初中數學中關于圓的教學策略探索

何靜

四川省綿陽市游仙區綿陽中學英才學校

圓在幾何圖形中屬于一個規則但有特殊的圖形，在日常生活中也是經常出現的，但是如果想引導學生們正確的掌握圓的性質概念以及數學知識，教師們在科學執教的同時讓同學們從生活中找到圓形特殊性質的突破口，讓學生們帶著興趣和疑問投入學習，由淺入深的引導學生。

一、圓的基本定義

圓的定義：圓是一種比較特殊的幾何圖形，指的是在一個平面當中存在的點，這些點都遵從一個特性，它們到一個定點的距離都相等。而滿足條件的這些點的集合就稱為圓。這個給定的點稱為圓的圓心，到這個定點的距離就稱為圓的半徑。在教學當中，用來作圖的工具是圓規。(圓規的設計也正好說明了圓的性質，一個確定的圓心和一段確定的半徑就能畫出一個圓)。圓是一條閉合的曲線，曲線以內為圓的內部，曲線以外為圓的外部。圓之間的內切指的就是兩個圓在圓的內部相切，圓之間的外切指的就是兩個圓在圓的外部相切。這條閉合曲線稱為圓周，圓周的長度稱為圓的周長。

二、與圓相關的一些其他參數

1.弦：連接已知圓上任意兩點的線段。一個圓可以由無數條弦組成，過圓心的弦就是圓的直徑。

2.直徑：通過圓心的弦就是直徑。直徑的兩個端點都在圓周上，用d 表示。直徑所在的直線是圓的對稱軸。因為對于一個圓來說，其直徑是唯一大小的。所以直徑是決定圓的大小的單位。

3.弧：圓上任意兩點之間的距離。(將一個圓以任意圓上的兩點截斷可得到兩段曲線，這兩條曲線就是弧)。弧分為劣弧和優弧。小于半徑的弧稱為劣弧，通常用圓上的兩個點來表示，如大于半徑的弧稱為優弧，通常用圓上的三個點來表示，如。

三、圓的對稱

關于圓的對稱有一個重要的定理——垂徑定理。圓的重要性質需要通過垂徑定理來推敲，圓的對稱性也是證明弧相等、線段相等以及垂直關系的重要依據。在進行作圖、做圓輔助線以及圓的計算都涉及圓的對稱。因此，這部分內容是圓教學的重點和難點。

1.圓的軸對稱性及垂徑定理。垂徑定理指的是圓的直徑和弦，以及弦所對的弧之間的對應關系，如弦所對的弧之間的垂直或平分，是解決圓內的弧、角、線段的關系以及垂直關系的定理。例如，“已知四邊形ABCD 是⊙O 的內接梯形，AB ∥CD，AB=8，CD=6，圓O 的半徑是5，則梯形的面積是？”想要求梯形面積就必須知道以下條件：上底、下底、高。求高則成了這道題的難點。由于已知半徑，做一條垂直于底邊的垂直平分輔助線，由輔助線做出兩個三角形，由勾股定理求出未知直角邊，兩直角邊之和就是梯形的高。由梯形面積公式可得梯形面積為49。

2.圓的中心對稱性。圓是中心對稱圖形。中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱。圓的對稱中心點是圓心。圓上所有點都是關于它的對稱中心的對應點。而對應點都在這個圖形上。如果將中心對稱的兩個圓看成一個圖形，那么這個由兩個圓組成的圖形就是中心對稱圖形。

四、圓周角定理

圓周角指的是頂點在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角。即圓周角的頂點在圓上，而它的兩邊為圓的兩條弦。圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半。在圓周角的有關證明題、計算題當中，如果能從圓心角與圓周角的關系來思考，一般都可以快捷地找到解題思路，從而使問題在短時間內得到解答。例如，“在一個圓當中，已知一條圓心角為60 度的弦，請畫出另外一條與其平行且長度為其二分之一弦。”解題思路：“想要畫出一條與已知弦平行且長度為其二分之一的一條弦，只需要畫一條圓心角為30 度的且與其平行的弦即可。”

五、輔助圓的應用

1.畫輔助圓求三角形的度數。求三角形的度數的一般方法為在公共點做一個頂點，然后再畫出三角形的外接圓。從而建立三角形與輔助圓之間的相應關系，從而解決問題。例如，“在一個不規則三角形中做出一個等腰三角形。”解題思路：“只需取三角形任意頂點為圓心以一條臨邊為半徑畫圓，該圓與三角形另一邊的交點則與其相等，從而得到等腰三角形。”

2.畫輔助圓求線段的長度。此方法較為簡單，只需遵循在同一圓內任一半徑都相等的原則。

3.畫輔助圓求正多邊形的面積。正多邊形的面積是一個難點，如果在其外面畫輔助圓，然后通過畫三角形建立圓與多邊形之間的關系，即可簡化問題難度。

六、結語

圓是最基礎的平面圖形，在初中最常見的數學問題中都有涉及。當我們遇到用常規思維方式不能解決的問題時，不妨利用畫輔助圓的方式將問題簡單化，仔細思考圓的各種特殊定義和性質，即可將抽象題目直觀化，進而解決我們遇到的各種復雜問題。