電壓暫降的Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)方法研究

徐 勇，向運(yùn)琨，曾 麟，何 哲，李建閩

(1.國(guó)網(wǎng)湖南綜合能源服務(wù)有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410007；2.湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410081)

0 引言

隨著新能源大規(guī)模并網(wǎng)，非線性負(fù)荷、沖擊性和電力電子設(shè)備劇增，電力系統(tǒng)負(fù)荷日趨復(fù)雜化和多樣化，導(dǎo)致電網(wǎng)的非對(duì)稱性和波動(dòng)性日益嚴(yán)重，并引發(fā)了一系列電能質(zhì)量問(wèn)題[1-2]。電壓暫降是其中極為重要的影響因素之一[3]。隨著各種計(jì)算機(jī)、微控制器和新一代電力電子負(fù)荷設(shè)備的廣泛使用，電壓暫降已經(jīng)成為危害這些設(shè)備正常工作的主要影響因素。電壓暫降的準(zhǔn)確檢測(cè)是電能質(zhì)量評(píng)估、電能污染治理的關(guān)鍵[4-5]。

傳統(tǒng)的電壓暫降檢測(cè)方法主要包括基波分量法、有效值法和峰值電壓法等。然而，傳統(tǒng)檢測(cè)算法在時(shí)間定位方面存在較大誤差，且無(wú)法得到相位跳變量[6]。單相dq變換法通過(guò)構(gòu)造虛擬三相電壓，實(shí)現(xiàn)了暫降特征量的檢測(cè)，但需要延時(shí)60°，增加了響應(yīng)時(shí)間[7-8]。短時(shí)傅里葉變換由于其使用窗函數(shù)寬度固定，無(wú)法兼顧高頻信息和低頻信息[9]。小波變換具有良好的時(shí)頻細(xì)化分析能力，克服了短時(shí)傅里葉變換的缺點(diǎn)。但小波基選取復(fù)雜，且易受噪聲影響，計(jì)算量大，不容易實(shí)現(xiàn)對(duì)電壓驟降特征量的在線、實(shí)時(shí)提取[10]。S變換是由短時(shí)傅里葉變換和連續(xù)小波變換發(fā)展而來(lái)的一種信號(hào)時(shí)頻分析方法[11-14]。雖然S變換及現(xiàn)有改進(jìn)算法可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)信號(hào)的時(shí)頻特性分析，但是其時(shí)頻能量聚集不高，無(wú)法用于電網(wǎng)信號(hào)時(shí)頻特征參數(shù)的精確分析。

為此，本文采用基于Kaiser窗的改進(jìn)S變換，提高S變換的能量聚集性和時(shí)頻分辨率自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的電壓暫降檢測(cè)方法，通過(guò)對(duì)電壓暫降信號(hào)基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的時(shí)頻結(jié)果進(jìn)行分析，提取電壓暫降幅值、起止時(shí)刻及持續(xù)時(shí)間和相位跳變量等特征信息，實(shí)現(xiàn)電壓暫降的準(zhǔn)確檢測(cè)。

1 基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的基本原理

1.1 S變換原理及其局限性

S變換的定義為[15]：

(1)

式中：w(t)為窗函數(shù)；τ為時(shí)移因子。

其窗函數(shù)定義為歸一化的Gaussian窗，即：

(2)

式中：σ為尺度因子。

σ可調(diào)節(jié)Gaussian窗的高度及寬度，且與頻率f成反比，即：

(3)

由式(3)可見(jiàn)，Gaussian窗在低頻段的頻率分辨率較高，在高頻段的時(shí)間分辨率較好。但在S變換中，Gaussian窗尺度調(diào)節(jié)因子尚無(wú)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)復(fù)雜畸變擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)的能量聚集度不高，在高頻區(qū)域存在頻譜間相互干擾等缺陷。這從一定程度上限制了其時(shí)頻分辨能力。

1.2 基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換原理

Kaiser窗為一組由第一類(lèi)修正零階貝塞爾函數(shù)構(gòu)成的可調(diào)窗函數(shù)，其主瓣、旁瓣的能量比可近乎達(dá)到最大，且可自由調(diào)節(jié)主瓣寬度和旁瓣高度的比值。Kaiser窗函數(shù)的表達(dá)式為[16]：

(4)

式中:β為窗函數(shù)形狀調(diào)節(jié)參數(shù)；I0(x)為第一類(lèi)修正零階貝塞爾函數(shù)。

歸一化Kaiser窗函數(shù)的時(shí)頻域圖形如圖1所示。其中:p.u.為標(biāo)幺值。當(dāng)β=0時(shí)，Kaiser窗退化為矩形窗；當(dāng)β值逐漸增大時(shí)，Kaiser窗的時(shí)域?qū)挾戎饾u減小，頻域?qū)挾戎饾u變寬；與此同時(shí)，其旁瓣峰值電平逐漸減少且衰減速率逐漸增加。

