數(shù)學(xué)也可以很“時(shí)髦”

徐芳芳

2019年高考后，一則關(guān)于浙江大學(xué)近兩萬(wàn)名學(xué)生搶著報(bào)名“高等數(shù)學(xué)先修課”的新聞火了。浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副院長(zhǎng)盛為民介紹，這門(mén)課的授課教師都是有著一二十年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的浙大教授。課程平臺(tái)上還有專門(mén)的討論區(qū)供學(xué)生提問(wèn)，老師答疑區(qū)的發(fā)帖數(shù)量已經(jīng)多達(dá)200條，大部分同學(xué)提出的問(wèn)題都收到了回復(fù)。

原來(lái)，數(shù)學(xué)也可以很“時(shí)髦”！

中國(guó)在成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的路上，“明日之星”的加盟固然重要，學(xué)術(shù)氛圍、國(guó)際交流和知識(shí)累積的代際傳遞也至關(guān)重要。回憶過(guò)往，可以說(shuō)，盛為民的經(jīng)歷正是過(guò)去30年來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)科研工作者學(xué)術(shù)歷程的真實(shí)寫(xiě)照。

從二維到高維——結(jié)緣微分幾何

從1994年博士畢業(yè)到現(xiàn)在，盛為民已經(jīng)在浙江大學(xué)工作了26年。從數(shù)學(xué)系講師，到副教授、教授，再肩負(fù)從院長(zhǎng)助理到副院長(zhǎng)等行政職務(wù)，他已經(jīng)與浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系融為一體。而在26年的科學(xué)研究中，盛為民也在高階Yamabe問(wèn)題、一般預(yù)定曲率方程的內(nèi)部正則性估計(jì)、平均曲率流等方面取得了重要成果，論文發(fā)表在Duke Math J、JDG等國(guó)際權(quán)威刊物上。

但說(shuō)起他的專業(yè)選擇，還有一個(gè)小插曲。1982年，盛為民考取徐州師范學(xué)院。因?yàn)橄矚g物理且成績(jī)優(yōu)異，高考時(shí)盛為民第一志愿填報(bào)的是物理，第二志愿才是數(shù)學(xué)。但是當(dāng)年江蘇高考物理特別難，他的強(qiáng)項(xiàng)沒(méi)有發(fā)揮出來(lái)，反而成績(jī)一直穩(wěn)定的數(shù)學(xué)取得了更高的分?jǐn)?shù)。入學(xué)時(shí)，盛為民被數(shù)學(xué)專業(yè)錄取了。

沒(méi)能進(jìn)入喜歡的專業(yè)，盛為民不甘心，好幾次提出轉(zhuǎn)系，都沒(méi)有成功。而后，他卻意外發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)科與理論物理非常接近，“就是從兩個(gè)不同的角度去看同一個(gè)問(wèn)題”。盛為民開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，并發(fā)揮其分析能力、抽象能力、空間想象力的強(qiáng)項(xiàng)，“這個(gè)專業(yè)與個(gè)人優(yōu)勢(shì)相關(guān)，更符合科研的選擇”。

4年后，已經(jīng)“鉆進(jìn)去”的盛為民喜歡上了微分幾何這門(mén)學(xué)科。當(dāng)時(shí)，杭州大學(xué)（后并入浙江大學(xué)）的“微分幾何”師資實(shí)力非常強(qiáng)，于是，他報(bào)考了該校研究生，并接著在本校攻讀了博士學(xué)位，從此開(kāi)啟了微分幾何的研究生涯。

