基于參量下轉換的量子糾纏光源仿真模型

周 政，安雪碧，錢泳君，陳 巍

(1.中國科學技術大學，安徽 合肥 230026；2.安徽問天量子科技股份有限公司，安徽 蕪湖 241002)

0 引言

量子信息是量子力學和信息科學交叉融合的產物，也是新工科發展的重要內容之一。對量子信息的教學是相關研究和應用的基礎。量子糾纏是量子信息研究的核心資源，它是量子密碼[1-3]、量子隱形傳態[4]及線性光學量子計算[5]等的理論和實驗基礎。高性能的實體量子糾纏源實驗裝置較為昂貴、對實驗環境要求比較苛刻，可能出現損壞以及量子光信號無法可視化等問題。這些問題嚴重限制了糾纏光源在教學中的普及和教學效果。此前已有一些針對量子密碼[6-9]、量子安全直接通信[10-12]等方案的虛擬仿真研究。其中文獻[7-9]對基于參量下轉換的量子糾纏光源進行了仿真。但是這些工作中對量子糾纏源的仿真都面向量子密碼、量子直接通信等具體協議，并沒有涉及Bell不等式的測量和分析等內容，并且主要是針對非線性晶體的特性進行模擬，沒有突出量子糾纏光源和其他非線性光學器件在量子領域的特性區別。面向使用I型偏硼酸鋇(BBO)晶體產生的實際糾纏光源，在充分考慮了光學器件可調節特性的前提下，對Bell不等式測試、糾纏源保真度測量以及干涉可見度測量等實驗內容進行了建模，給出了雙光子符合計數與可調光學器件之間的函數模型。這一方法和思路可推廣用于仿真基于周期極化磷酸氧鈦鉀(PPKTP)晶體的其他類型量子糾纏光源，并可能用于科研級量子光學系統的設計。

1 量子糾纏和量子糾纏光源

1.1 量子糾纏態

在量子力學中，若一個系統的態空間能夠使用單一的波函數或者態矢量表征，則稱該系統處在純態。純態S可用狄拉克符號表示為|φ〉。對一個存在兩粒子A,B的復合純態系統，如果這個純態|φ〉A,B不能表示為兩個子系統的直積態|φ〉A?|φ〉B，則態|φ〉A,B就是一個糾纏態，即A，B兩個子系統是相互糾纏的[13]。糾纏的定義可擴展到多體系統，即若整個系統處于純態，且不能寫成各個子系統純態的直積形式，那么這個系統就處于糾纏態，所有子系統互相糾纏。

以A,B兩個電子構成的總自旋為零的純態為例，測量兩個電子自旋態時，只存在兩種情況：A電子自旋向上，B電子自旋向下，表示為|↑↓〉；A電子自旋向下，B電子自旋向上，表示為|↓↑〉。這兩種情況不經測量無法區分，其波函數可以寫為：

(1)

當對A電子進行自旋測量，將以1/2概率得到自旋向上態|↑〉，以1/2的概率得到自旋向下態|↓〉。如果測得A電子自旋向上，則B電子必然自旋向下，態|φ〉塌縮為|↑〉A|↓〉B；相反的，如果測到A電子自旋向下，則B電子必然自旋向上，態塌縮為|↓〉A|↑〉B。

1.2 量子糾纏光子對制備

雙光子糾纏源的制備技術目前已較為成熟，較常用的制備方法是利用自發參量下轉換(Spontaneous Parametric Down Conversion，SPDC)制備糾纏光子對[14-16]。SPDC是利用非線性晶體的二階非線性效應。頻率為ωp的泵浦光(pump)通過非線性光學介質后，產生另外兩個頻率為ωs,ωi的低頻光，分別稱之為信號光(Signal)和閑頻光(idler)。SPDC過程要求低頻光和泵浦光滿足能量守恒和動量守恒，即需要晶體的切割角滿足相位匹配條件[16]。

