求索數(shù)學(xué)之道

杜月嬌

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多的分支學(xué)科中，代數(shù)幾何是一門非常重要又特別的基礎(chǔ)學(xué)科，它與數(shù)學(xué)中其他分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，并且被深刻地應(yīng)用到理論物理及其他的科學(xué)技術(shù)中，而在大多數(shù)20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)重大進(jìn)步的背后，或多或少都有代數(shù)幾何的身影。

在很多人的印象當(dāng)中，數(shù)學(xué)家的工作場景就是每天埋頭在草紙堆里演算，枯燥且乏味。但對于數(shù)學(xué)研究者來說，數(shù)字以及幾何模型背后所隱藏的是無窮的科學(xué)奧秘以及鮮有人發(fā)現(xiàn)的“美”。在21世紀(jì)各類高新技術(shù)科學(xué)發(fā)展的大背景下，代數(shù)幾何學(xué)研究領(lǐng)域也并沒有被現(xiàn)代科學(xué)潮流所淹沒，且有越來越多的科研人選擇投身其中，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系宗潤弘教授就是其中之一。與代數(shù)幾何領(lǐng)域結(jié)緣以來，他在代數(shù)幾何的主要分支領(lǐng)域——雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中不斷探索，在窮極數(shù)理研究中，實現(xiàn)著思維的蛻變，實現(xiàn)著一次又一次的科研突破。

走進(jìn)代數(shù)幾何世界

中國宋明時代理學(xué)家有“格物致知、窮理明辨”的說法，Physics（物理學(xué)）最初被翻譯成“格致”便是由此而來。高中時期，宗潤弘就對物理這一“格萬物而致窮理”的學(xué)科產(chǎn)生了極大興趣。2006年，宗潤弘考入中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)。但因為高考分?jǐn)?shù)的客觀因素，他不得不放棄當(dāng)年競爭激烈的物理專業(yè)，正式步入了電子學(xué)專業(yè)開始學(xué)習(xí)。

俗話說：“數(shù)理不分家?！币苍S是冥冥中緣分使然，大學(xué)一年級期間，宗潤弘在偶然旁聽數(shù)學(xué)系的拓?fù)鋵W(xué)課程時，被授課老師發(fā)現(xiàn)其極大的數(shù)學(xué)天賦，并建議其轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系，進(jìn)行今后的深度研究。再三考慮之后，宗潤弘接受了這一提議，并順利轉(zhuǎn)入了中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系，從此開啟了在代數(shù)幾何領(lǐng)域的研究之旅。

代數(shù)幾何是一門古老的學(xué)科，其中所蘊(yùn)含的代數(shù)推理一般都比較精巧，而其研究對象又具有幾何的直觀，深入到這一學(xué)科之中，宗潤弘對這一領(lǐng)域的研究興趣也越來越深。整個本科期間，宗潤弘系統(tǒng)學(xué)習(xí)了代數(shù)幾何這一領(lǐng)域相關(guān)的知識，本科畢業(yè)之后，他順利被導(dǎo)師推薦到普林斯頓大學(xué)從事代數(shù)幾何研究，踏上了國外的漫漫求學(xué)之路。

代數(shù)幾何領(lǐng)域于2010年左右在我國掀起了研究高潮，當(dāng)時國內(nèi)涌現(xiàn)了約10位左右的青年數(shù)學(xué)研究者，做出了一系列優(yōu)秀的科研成果。而那時，正是宗潤弘即將前往國外攻讀博士的時期，這一學(xué)科在新時期的研究趨勢與背景，也在潛移默化中激發(fā)了他走向更大的平臺，深耕更深奧的代數(shù)幾何領(lǐng)域問題的決心。

從2010年—2019年，在國外9年時間，宗潤弘先后在美國普林斯頓大學(xué)、美國普林斯頓高等研究院以及德國美因茨大學(xué)等學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)中進(jìn)行科學(xué)研究。在國外21世紀(jì)掀起的金融風(fēng)潮中，他不僅沒有丟失自己的科研初心，還投身于自己真正感興趣的代數(shù)幾何領(lǐng)域的科研問題中，孜孜不倦求索，從未放棄。

