蘭姆波檢測參數曲線的應用研究

徐敬崗，鄧景珊，李書齊

(1.常州工程職業技術學院，江蘇常州213164；2.上海大學，上海200444)

0 引 言

蘭姆波作為超聲無損檢測中的一種特殊類型，在金屬薄板的超聲檢測研究領域中，應用越來越廣泛。國內外無損檢測技術人員相繼對蘭姆波檢測技術進行了深入的研究，但由于蘭姆波在激勵、傳播和信號處理等方面的復雜性，導致其在工業檢測中的應用受到一定的限制。在薄板蘭姆波檢測技術的研究過程中，其頻散特性是關鍵點，深入理解蘭姆波產生的原理和傳播特點，依據蘭姆波的頻散特性確定薄板檢測的合理方案[1]。為了滿足實際檢測的需要，如何根據蘭姆波的頻散特性繪制出解決特定檢測需求的蘭姆波參數曲線就成為迫切需要解決的問題。因此，滿足特定檢測需求的蘭姆波參數曲線的繪制研究將對蘭姆波在無損檢測領域的應用具有極其重要的意義。

蘭姆波參數曲線一般包括相速度-頻厚曲線、群速度-頻厚曲線、激勵角-頻厚曲線和板中質點位移振幅分布-板厚位置曲線。其中相速度曲線是由蘭姆波頻率特征方程求解所得，其他三種曲線則是分別由群速度、激勵角、質點振動位移與特征方程的解Cp之間特定關系所確定的不同方程求解所得。群速度曲線表示各模式蘭姆波在對應頻厚條件下的能量傳播速度，激勵角曲線表示在對應頻厚條件下激勵產生各模式蘭姆波所應采用的入射角度，質點位移振幅分布曲線表示各模式蘭姆波在對應頻厚條件下平行和垂直于板材表面方向上振動位移的大小，它與蘭姆波在板中的能量分布狀況存在一定的對應關系。在求解蘭姆波頻率特征方程中，薄板的縱波速度Cl、橫波速度Cs、頻厚積f·d(薄板厚度d與檢測頻率f的乘積)是三個獨立變量，由于頻厚積由實際檢測條件確定，因此薄板的縱波和橫波聲速就成為求解蘭姆波頻率特征方程和繪制蘭姆波檢測參數曲線的關鍵參數。

1 蘭姆波特征方程

蘭姆波根據質點振動特點和波動特性的不同，可以分為對稱和反對稱兩種模式，對稱模式和反對稱模式均有不同的階次，對稱模式包括：S0、S1、S2··，反對稱模式包括：A0、A1、A2··[2]。若滿足自由邊界的條件，蘭姆波特征方程可表示為[3]

對稱模式：

反對稱模式：

此組方程看似簡單，實則隱含著多種變化情況，同時此頻率特征方程的特性決定了蘭姆波是具有多模式和頻散特性的，且模式不同，非線性關系也不同。公式中的蘭姆波相速度Cp并非常數，而是隨頻厚積f·d的變化而改變，蘭姆波的此種特性反映在相速度(Cp)-頻厚積(f·d)平面內，即表現為一系列特性曲線，也就是所謂的蘭姆波相速度頻散曲線[4]。

2 蘭姆波特征方程算法分析

2.1 方程分析

求解蘭姆波對稱模式和反對稱模式方程時，以蘭姆波相速度Cp為自變量，求解過程會相對簡單，若令x=f·d，則式(1)和式(2)分別可變換為式(3)[4]和式(4)：

式(3)和式(4)中各系數的值隨蘭姆波相速度Cp的變化而變化。對于一般的材料，滿足Cs＜Cl，對稱模式方程式(3)中各系數的值如表 1[4]所示，反對稱模式方程式(4)中各系數的值如表2所示。