圖1 歸一化Kaiser窗時(shí)頻域圖形Fig.1 Time-frequency-domain of normalized Kaiser window

為使調(diào)節(jié)參數(shù)β與頻率f有關(guān)，引入常數(shù)α，且定義:

β(f)=α×f

(5)

可利用調(diào)節(jié)因子α，實(shí)現(xiàn)Kaiser窗的高度和寬度在時(shí)頻域的變化調(diào)節(jié)。用Kaiser窗替代式的Gaussian窗，可推導(dǎo)得到基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(6)

式中：τ為時(shí)移因子；α為調(diào)節(jié)因子；f為頻率。

離散序列的基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換為：

(7)

式中：m、k、r=0,1,…,N-1；X(k)為采樣序列x(n)進(jìn)行離散傅里葉變換所得序列；WK(k)為Kaiser窗的離散傅里葉變換。

對(duì)離散采樣信號(hào)x(n)進(jìn)行基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換，可得一個(gè)復(fù)數(shù)二維時(shí)頻矩陣，記為：

SK(m,k)=A(m,k)ejφ(m,k)

(8)

式中：A(m,k)為基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換結(jié)果的幅值矩陣，亦稱為模矩陣；φ(m,k)為基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換結(jié)果的相位矩陣。

2 電壓暫降檢測(cè)方法

2.1 暫降起止時(shí)刻以及持續(xù)時(shí)間的檢測(cè)

通過(guò)基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換所得的基波幅值特性曲線，由于Kaiser窗優(yōu)異的能量聚集性能而具有較好的抗噪能力。但基波幅值曲線仍存在變化緩慢的缺點(diǎn)，使得電壓暫降的起止時(shí)刻定位不太準(zhǔn)確。針對(duì)這一不足，本文采用基于基波幅值曲線的基波幅值差分曲線進(jìn)行電壓暫降起止時(shí)刻的檢測(cè)，實(shí)現(xiàn)突變信號(hào)的捕獲，檢測(cè)誤差小。

由基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的原理可知，在幅值矩陣A(m,k)中，提取所有頻率點(diǎn)為基波頻率點(diǎn)k0，即可得到基波幅值曲線A(m,k0)。因此，基波幅值差分曲線可由下式求得：

D(m,k0)=A(m,k0)-A(m+1,k0)

(9)

式中:m=1,2,…,N-1；k0為基波頻率的離散取值。

基波幅值差分曲線D(m,k0)中的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)電壓暫降發(fā)生點(diǎn)和暫降結(jié)束點(diǎn)，從而計(jì)算出電壓暫降起始、終止時(shí)刻，并可得到電壓暫降的持續(xù)時(shí)間。

2.2 暫降幅值的檢測(cè)

實(shí)際電網(wǎng)環(huán)境往往伴有諧波存在。因此，本文選取該極值點(diǎn)作為中間時(shí)間點(diǎn)的一個(gè)基波周期的電壓采樣值，并對(duì)這一個(gè)周期的采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)作傅里葉變換，得到電壓暫降后的幅值：

(10)

式中:M為單個(gè)基波周期的采樣點(diǎn)數(shù)；Kmin為基波幅值曲線的最小值點(diǎn)；u(kΔT)為電壓暫降信號(hào)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)；U(nΔF)為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)的傅里葉變換。

通過(guò)這種方式，可以有效克服電網(wǎng)諧波對(duì)幅值測(cè)量的影響，準(zhǔn)確得到電壓暫降前后的幅值，進(jìn)而得到電壓暫降幅值深度λ。

2.3 暫降相位跳變量的檢測(cè)

由基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的原理可知，在相位矩陣φ(m,k)中，提取所有頻率點(diǎn)為基波頻率點(diǎn)k0，即可得到基波相位矩陣φ(m,k0)。通過(guò)基波相位矩陣，可以得到電壓暫降信號(hào)的相位跳變量：

φ=max]φ(m,k0)]-min]φ(m,k0)]

(11)

2.4 電壓暫降特征量檢測(cè)流程

本文所提出的基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的電壓暫降檢測(cè)算法的主要包含以下步驟。

①對(duì)被測(cè)電壓信號(hào)進(jìn)行基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換，得到基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換二維時(shí)頻矩陣SK(m,k)，從而得到基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換矩陣的幅值矩陣A(m,k)和相位矩陣φ(m,k)。

②查找基波幅值曲線A(m,k0)極小值點(diǎn)，選取該極值點(diǎn)作為中間時(shí)間點(diǎn)的一個(gè)基波周期的電壓采樣值，并對(duì)這一個(gè)周期的采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)作傅里葉變換，得到電壓暫降后的幅值，進(jìn)而計(jì)算得到電壓幅值暫降深度λ。

