1=ik，計算中部支撐在不同剛度下結構的模態變化，計算結果如圖13所示。可以看出，隨中部支撐剛度的增大，結構固有頻率呈上升趨勢，且上升幅度越來越小，結構1階振型也發生變化，振型最大位移點逐漸從中部向兩側移動。同時，隨著中部支撐剛度不斷增加，其結構1階陣型最大位移點以分離至計算模型的1/4位置和3/4位置處，0位置處至中部支撐位置梁段1階陣型曲線與兩端簡支的低階梁結構1階陣型趨于一致。因此，對于復雜的多跨梁和交叉梁系而言，選取適當的支撐剛度，可將其簡化成帶有彈性支撐的多跨梁，進而進行振動特性分析。

圖13 系統自由振動特性變化Fig.13 Change of free vibration characteristics of thesystem

在多跨梁結構左側1/3即20號點位置施加單位力，計算得到當中部支撐剛度改變時，多自由度系統左側1/4位置即15號點在1～200 Hz振動速度響應變化，計算結果如圖14所示。可以看出，對于25 Hz，50 Hz，91 Hz附近峰值，隨中部支撐剛度的增大，振動響應峰值出現向右偏移現象，這是由于支撐剛度的增大使得結構固有頻率升高；對于25 Hz附近峰值，隨支撐剛度的增大，峰值右移幅度逐漸減小。

4 結語

本文針對船舶多跨梁結構振動機理揭示不足等問題，基于傳遞矩陣法開展了彈性支撐對船舶多跨梁結構振動特性的影響規律研究，得出如下結論：

1）對彈性支撐多跨梁結構，系統固有頻率隨結構跨度增加而下降，隨彈性支撐跨度增大而下降，且均逐漸趨于平緩。

圖14 振動速度響應頻譜圖Fig.14 Frequency spectrum of vibration speed response

2）對彈性支撐多跨梁結構，當支撐剛度整體增加時，結構的固有頻率隨即增大，增大幅度隨剛度的增加趨于平緩。同時結構振動響應曲線右移，右移幅度隨頻率的升高而減小。

3）選取適當的局部支撐剛度，船體板架結構振動可簡化為多跨梁振動。當多跨梁上局部支撐剛度增大時，結構一階振型最大位移點逐漸由中部向兩側移動，與兩端簡支的低階梁結構一階陣型趨于一致。