2.2 算法分析思路

為了更透徹地分析蘭姆波特征方程和避免方程求解無意義的情況出現，特對方程求解過程進行分段處理，同時對特殊點進行分析求解。方程分段求解主要從0＜Cp＜Cs、Cs＜Cp＜Cl和 Cl＜Cp三個區段進行分析，特殊點求解分析主要從Cp=Cl、Cp=Cs和Cp=Cs等幾種情況考慮。在方程分段求解的過程中，主要用到了二分法的原理，求解相對容易[5]。其他研究人員已經做過類似的工作，此處僅做簡單介紹作為參考。鄭玉明等[1]先對蘭姆波特征方程進行化簡，隨后從0＜Cp≤Cs、Cs＜Cp≤Cl和Cl＜Cp三個區間對方程進行了分析，給出了無限大蘭姆波頻散曲線的計算方法。艾春安等[4]以蘭姆波對稱模式方程為例，先對Cp=Cl等特殊點進行求解分析，然后用二分法從0＜Cp＜Cs、Cs＜Cp＜Cl和Cl＜Cp三個區間分段求解。倪園等[6]研究人員以相速度為自變量求解蘭姆波方程，并用Matlab軟件對求解過程進行了編程。艾春安等[7]根據蘭姆波運動的時間規律的簡諧波因子與頻散曲線的物理特性，用數值迭代法在實數域內求解頻率特征方程。文獻[8-9]對蘭姆波方程進行了分析，給出Lamb波頻散曲線的數值計算方法，繪制了Lamb波在鋁板中傳播的相速度和群速度曲線，并通過試驗進行了驗證。張維剛等[10]保持了頻率和板厚在計算中的獨立性，利用牛頓切線法求解了蘭姆波頻率特征方程。

表1 方程式(3)系數的值[4]Table 1 Coefficient values in Equation(3)[4]

表2 方程式(4)系數的值Table 2 Coefficient values in Equation(4)

3 算法程序框圖

文中對蘭姆波特征方程的對稱模式和反對稱模式兩種情況進行了簡單的算法分析，并按照算法分析的思路采用VC++軟件加以編程實現，繪制出滿足特定檢測需求的薄板蘭姆波檢測參數曲線，具體算法程序流程圖如圖1所示。

圖1中計算模塊1的內容為三角方程的求解子程序過程，而計算模塊2、計算模塊3和計算模塊4為用二分法求解子程序的過程[4]。

圖1 蘭姆波檢測參數曲線算法程序流程圖Fig.1 Flow chart of the algorithm for Lamb wave detection parameter curves

4 薄板蘭姆波檢測參數曲線繪制軟件的應用

文中所設計的薄板蘭姆波檢測參數曲線繪制軟件主要包括6個界面：參數設置、數據查找、相速度曲線、群速度曲線、質點位移振幅分布曲線和激勵角曲線界面。下面以厚度為 3 mm的1Cr18Ni9Ti不銹鋼板材為例作詳細說明。

4.1 參數設置界面

該界面是運行所編制程序以后首先進入的一個界面，在此界面中設定所需要的各項參數，其中最基本的幾項參數為：板材材質、縱波聲速、橫波聲速、斜楔中縱波聲速和板材厚度，而另外幾項參數在設定好之后，如果沒有特殊需要，基本不做修改。以不銹鋼 1Cr18Ni9Ti為例，選用聚楓斜楔(其中聲速為2 350 m·s-1)，相速度曲線橫坐標 f·d最大值設為10 MHz·mm，縱坐標Cp的最大值設為14 000 m·s-1，板厚設為 3 mm，再將不銹鋼的縱波和橫波聲速輸入相應的文本框中，頻厚積步長和相速度步長已在程序中設定，無須更改。具體參數設置如圖2所示。