③由基波幅值曲線得到基波幅值差分曲線D(m,k0)，得到電壓暫降起止時(shí)刻及持續(xù)時(shí)間。

④在相位矩陣φ(m,k)中，提取所有頻率點(diǎn)為基波頻率點(diǎn)k0，從而得到基波相位矩陣φ(m,k0)，進(jìn)而計(jì)算得到電壓暫降相位跳變量φ。

圖2為基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的電壓暫降檢測(cè)方法流程圖。

圖2 基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的 電壓暫降檢測(cè)方法流程圖Fig.2 Flowchart of voltage sag detection method based on modified S transform with Kaiser window function

3 仿真試驗(yàn)與實(shí)際測(cè)試

實(shí)際電網(wǎng)中，通常發(fā)生的電壓暫降為單相事件[17]。因此，本文在MATLAB環(huán)境下主要針對(duì)單相電壓暫降信號(hào)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。采用本文方法，分別在含有幅值下降和相位跳變、含有諧波以及不同信噪比三種情況下進(jìn)行電壓暫降檢測(cè)。仿真時(shí)，采樣長(zhǎng)度設(shè)為10個(gè)周波，采樣頻率為6.4 kHz，即每個(gè)周波采樣128點(diǎn)。此外，在原始仿真信號(hào)中疊加信噪比(signal-to-noise radio,SNR)為30 dB的高斯白噪聲。本文通過(guò)大量仿真試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Kaiser窗函數(shù)調(diào)節(jié)參數(shù)選取β=π，可保證基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換在擁有較好時(shí)頻分辨率的同時(shí)具有較高的能量聚集度。

3.1 正常電壓信號(hào)檢測(cè)

正常電壓信號(hào)為恒定幅值和頻率的工頻正弦波。理想正弦電壓基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果如圖3所示。由圖3可見(jiàn)，采用本文方法對(duì)正常電壓信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，所得正常電壓幅值曲線幅值波動(dòng)不大，幅值差分曲線也較為平坦，相位曲線跳變量近似為0。因此，檢測(cè)結(jié)果表明，該電壓信號(hào)并未發(fā)生電壓暫降。

圖3 理想正弦電壓基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果Fig.3 Detection result of the modified S transform with Kaiser window on ideal voltage

3.2 幅值下降和相位跳變影響下的電壓暫降檢測(cè)

設(shè)電力系統(tǒng)供電電壓U0為1 p.u.，基波頻率f0為50 Hz，則存在電壓幅值下降和相位跳變情況時(shí)，電壓暫降仿真信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(12)

若電壓暫降的起止時(shí)刻并未發(fā)生在過(guò)零點(diǎn)處，由于信號(hào)幅值沒(méi)有發(fā)生突變，此時(shí)檢測(cè)難度最大[3]。因此，該電壓暫降信號(hào)仿真的起止區(qū)間設(shè)定在0.04～0.12 s之間，暫降深度設(shè)置為0.6。

具有幅值下降和相位跳變的電壓暫降信號(hào)基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果如圖4所示。

圖4 同時(shí)具有幅值下降和相位跳變的電壓暫降 基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果

3.3 諧波影響下的電壓暫降檢測(cè)

隨著各類(lèi)非線性、沖擊性負(fù)荷以及新型電力電子設(shè)備的廣泛使用，新能源的大規(guī)模并網(wǎng)，實(shí)際電網(wǎng)電壓信號(hào)往往含有大量諧波。因此，研究諧波存在條件下，本文所提算法的檢測(cè)性能具有重要的實(shí)際價(jià)值。

當(dāng)存在諧波干擾時(shí)，電壓暫降仿真信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(13)

式中:U0為供電電壓；f0為基波頻率；H為最高諧波的階次；hi(i=2,3,…,H)為各次諧波幅值，且0.05≤hi≤0.3 p.u；λ為暫降深度；φ為相位跳變量。

含諧波分量的電壓暫降基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果如圖5所示。

圖5 含諧波分量的電壓暫降基于Kaiser 窗函數(shù)改進(jìn)S變換檢測(cè)結(jié)果Fig.5 Detection result of the modified S transform with Kaiser window on voltage sag with harmonics

3.4 白噪聲影響下的電壓暫降檢測(cè)

為了檢驗(yàn)算法的抗噪性能，在MATLAB環(huán)境下對(duì)電壓暫降仿真信號(hào)添加一定信噪比的高斯白噪聲。所添加的白噪聲信噪比在20～50 dB的范圍內(nèi)變動(dòng)，步長(zhǎng)為10 dB。此外，設(shè)置電壓暫降信號(hào)的暫降起止時(shí)刻(持續(xù)時(shí)間)、暫降深度以及相位跳變量等參數(shù)均隨機(jī)產(chǎn)生，信號(hào)采樣長(zhǎng)度為0.2 s，采樣率為6.4 kHz，測(cè)試樣本個(gè)數(shù)為1 000個(gè)。采用本文算法所得電壓暫降的各個(gè)特征向量，在不同信噪比影響下的相對(duì)誤差檢測(cè)結(jié)果如表1所示。