深入極小模型綱領(lǐng)研究

數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)。在宗潤弘眼中，代數(shù)幾何領(lǐng)域所存在的諸多問題，都對他有著極大的吸引力。多年來，他就將研究扎根在純粹數(shù)學(xué)中代數(shù)幾何方向的理論研究中，特別是在作為代數(shù)幾何的幾個主要分支領(lǐng)域之一的雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中，與相關(guān)研究者合作，實現(xiàn)了諸多科研創(chuàng)新突破。

20世紀(jì)80年代，雙有理幾何中最核心的綱領(lǐng)——極小模型綱領(lǐng)，是數(shù)學(xué)界里一個活躍的研究方向，1990年，日本數(shù)學(xué)家森重文因其在此領(lǐng)域的研究成果，獲得了國際數(shù)學(xué)界最高獎菲爾茲獎。遺憾的是，此后10年間，這個領(lǐng)域的研究略微有些沉寂。直到2000年后，數(shù)學(xué)家們才取得重大進(jìn)展。

零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)，是極小模型綱領(lǐng)的一個基本思想。在這一思想的指導(dǎo)下，人們普遍猜測任何一個定義在代數(shù)閉域上的不可化歸為有理連通代數(shù)簇的纖維化的代數(shù)簇都可雙有理等價于一個極小模型代數(shù)簇。對于代數(shù)閉域的特征為零的情形，在雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中已經(jīng)有了由Prof. Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所證明的如下著名結(jié)論：對于一個射影的奇異性為Kawamata Log Terminal的對數(shù)偶（Log Pair）（X， D），如果其邊界除子D是Big的且其對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)從KX+D是Pseudo-Effective的，則KX+D一定有一個奇異性為Log Terminal的模型。這項結(jié)論可以蘊(yùn)含零特征代數(shù)閉域上屬于General Type的代數(shù)簇或者屬于Log General Type的對數(shù)偶的極小模型的存在性。

雖然已經(jīng)有了如上著名結(jié)果，但在零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)中還有很多基本和重要問題尚未解決。比如，雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)的著名專家Prof. Shokurov曾提出如下猜想：給定一種來自鏡像對稱的零特征的代數(shù)閉域上的對數(shù)偶（X，D）的復(fù)雜度和絕對復(fù)雜度的定義（此種定義主要來自對邊界除子D的在數(shù)量等價下的有效分解的分析），則當(dāng)此對數(shù)偶（X，D）的奇異性為Log Canonical且其復(fù)雜度小于1時，代數(shù)簇X一定是一個Toric代數(shù)簇，而當(dāng)此奇異性為Log Canonical的對數(shù)偶（X，D）的絕對復(fù)雜度小于2時，代數(shù)簇X一定是幾何有理代數(shù)簇。運(yùn)用零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)，以及一些關(guān)于對數(shù)偶上的錐的奇異性與對數(shù)偶的幾何特性之關(guān)系的特殊觀察及技巧，宗潤弘與團(tuán)隊合作一起完全解決了如上由Prof. Shokurov提出的猜想。

目前，這項成果已經(jīng)被他們在多場學(xué)術(shù)會議及多所高校及其他學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)的研討班中予以報告，并且廣受與會者及聽眾好評，有關(guān)的一篇論文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已經(jīng)被Duke Mathematical Journal發(fā)表。

有理連通代數(shù)簇的性質(zhì)探索

所有科學(xué)都來自人們對有趣的、非常規(guī)道路的發(fā)掘，代數(shù)幾何領(lǐng)域也是如此。術(shù)語“簇”取自拉丁語族中詞源的概念，有基于“同源”而“變形”之意。代數(shù)幾何學(xué)上，代數(shù)簇是多項式集合的公共零點解的集合，是經(jīng)典（某種程度上也是現(xiàn)代）代數(shù)幾何的中心研究對象，而這一研究對象對于扎根在代數(shù)幾何領(lǐng)域的宗潤弘來說有著極大的探索空間。在興趣的驅(qū)使下，他不斷深入有理連通代數(shù)簇研究中，試圖通過研究解析其中所蘊(yùn)藏的幾何、拓?fù)渑c算術(shù)性質(zhì)奧秘。