圖2 參數設置界面Fig.2 Parametre setting interface

4.2 數據輸出界面

此界面實際上是一個數據輸出窗口，專為查找數據而設計。界面分為兩部分：設定部分和輸出部分，設定部分包括模數和f·d值的輸入，輸出部分則為相速度、群速度和激勵角的輸出，其中包含了對稱型和反對稱型兩種情況。當輸入模數為0、f·d值為7 MHz·mm時，運行程序，輸出如圖3所示的數據。

圖3 數據輸出窗口Fig.3 Data output window

4.3 相速度曲線

繪制相速度曲線的依據是蘭姆波的頻散特性,蘭姆波頻率特征方程是求解相速度的基礎。在參數設置界面，設定預置參數，縱波聲速 CL為5 780 m·s-1，橫波聲速 CS為 3 053 m·s-1，探頭縱波聲速CL0為2 350 m·s-1，板厚d為3.00 mm，然后運行程序，就會顯示出相速度曲線界面，具體如圖 4所示。由相速度曲線圖可知，隨著頻厚積f·d數值的增加，S0、A0模式的相速度Cp趨近于瑞利波速度，S1、S2··和 A1、A2··其他高階模式的相速度Cp均趨近于橫波速度Cs。

圖4 相速度曲線Fig.4 Phase velocity curve

4.4 群速度曲線

當用脈沖波激發蘭姆波時，所得到的蘭姆波是由不同頻率的波組成的，速度各不相同，這種合成振動的最大幅度的傳播速度稱為群速度[11]。實際上具有有限帶寬的脈沖聲波在薄板中是以群速度傳播的。群速度是由相速度推導計算出來，且存在一定的差異，具體要看介質是否具有頻散性[1]。

為繪制Cg和 f·d之間的關系曲線,必須求出Cg和fd之間的具體表達式，并確定相應的數值計算模型[12-13]。

對稱模式：

反對稱模式：

由于式(5)和式(6)中均含有ω和k，故可看作ω對k的隱函數，即可寫成G(ω,k)=0的形式，利用隱函數求導法則，可得：

群速度曲線的算法分析、程序設計和繪制過程與相速度基本相似的，同樣先求出相應的相速度Cp值，再判斷蘭姆波的模式類型，進而代入群速度公式計算Cg，然后即可通過程序繪制出群速度曲線。以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，設定參數，運行程序，就能繪制出相應的群速度曲線，如圖5所示，可以看出，在非頻散性介質中，群速度等于相速度，而在頻散性介質中，群速度則不等于相速度。

圖5 群速度曲線Fig.5 Group velocity curve

4.5 位移振幅分布曲線

蘭姆波在薄板中傳播導致的振動位移振幅分布與不同板厚處的能流分布息息相關，同時也直接反映了不同深度處的探傷靈敏度高低[11]。令質點水平和垂直位移振幅分別為U、V，質點到波導軸(圖6中的z軸)的垂直距離為x，為避免虛數計算，可利用雙曲函數和三角函數的相互關系推導出對稱型和反對稱型蘭姆波不同區間的位移振幅U、V的表達式[11]，具體如下：

對稱模式：

反對稱模式：

根據相速度Cp計算出薄板中的位移振幅值，并繪制對稱和反對稱模式下水平、垂直位移振幅U、V曲線。本程序以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，根據檢測需求設定模數、頻厚積fd和其他參數，然后運行程序，就能繪制出相應的位移振幅分布曲線，具體如圖6所示，圖中z軸為波導軸，x軸表示板厚方向的參量。在板中心，x=0；在板上、下表面位置，x=+d/2和-d/2。

圖6 位移振幅分布曲線Fig.6 Displacement amplitude distribution curve

4.6 激勵角曲線及應用

在薄板中激勵蘭姆波目前最常用的方法是使用透聲斜楔縱波斜入射法，本文繪制的激勵角曲線是蘭姆波探頭縱波入射角(激勵角)選擇的依據。為了激勵較強的發射波，入射角α可由公式(12)[11]計算確定：

