基于梳狀扇形孔周期性結構的縱-扭復合模態超聲振動系統

林基艷，林書玉

(1.陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西西安710119；2.榆林學院信息工程學院，陜西榆林719000)

0 引 言

縱-扭復合模態的超聲振動系統因為符合高效率、高精度、高可靠性的現代科技工業和技術的發展要求，受到越來越多的重視[1]。雖然縱-扭復合型超聲加工方式得到了世界的公認，但在其設計、研究、加工制造等方面沒有形成系統的、完善的理論體系[2]。針對上述情況，國內外學者對有關問題都進行了積極的理論研究與實驗分析。

螺旋狀麻花鉆頭型變幅桿可以產生縱-扭復合振動，但由于變幅桿的結構復雜，理論計算及設計極為繁瑣，不利于工程技術中的廣泛應用[3]；也有研究者利用切向極化的壓電陶瓷圓環產生扭轉振動，但由于切向極化壓電陶瓷元件的極化、加工工藝復雜以及換能器的縱向與扭轉振動很難實現同頻共振等的限制，導致換能器的功率容量、振動性能受限，不利于大功率的超聲應用[4]。日本學者在超聲馬達的研制中，提出了一種縱-扭復合振動模式超聲換能器，利用超聲變幅桿上的斜槽實現縱-扭復合[5]；Karafi等[6]設計了一種縱-扭磁致伸縮超聲換能器，通過將徑向磁場和周向磁場復合而成的螺旋磁場施加到磁致伸縮變幅桿上，產生徑向振動和扭轉振動，但縱-扭效果均不理想；林書玉[7]對斜槽式縱-扭復合超聲振動系統進行了研究，指出因為振動傳遞到斜槽時產生的切向力導致系統產生扭轉振動，并推導出縱-扭振動的機械轉換系數，分析了斜槽參數對振動系統的頻率的影響。皮鈞等[8]研究了斜槽式縱-扭超聲振動裝置，著重分析斜槽圓環變幅桿的縱-扭轉化原理；唐軍等[9]研究了一種新型的貼片式縱-扭復合振動系統，通過調整壓電陶瓷與換能器軸的軸向角度，使系統產生縱-扭復合振動。

目前，很多研究都傾向于采用斜槽結構實現單激勵的模式轉換型縱-扭換能器，這種方法實現起來較為簡單，但斜槽式縱-扭振動系統普遍存在扭轉分量較小、轉化效率低等缺點[10]。基于此，本文提出了基于周期性結構的復合模態超聲振動系統并對其進行研究，該系統由縱向振動夾心式壓電陶瓷換能器、圓錐形變幅桿以及帶有梳狀扇形孔的斜槽式振動體三部分組成，驅動部分采用縱向振動的夾心式壓電換能器，振動輸出部分則是采用梳狀扇形孔的斜槽式振動體。通過有限元分析軟件對設計的結構進行了必要的分析和驗證，通過仿真分析表明，該復合模態超聲振動系統扭轉分量大，轉化效率高。

1 周期性結構縱-扭復合模態超聲振動系統的原理和設計

1.1 模態轉換原理

周期性結構縱-扭復合模態超聲振動系統是利用軸向極化的壓電陶瓷片產生縱向振動，當縱波傳遞到斜槽位置時，由于斜槽的作用，變幅桿的輸出端會產生兩種振動：縱向振動以及由剪切分力產生的扭轉振動[11]。其原理示意圖和產生扭轉振動部分的振動體的截面如圖1所示。

圖1 帶有梳狀扇形孔和斜槽的縱扭振動轉換體Fig.1 The longitudinal-torsional vibration converter with comb sector holes and skewed slots

圖1中斜槽處的力F被分為兩部分：法向力FL和剪切力Fγ，二者的關系可表示為[7]

式中：θ為斜槽和變幅桿軸線之間的夾角。基于機械振動理論，法向力使得振動系統產生縱振，剪切力則使系統產生扭轉振動。剪切力在變幅桿前分界面處的扭矩M可由式(3)表示[7]：

式中：sd為圓環的截面積，表示為

式(3)、(4)中：R1和R2分別為圓環的外、內半徑；R3為中心圓的半徑；r為變幅桿圓筒內任意處的截面半徑；dsd為微分元面積；τ為分界面上單位面積的剪切力，因此，由以上可知，單位面積的剪切力τ可表示為[7]

將式(5)代入式(3)積分后，便可得到如下公式：

根據以上分析可知，因為斜槽的存在，振動體中的振動形式由一維的縱向振動轉換為二維縱-扭復合振動。

1.2 梳狀扇形孔周期性結構的設計

扭轉振動主要由兩種方式來實現：振動模式轉換和切向極化的壓電陶瓷晶堆的振動。第二種方法由于工藝復雜、電擊穿、功率容量等問題，很難研制大功率高性能的振動系統[12]。因此，本文采用第一種模式轉換的方式。