對于負單軸晶體，相位匹配條件要求倍頻光的偏振與折射率較小的非常光(e光)相同。此時，基頻光偏振的選擇可以有兩種：兩基頻光取相同的偏振(o光)，參量轉換過程為e→o+o；兩基頻光取互相垂直的偏振態(o光和e光)，參量轉換過程為e→e+o。將這兩種不同的相位匹配方式分別稱之為Ⅰ型和Ⅱ型匹配。由于基于I型相位匹配晶體的量子糾纏光源在實際實驗中具有亮度高、不需空間補償晶體等優點，在實驗中被廣泛采用，本文選取基于這種類型晶體的量子糾纏光源進行仿真建模。

利用I型SPDC制備糾纏光源，其過程如圖1[16]所示，具體描述如下。

一個45°偏振的泵浦光，入射到兩片粘合在一起的光軸互相垂直(晶體 #1的光軸位于垂直面內，晶體 #2的光軸位于水平面內)的BBO晶體上。按照相位匹配條件，只有在泵浦光是垂直(水平)偏振時，下轉換過程才會在晶體#1(#2)中發生，產生偏振為水平(豎直)的光錐，且晶體 #1 和晶體 #2 具有同樣的幾率發生下轉換過程。由于兩片BBO晶體很薄，所以兩個光錐幾近重合。當在光錐上對稱兩點收集光子，則可以同時收到偏振同為水平或者同為垂直的光子，并且到達光子在時間和偏振態上不可預測和不可區分。但是當對其進行測量時，若一端檢測結果為水平(豎直)偏振態，則另一端偏振態也瞬時確定地塌縮為水平(豎直)偏振態。

圖1 I型參量下轉換產生糾纏光子示意圖Fig.1 Schematic diagram of entangled photons produced by type I spontaneous parametric down conversion

在這種情況下，相干疊加得到偏振糾纏態可以描述為:

(2)

調節位于 BBO 晶體前的零級四分之一波片可以改變上式中的φ，從而實現標準的Bell 態：

(3)

在其中一路上加入一塊半波片，使偏振H與V互換，則可實現另外兩種 Bell 態：

(4)

完整的I型BBO量子糾纏源裝置如圖2所示。

圖2 I型BBO晶體量子糾纏源實驗裝置Fig.2 Experimental setup of quantum entanglement source based on type I BBO crystal

實驗裝置采用405 nm波長的激光器輸出連續激光。經過偏振分束器PBS后，垂直偏振光V經過半波片(Half-Wave Plate,HWP)對偏振進行旋轉至偏振45°。405 nm激光經過透鏡Lens聚焦于圖1所示結構的BBO晶體上，發生參量下轉換過程后，產生810 nm糾纏光子對，兩束糾纏光束夾角為3°。利用反射鏡改變光路，使光束夾角變為180°后，用單模光纖分別對其進行收集并輸入單光子探測器(Single Photon Detector,SPD)。SPD產生的電信號進入符合計數儀，符合計數儀可以給出兩個單光子探測器在1 ns內同時接收到光子的符合計數值(由于參量下轉換過程中兩個光子同時產生，一般利用這個特點，使用符合計數儀來濾除噪聲)。單模光纖準直器前放置濾波片用于濾除雜散光和噪聲光，并加入偏振片、HWP和四分之一波片(Quarter-wave Plate,QWP)組成測量裝置，可用于測量干涉可見度、糾纏源保真度及Bell不等式測試[16-20]實驗。其中，BBO為β-BaB2O4晶體，OC為光纖準直器。

2 I型BBO糾纏源仿真模型

下面給出上述量子糾纏光源的仿真模型。如圖2所示，泵浦光強記為p，糾纏光子對產生率為R，A、B兩路本底衰減分別為ηA1和ηB1，用戶調節耦合頭OC1和OC2的偏轉角度分別為χ1和χ2，則對應引起的衰減分別為：

ηA1=cos(χ1)，

(5)

ηA2=cos(χ2)。

(6)

符合門寬為T，其初始值為2 ns并可進行調節。兩路的真實符合計數cT為：

cT=p·R·ηA1·ηA2·ηB1·ηB2·c，

(7)