式中：Cl為探頭斜楔中的縱波聲速；Cp為板中所激起的蘭姆波相速度。

利用求出的Cp值及式(12)，即可設計程序繪制各種薄板的激勵角曲線。文中以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，設定參數，運行程序，進而得到相應的激勵角曲線，具體如圖7所示。

圖7 激勵角曲線Fig.7 Excitation angle curve

由于蘭姆波各模式的相速度是頻散的，因此在不同頻率點，激發不同模式的蘭姆波時入射角都是不同的。準確的入射角度是激發蘭姆波的必要條件，蘭姆波換能器入射角精確，不僅可以避免蘭姆波模數激勵與識別的錯誤，而且可以提高蘭姆波的能量[14]。本文依據繪制的激勵角曲線，確定了特定頻厚積、特定模式對應的激勵角，選取了合適的蘭姆波換能器斜楔材料，設計了蘭姆波換能器斜楔結構參數，并制作了蘭姆波換能器。

若以最常用的Cl=2 730 m·s-1的有機玻璃作為換能器斜楔材料，則對于橫波速度小于3 000 m·s-1的材料(包括某些鋼板在內)，在頻厚積取值較低(≤3 MHz·mm)的條件下，A0模式的相速度Cp小于斜楔材料中的縱波Cl，因而無法激勵產生A0模。因此，需要尋找聲速低、聲衰減小且在金屬薄板界面上聲透射率較大的材料制作換能器斜楔。通過實驗比較，聲速為2 350 m·s-1的聚楓材料可滿足上述要求。因此，本文選用了聲速為2 350 m·s-1的聚楓作為制作蘭姆波換能器的斜楔材料。

斜楔結構設計時，應能使底面上反射的聲波經斜楔內多次反射、散射而衰減并消失，還應在斜楔的前端面的頂部開設聲陷阱，澆注吸收塊等把到達這些界面上的聲能完全吸收，蘭姆波換能器斜楔具體設計如圖8所示。

實驗進行過程中，選用頻率為2.5 MHz的壓電陶瓷晶片，針對不同材質、不同厚度板材設計了相應模式的斜楔結構參數，具體如表3和表4所示。

通過以上激勵角曲線的實驗驗證分析，設計并加工了換能器斜楔，制作了蘭姆波換能器，如圖 9所示。

圖8 蘭姆波換能器斜楔設計圖Fig.8 Design drawing of the wedge of Lamb wave transducer

表3 S0模對應的蘭姆波換能器斜楔參數Table 3 Parameters of the wedge of Lamb wave transducer for S0mode

表4 A0模和A1模對應的蘭姆波換能器斜楔參數Table 4 Parameters of the wedge of Lamb wave transducer wedge for A0and A1mode

圖9 蘭姆波換能器Fig.9 Lamb wave transducer

5 結 論

從蘭姆波檢測實際應用的角度出發，本文對蘭姆波頻率特征方程進行了算法分析，提出了以相速度Cp為自變量，同時采用編程相對簡單的二分法分區間求解的處理方式對方程進行求解，并用 VC++軟件加以編程實現，設計了專門用于繪制蘭姆波檢測參數曲線的軟件。實際計算及程序運行結果表明，此種方程解法及編程方法是可行的。同時，此軟件也存在一定的局限性，首先，所繪制參數曲線顯示的頻厚積范圍有限，未體現大頻厚積對應的頻散曲線；其次，S2模式和A3模式頻散曲線的截止頻率和參考文獻相比偏高。鑒于繪制軟件存在的以上問題，需要在日后的工作中逐步進行優化完善。

在目前金屬薄板蘭姆波檢測參數曲線資料相對匱乏的情況下，本文對金屬薄板蘭姆波檢測參數曲線進行了深入研究，解決了金屬薄板蘭姆波檢測參數曲線的繪制和應用問題，適用于不同材質、不同型號的金屬薄板蘭姆波檢測，進一步推動了蘭姆波檢測技術在工程實踐中的應用。