模式轉換常用的方法有開斜槽和開螺旋槽，但開螺旋槽的方法結構復雜，理論計算及設計極為繁瑣。因此本研究采用了在振動體上開斜槽的方法來實現縱-扭復合模態的超聲振動。其優點是結構簡單，但研究發現，該方法產生的扭轉分量較小，轉化效率較低[13]。為了增大扭轉分量，提高轉換效率，本設計采用了梳狀扇形孔周期結構振動體。

該梳狀扇形孔周期結構可近似等效為彈簧-擺模型，即每個扇形片可以看作一個具有剪切和彎曲剛度的彈簧，其中每個扇形片在振動中所起的作用也不同，有的可以看作剪切彈簧，有的可以看作拉壓彈簧，有的同時起剪切和拉壓的作用，扇形片的剪切變形增加了系統的扭轉分量[14]。整個梳狀扇形孔周期性結構如圖2所示。

圖2 梳狀扇形孔周期性結構和振型圖Fig.2 The periodic structure and its vibration mode shape of comb sector holes

2 有限元分析

周期性結構縱-扭復合模態超聲振動系統由夾心式換能器、圓錐型變幅桿以及梳狀扇形孔周期結構振動體組成。根據一維縱向振動理論，初始先按諧振頻率為 20 kHz來設計全波長結構的超聲振動系統，其中夾心式壓電陶瓷換能器為半波振子換能器，圓錐形變幅桿和梳狀扇形孔周期結構振動體二者整體為半波振子。換能器由前蓋板、壓電陶瓷晶堆和后蓋板三個部分組成，前后蓋板的材料均為鋁，密度ρ=2 700 kg·m-3，彈性模量E=69 GPa，泊松比 σ=0.33，壓電陶瓷晶堆選擇 PZT-4，密度 ρ=7 500 kg·m-3，彈性模量 E=64.5 GPa，泊松比 σ=0.32。根據以上分析計算，設壓電陶瓷厚度為 6 mm，兩片壓電陶瓷的半徑為 25 mm；前蓋板長度為35 mm；后蓋板長度82 mm。對圓錐形變幅桿，初始設置大端的底面半徑為 25 mm，頂面半徑為20 mm，長度為58 mm。梳狀扇形孔周期結構振動體的初始半徑設置為20 mm，長度71 mm。

圖 3為初始周期性結構縱-扭復合模態超聲振動系統Comsol模型圖和尺寸圖，圖4為振動體的結構尺寸圖。

圖3 初始縱-扭復合模態超聲振動系統模型、尺寸圖Fig.3 Model and dimension diagram of initial longitudinaltorsional composite modal ultrasonic vibration system

圖4 初始振動體結構尺寸圖Fig.4 Dimension diagram of initial vibration body structure

2.1 周期性結構參數對振動系統諧振頻率的影響的分析

超聲振動系統中的一個重要的參數是諧振頻率，諧振頻率會隨著振動系統結構的變化而改變，即梳狀扇形孔周期性結構的存在，可以影響系統的諧振頻率。

因此，本文仿真分析了周期性結構參數對振動系統頻率的影響規律，這里的周期性結構包括兩種——斜槽和梳狀扇形孔。斜槽參數主要有斜槽的傾角θ、長度L、寬度W、深度H和離圓錐段距離S，離輻射面的距離S1；梳狀扇形孔參數主要有扇形片的中心角度數φ、半徑R2和內核圓半徑R3。斜槽和梳狀扇形孔參數示意圖如圖5所示，仿真結果如圖6～13所示。

圖5 斜槽和梳狀扇形孔參數示意圖Fig.5 Schematic diagram of the parameters for skewed slots and comb sector holes

圖6 斜槽傾角對頻率的影響Fig.6 Influence of slot inclination on system frequency

圖7 斜槽長度對頻率的影響Fig.7 Influence of slot length on system frequency

圖8 斜槽寬度對頻率的影響Fig.8 Influence of slot width on system frequency

圖9 斜槽深度對頻率的影響Fig.9 Influence of slot depth on system frequency

圖10 斜槽離圓錐端距離對頻率的影響Fig.10 Influence of the distance of slot from conical end on system frequency

圖11 扇形中心角度對頻率的影響Fig.11 Influence of sector central angle on system frequency

圖12 扇形片半徑對頻率的影響Fig.12 Influence of sector radius on system frequency

圖13 內核圓半徑對頻率的影響Fig.13 Influence of the radius of inner circle on system frequency

通過圖6可以發現，當其他參數不變時，隨著斜槽傾角θ的增大，以縱振為主的諧振頻率逐漸減小，當θ≥70°時，隨著θ的增大，以縱振為主的諧振頻率逐漸增大，而以扭振為主的諧振頻率變化趨勢與之相反。從圖7可知，當其他參數不變時，以縱振為主的諧振頻率隨著斜槽長度 L的增大先增大，后減小，然后再增大；而以扭振為主的諧振頻率隨著斜槽長度L的增大先減小，然后趨于平穩。從圖8可知，縱振和扭振為主的諧振頻率皆隨著斜槽寬度W的增大而增大。從圖9可以看出，縱振為主的諧振頻率隨著斜槽深度H的增大先增大，后減小；而扭振為主的諧振頻率隨著H的增大先變化平緩，后減小。從圖 10可以看出，縱振為主的諧振頻率隨離圓錐段距離S的增大而減小；而扭振為主的諧振頻率隨S的增大而逐漸增大。