式中，c為符合計數率，它由實驗裝置中波片、BBO晶體等角度決定，c的具體形式和推導過程如下。

激光器發出的光，經過偏振分束器PBS后，其量子態可表示為|H〉，經過角度為θ1的HWP2后的量子態為：

cos2θ1|H〉+sin2θ1|V〉。

(8)

經過角度為θ2的BBO之后，量子態為:

|ψ〉=cos(θ2-2θ1)(cosθ2|H〉+sinθ2|V〉)(cosθ2|H〉+sinθ2|V〉)+
sin(θ2-2θ1)(sinθ2|H〉-cosθ2|V〉)(sinθ2|H〉-cosθ2|V〉)=
(cos(θ2-2θ1)cos2θ2+sin(θ2-2θ1)sin2θ2)|H〉|H〉+
(cos(θ2-2θ1)sin2θ2+sin(θ2-2θ1)cos2θ2)|V〉|V〉+
(cos(θ2-2θ1)-sin(θ2-2θ1))cosθ2sinθ2|V〉|H〉+
(cos(θ2-2θ1)-sin(θ2-2θ1))cosθ2sinθ2|H〉|V〉。

(9)

設測量臂QWP1角度為φ1、HWP3的角度為θ3、QWP2的角度為φ2和HWP4的角度為θ4，則兩臂測量基本征態的表達式分別為：

|U〉=[(cos2φ1+isin2φ1)cos2θ3+(1-i)cosφ1sinφ1sin2θ3]|H〉+
[(1-i)cosφ1sinφ1cos2θ3+(icos2φ1+sin2φ1)sin2θ3]|V〉，

(10)

|D〉=[(cos2φ2+isin2φ2)cos2θ4+(1-i)cosφ2sinφ2sin2θ4]|H〉+
[(1-i)cosφ2sinφ2cos2θ4+(icos2φ2+sin2φ2)sin2θ4]|V〉。

(11)

則兩臂單光子探測器的符合計數率為：

C=|〈U|〈D|?|ψ〉|2。

(12)

先將測量基矢展開為：

〈U|?〈D|=[(cos2φ1-isin2φ1)cos2θ3+(1+i)cosφ1sinφ1sin2θ3]×
[(cos2φ2-isin2φ2)cos2θ4+(1+i)cosφ2sinφ2sin2θ4]〈H|〈H|+
[(cos2φ1-isin2φ1)cos2θ3+(1+i)cosφ1sinφ1sin2θ3]×
[(1+i)cosφ2sinφ2cos2θ4+(-icos2φ2+sin2φ2)sin2θ4]〈H|〈V|+
[(1+i)cosφ1sinφ1cos2θ3+(-icos2φ1+sin2φ1)sin2θ3]×
[(cos2φ2-isin2φ2)cos2θ4+(1+i)cosφ2sinφ2sin2θ4]〈V|〈H|+
[(1+i)cosφ1sinφ1cos2θ3+(-icos2φ1+sin2φ1)sin2θ3]×
[(1+i)cosφ2sinφ2cos2θ4+(-icos2φ2+sin2φ2)sin2θ4]〈V|〈V|。

(13)

由此得到符合計數率的最終表達式：

c=|〈U|?〈D|ψ〉|2=
|[(cos2φ1-isin2φ1)cos2θ3+(1+i)cosφ1sinφ1sin2θ3]×
[(cos2φ2-isin2φ2)cos2θ4+(1+i)cosφ2sinφ2sin2θ4]×
(cos(θ2-2θ1)cos2θ2+sin(θ2-2θ1)sin2θ2)+
[(cos2φ1-isin2φ1)cos2θ3+(1+i)cosφ1sinφ1sin2θ3]×
[(1+i)cosφ2sinφ2cos2θ4+(-icos2φ2+sin2φ2)sin2θ4]×
(cos(θ2-2θ1)-sin(θ2-2θ1))cosθ2sinθ2+
[(1+i)cosφ1sinφ1cos2θ3+(-icos2φ1+sin2φ1)sin2θ3]×
[(cos2φ2-isin2φ2)cos2θ4+(1+i)cosφ2sinφ2sin2θ4]×
(cos(θ2-2θ1)-sin(θ2-2θ1))cosθ2sinθ2+
[(1+i)cosφ1sinφ1cos2θ3+(-icos2φ1+sin2φ1)sin2θ3]×
[(1+i)cosφ2sinφ2cos2θ4+(-icos2φ2+sin2φ2)sin2θ4]×
(cos(θ2-2θ1)sin2θ2+sin(θ2-2θ1)cos2θ2)|2。