表1 不同信噪比影響下的相對(duì)誤差檢測(cè)結(jié)果Tab.1 Detection relative errors with different SNRs

由表1可知，隨著測(cè)試樣本的噪聲強(qiáng)度逐漸增大，電壓暫降的檢測(cè)所得相對(duì)誤差雖略有增加但并不明顯，其特征向量檢測(cè)所得最大相對(duì)誤差僅為0.972%。由此可見(jiàn)，本文所提方法在保證較高的檢測(cè)準(zhǔn)確率的同時(shí)具有較好的魯棒性。

3.5 與其他檢測(cè)方法檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

不同方法檢測(cè)結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 不同方法檢測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of detection results by different methods

為驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文所得檢測(cè)結(jié)果分別與改進(jìn)αβ-dq變換檢測(cè)方法[18](表2中方法1)、改進(jìn)S變換檢測(cè)方法[5](表2中方法2)的檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。仿真信號(hào)的參數(shù)設(shè)置與方法2中的參數(shù)設(shè)置一致：設(shè)置供電電壓U0為1 p.u.，基波頻率f0為50 Hz，電壓暫降信號(hào)仿真的起止區(qū)間在0.06～0.12 s之間，暫降深度λ為0.4，相位跳變量為-30°。此外，設(shè)采樣頻率為6.4 kHz，采樣長(zhǎng)度為10個(gè)周波。

由表2可知，采用本文方法測(cè)得的電壓暫降起始時(shí)刻為0.059 4 s、結(jié)束時(shí)刻為0.120 2 s、暫降深度為40.02%、相位跳變量為29.997°，在三種檢測(cè)方法中準(zhǔn)確度最高。

3.6 實(shí)際測(cè)試與應(yīng)用

在使用本文方法進(jìn)行大量仿真試驗(yàn)與分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于高性能數(shù)字信號(hào)處理器(digital signal processor,DSP)的電壓暫降檢測(cè)硬件測(cè)試平臺(tái)。

電壓暫降檢測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 電壓暫降檢測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structure sketch of voltage sag measurement

U0經(jīng)信號(hào)調(diào)理電路變?yōu)榻涣餍⌒盘?hào)后送入模數(shù)轉(zhuǎn)換器(analog to dogital converter,ADC)，得到離散采樣數(shù)據(jù)；再通過(guò)ADC的串行外設(shè)接口(serial peripheral interface,SPI)口傳輸給DSP;憑借DSP的高速處理能力，完成電壓暫降信號(hào)特征量的檢測(cè)。圖6中:ADC芯片采用TI公司生產(chǎn)的16位、六通道同步采樣芯片ADS8556；DSP選用TI公司生產(chǎn)的32位浮點(diǎn)型TMS320C6745。

在實(shí)際測(cè)試中，采用Fluke 6105A作為信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)源生成電壓暫降信號(hào)U0，設(shè)置其暫降深度為0.8，基波頻率在49.5 Hz、50 Hz和50.5 Hz之間變動(dòng)，并加入3、5、7次諧波；暫降發(fā)生和結(jié)束的時(shí)刻為隨機(jī)產(chǎn)生，其持續(xù)時(shí)間分別為1、3、5個(gè)基波周期。

從表3的數(shù)據(jù)可看出，基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的電壓暫降檢測(cè)方法的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果完全滿足國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 30137-2013《電能質(zhì)量 電壓暫降與短時(shí)中斷》的誤差要求。

表3列出了電壓暫降檢測(cè)相對(duì)誤差。

表3 電壓暫降檢測(cè)相對(duì)誤差Tab.3 Detection relative errors of voltage sag

4 結(jié)論

本文提出一種基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的電壓暫降檢測(cè)方法。該方法具有較高的時(shí)頻能量聚集度，能夠準(zhǔn)確、有效地檢測(cè)電壓暫降信號(hào)的暫降起止時(shí)刻及持續(xù)時(shí)間、暫降深度和相位跳變量等特征參數(shù)，并能有效抑制含有諧波干擾的影響。與現(xiàn)有檢測(cè)方法相比，本文方法具有檢測(cè)精度高，魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，MATLAB仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。實(shí)際構(gòu)建的硬件測(cè)試平臺(tái)驗(yàn)證了本文方法在嵌入式平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)的可行性和有效性。此外，本文建立的基于Kaiser窗函數(shù)改進(jìn)S變換的信號(hào)時(shí)頻分析方法可為其他電能質(zhì)量擾動(dòng)問(wèn)題的分析提供借鑒。