梳狀扇形孔參數對諧振頻率的影響如圖 11～13所示。從圖11可以看出，縱振為主的諧振頻率隨扇形片中心角度φ的增大而減小；而扭振為主的諧振頻率隨著φ的增大先減小后變化平緩。從圖12可以看出，縱振為主的諧振頻率隨著扇形片半徑R2的增大而增大；而扭振為主的諧振頻率隨著R2的增大先變化平緩后減小。而從圖13則可以看出，縱振為主的諧振頻率隨著內核圓半徑R3的增大而減小；而扭振為主的諧振頻率隨著R3的增大而逐步增大。

通過 Comsol派生值的表達式計算發現，合理選擇換能器的前后蓋板長度、復合變幅桿長度及振動體參數，可以有效地增大縱、扭振振幅，位移旋度和剪切應力以及法向應力等，提高縱-扭轉化能力。因此，綜合考慮周期性結構對超聲振動系統諧振頻率和Ux、Vy、Wz以及位移旋度、剪切應力和法向應力等性能指標的影響(Ux、Vy、Wz分別代表節點隨時間和位置變化的位移響應，從Ux、Vy可分別得到x、y方向的位移振幅，從Wz則可以得到變幅桿z方向即縱振振幅，位移旋度x、y矢量則表示物體轉動時在x、y方向的轉動位移，位移旋度越大，扭轉分量越大；垂直于剪切面的單位面積上受到的內力分量，稱為法向應力，相切于剪切面的單位面積上受到的內力分量稱為剪切應力)，最終設定了換能器、復合變幅桿以及復合變幅桿振動體結構的各部分尺寸，如圖14、15所示。

圖14 縱-扭復合模態超聲振動系統最終模型、尺寸圖Fig.14 Final model and dimension diagram of longitudinaltorsional composite modal ultrasonic vibration system

斜槽的長度為30 mm，寬度為2.5 mm，深度為5 mm，與圓柱端y軸向成80°(與z軸成10°)。此時系統的剪切應力、法向應力、振幅、位移旋度相對較大，性能最好。

圖15 振動體結構最終尺寸圖Fig.15 Dimension diagram of final vibration body structure

2.2 模態分析

模態分析的目的是確定結構的固有頻率和振型[15]。為簡化模型，忽略預應力螺栓的影響。利用Comsol進行模態分析，搜索頻率范圍為5～20 kHz，通過觀察模態振型可知，系統在f=7 896、11 336 Hz時，振動形式是扭轉振動為主的縱扭復合振動；f=12 226、18 750 Hz時，振動形式是縱向振動為主的縱扭復合振動，振型圖如圖16所示。

圖16 縱-扭復合模態超聲振動系統振型圖Fig.16 Diagrams of vibration mode shape of the longitudinaltorsional composite modal ultrasonic vibration system

2.3 周期性結構對振動系統性能影響的分析

本文將復合變幅桿圓柱端設計為梳狀扇形孔周期性結構，根據前面的分析可知，該結構可以有效的增大扭轉分量。為了更加形象地看到效果，本文將無周期性結構和有周期結構的系統進行仿真對比(其它參數均相同)，二者的模型如圖17所示。

圖17 超聲振動系統變幅桿圓柱端有或無梳狀扇形孔周期結構的模型對比圖Fig.17 Comparison of the model of ultrasonic vibration system with or without the periodic structure of comb sector holes at the cylindrical end of horn

選取剪切應力、法向應力、振幅、位移旋度作為評價指標進行對比。對比的效果如表1、2所示，數值越大，系統的性能越好。因為振型較多，因此這里只選取部分振型進行研究。

從表 1、2可以看出，周期性結構的各項性能指標均優于非周期性結構。

表1 有無周期結構的系統扭轉振動的指標對比表Table 1 Comparison of the indicators of torsional vibration for the system with or without periodic structures

表2 非周期結構和周期性結構縱振指標對比表Table 2 Comparison of the indicators of longitudinal vibration for the system with or without periodic structures

3 結 論

基于斜槽的縱-扭復合模態超聲振動存在扭轉分量小、轉換效率低等問題，針對此問題，本文設計了基于周期性結構的縱-扭復合超聲振動系統，通過在復合變幅桿上設置梳狀扇形孔和斜槽，得到扭轉分量大的縱-扭復合超聲振動系統，并使用有限元分析方法對系統的振動模態、結構和影響系統性能的參數進行了分析研究。梳狀周期性和斜槽的設計可為其它縱-扭復合振動超聲系統提供參考，具有一定的指導意義。