(14)

以上推導給出了符合計數率c與HWP2和BBO晶體，測量光路中的QWP1,HWP3,QWP2,HWP4旋轉角度之間的關系。

帶入cT的計算式(7)，可得到實際每秒的單光子符合計數。為模擬真實環境中的噪聲，設每一路的單通道計數為NA=p·R·ηA1·ηA2，NB=p·R·ηB1·ηB2，隨機符合計數cR為cR=NA·NB·T。綜合以上模型和推導過程，可以給出最終符合計數儀輸出的符合計數為cA=cT+cR。

值得注意的是，上述模型給出的是理論推導的精確值，在實際實驗中，實驗測量往往會受到噪聲影響。因此在仿真模型中加入隨機參數cR，其概率分布滿足高斯型分布N(μ=1，σ2=1)。最終仿真模型給出的符合計數為cR·cA。即使波片角度等參數完全相同，每秒鐘的符合計數也會出現抖動，從而進一步模擬實際實驗數值受噪聲影響產生的抖動。

利用上述模型，只需輸入HWP2和BBO晶體，測量光路中的QWP1,HWP3,QWP2,HWP4旋轉角度以及準直器OC1和OC2的偏轉角度，就可以給出符合計數儀的輸出數據。這一模型的輸入參數與實際實驗中調節器件類型和參數完全對應，從而實現對實際量子糾纏光源實驗裝置的虛擬仿真。

利用上述模型，可以模擬仿真利用圖2實驗裝置進行Bell不等式測試實驗[16-20]。在此采用CHSH型不等式[20]：

S=E(a,b)-E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′+b′)。

對于經典體系，CHSH型不等式的最大值為2，當S實驗值大于2時，說明實驗裝置具有非局域性，即存在量子糾纏。

表1 Bell不等式測試實驗數據，均取10 s平均值Tab.1 Experimental data of Bell’s inequality,average value in 10 s

表2 Bell不等式測試仿真數據Tab.2 Simulation data of Bell’s inequality

此外，還測量了糾纏光子對的干涉曲線，即保持測量光路中QWP1,QWP2,HWP3的角度為0，旋轉HWP4的快軸角度θ。實驗數據和模擬仿真數據如圖3所示，縱坐標為每秒符合計數，實驗數據均取10 s平均值。

圖3 仿真模擬數據和實驗數據Fig.3 Simulation data and experimental data

由圖3可以看出，虛擬仿真模型給出的數據更接近理論模型的三角函數曲線，真實實驗數據由于有更多的噪聲和誤差，會比虛擬仿真實驗數據有更低的干涉可見度。這可以通過調節虛擬仿真模型中的高斯噪聲函數來調整，進一步逼近真實實驗數據。但是由于真實實驗數據會隨實驗室環境(溫濕度、實驗臺面抖動)和實驗裝置調節狀態等諸多不可控因素影響，每次測量的結果也無法完全一致，因此虛擬仿真模型只能逼近，而無法與實驗數據完全一致。

3 結論

通過以上對實體I型BBO量子糾纏源的仿真模型的推導，給出了虛擬仿真模型，并將虛擬仿真模型給出的數據與實際實驗數據進行了對比,該模型與實際實驗數據保持了較好的一致性。可以利用本文給出的虛擬仿真模型進行Bell不等式違背、干涉可見度測量、糾纏源保真度測量等虛擬仿真實驗，并且為EPR-steering[21]和經典維度目擊違背[22-24]等理論研究的快速實驗驗證提供仿真模型和計算工具。