連續消費者假設下的一個二階段定價問題

劉博 趙瑩

摘 要：本模型是一個在消費者偏好為連續的情況下，機構通過二階段定價，來招攬更多消費者，并提高自己總收入的模型。結論是：雖然盡早結束打折且幾乎沒有折扣能達到最大利潤，但機構會顧及名譽而不這樣做。選擇適當的折扣和折中的時間依舊可以取得比無折扣更多的利潤。

關鍵詞：連續消費;二階段定價;構造模型

一、 提出問題

筆者發現考試機構報名費政策安排類似一個二階段定價問題，即：在某一時間點之前繳納報名費，會享受一定的折扣。這樣的折扣應當會吸引一大部分價格敏感型的考生進行報名，只要新增的報名人數足夠多，機構便可以獲得更多的利潤，但需要安排才可以獲得最大的利潤。

二、 構造模型

設某考試機構在t=（0，1）的連續時間內征收報名費P，并在1時刻舉行考試。這個考試機構準備在時間t之前按照折扣a（a≤1）征收報名費aP，他們首先要確認折扣政策相比單一定價更為有利可圖，其次準備通過求出最優的a和t來達到利潤最大化。

報考考試的考生對金錢有著不同的時間偏好，具體形式可寫成eKitM，其中Ki∈（0，1）且為均勻分布。它可以看作考生對金錢的重視程度：Ki越大，表示越愿意晚繳納報名費。

考試機構也可以用收到的報名費進行投資，回報為連續復利的形式，即estM。其中s>1，即所有考生個人投資的回報都不會超過機構投資的回報。

為表示出不征折扣之前和征收折扣之后的考生數量變化，應當構造一個需求曲線，為求簡單，僅假設一些關鍵點。

首先，當沒有折扣政策時，第K1個考生發現花Pe-K1×1的報名費和不花錢對他的效用是一樣的。則所有小于K1的人都會選擇報名，所有大于K1的人都不會報名;同理，當有折扣時，也是小于K2的人都會選擇報名，所有大于K2的人都不會報名。

接下來求出有折扣政策時，有多少考生選擇提前繳費。對于時間一個偏好為Ki的考生，當Pe-Ki×1≥aPe-Ki×t0時，他會選擇提前繳費。由此解得：Ki≥logat-1，設為K0。我們的需求函數有0

三、 求解模型

機構未實行打折政策時，1時刻收入為K1P（1）;實行打折政策后，1時刻總收入為：K0P+es（1-t）（K2-K0）aP（2）。

經計算，在a→1，t→0時，（1）<（2）一定有解，即實行打折政策會有更多收入。接下來求解最大值。對收入方程（2）右式中的a和t0求導，得到的一階條件為：Rt=-loga（t-1）2+aes（1-t）loga（t-1）2-（K2-logat-1）=0（3）和Ra=1a（t-1）+es（1-t）K2-logat-1-1（t-1）=0（4）。它沒有解析解。

但因為函數（3）和（4）都連續，則可以代入一些極值點。具體來說，針對（3）式令t→0，則R′t→-loga+aes（2loga-K2）（5）;再令t→1，則R′t→aes（2loga）-K2（6）。當a→0時，（5）和（6）符號相反，所以當a趨近于0時，最優的t一定在（0，1）之間。當a→1時，（5）和（6）均為負，意為當a趨近于1時，t=0時利潤才會取得最大值。

再針對（4）式，先令a→0，則R′a→∞，再令a→1，則R′a→1（t-1）+es（1-t）K2-1（t-1）（7）經計算，當t=1時（7）式為0。而且當t=0時，（7）式>0，這證明a在（0，1）區間的導數均為正，那么a無限趨近1才可以使得利潤達到最大。這剛好與分析（3）式時的a→1假設相吻合。

于是，模型的解為：a=1，t=0，即在0時刻征收一個無限接近于原價的報名費，才是最有利可圖的。但這樣的收費政策會讓考生覺得這個機構過于吝嗇、唯利是圖，所以還是適當加大折扣才能讓考生們容易接受。

作者簡介：

劉博，趙瑩，中央財經大學中國經濟與管理研究院。