“其實(shí)，現(xiàn)代微分幾何的許多研究工作就在于如何把二維結(jié)果推廣到高維。例如龐加萊猜想、Yamabe問(wèn)題、Calabi猜想等，以及為解決這些問(wèn)題而提出的各種理論。對(duì)于給定的一個(gè)流形，在上面尋求好的度量時(shí)，問(wèn)題通常化為在這個(gè)流形上求解一個(gè)偏微分方程，如尋求常數(shù)量曲率的Yamabe問(wèn)題，尋求常Ricci曲率的（Kaehler-）Einstein方程及向量叢上常中曲率的Hermitian-Yang-Mills方程等。”盛為民介紹，微分幾何的一個(gè)基本問(wèn)題是研究流形上是否存在好的度量，從而判斷出流形具有怎樣的幾何性質(zhì)或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。一個(gè)最經(jīng)典的結(jié)果是二維曲面的單值化定理：任何二維閉曲面都具有典范度量結(jié)構(gòu)，并且任何二維可定向閉曲面都可分解成球面和若干個(gè)環(huán)面的連通和。這就是二維閉曲面分類定理。

1904年，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出了一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的猜想：“任何一個(gè)單連通的、閉的三維流形一定同胚于一個(gè)三維的球面。”這就是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題之一的龐加萊猜想。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，一個(gè)閉的三維流形就是一個(gè)無(wú)邊有界的三維空間；單連通就是這個(gè)空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)，或者說(shuō)在一個(gè)封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點(diǎn)，這個(gè)空間就一定是一個(gè)三維球面。后來(lái)，這個(gè)猜想被推廣至三維以上的空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

盛為民介紹，近40年來(lái)，幾何分析學(xué)家提出了用演化方程（即幾何流）的方法來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題。而微分幾何中的另一類幾何流，則是研究黎曼流形中超曲面（或子流形）在某種曲率為速度沿法向方向的形變。

“這里的曲率往往是由超曲面（或子流形）的主曲率（關(guān)于某個(gè)法向的第二基本形式的特征值）的函數(shù)定義。著名的例子有平均曲率流和Gauss曲率流，以及逆平均曲率流等。”盛為民介紹，以歐氏空間的超曲面為例，這些曲率流都是來(lái)自自然或工程技術(shù)領(lǐng)域。

其實(shí)，就像他的研究對(duì)象一樣，盛為民的學(xué)術(shù)之路，也經(jīng)歷了從二維到高維的不斷進(jìn)階的歷程。

不斷進(jìn)階的學(xué)術(shù)歷程

“讀碩士的時(shí)候，我讀了一點(diǎn)流形幾何方面的論文之后，寫(xiě)了一篇關(guān)于復(fù)射影空間中凱勒超曲面的Ogiue猜想的文章，我的導(dǎo)師沈一兵教授覺(jué)得可以投稿，后來(lái)發(fā)表在復(fù)旦大學(xué)主辦的《數(shù)學(xué)年刊》的英文版上。在他的鼓勵(lì)下，我繼續(xù)讀了白先生的博士生。”盛為民所說(shuō)的白先生，就是在射影微分幾何、大范圍微分幾何、黎曼幾何等方面頗有建樹(shù)的白正國(guó)教授，他是蘇步青先生在老浙大時(shí)候的弟子，在他的鼓勵(lì)下，盛為民在學(xué)術(shù)上繼續(xù)鉆研深造，也成了他的第四名博士生。沈一兵老師是白先生在20世紀(jì)60年代的研究生，“文革”結(jié)束后一直協(xié)助白先生一起培養(yǎng)研究生。他們共同培養(yǎng)的博士生有36人、碩士生有46人之多。

“當(dāng)時(shí)，我們另一位導(dǎo)師沈一兵教授問(wèn)我想做哪方面的研究。他問(wèn)我是跟師兄、師姐一塊做調(diào)和映射方面的問(wèn)題，還是做其他的？我考慮師兄師姐在調(diào)和映射方向已經(jīng)做得很好了，想比他們做得更好，需要花很大的力氣，所以我挑了一個(gè)新的方向。”盛為民回憶，當(dāng)時(shí)沈一兵教授推薦了漢密爾頓在1982年所寫(xiě)的一篇Ricci流的文章。

R i c c i流是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個(gè)方程。用它可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形。當(dāng)年，看過(guò)漢密爾頓的文章后，丘成桐先生曾說(shuō)：“可以用這個(gè)結(jié)果來(lái)證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問(wèn)題。”

其實(shí)，盛為民接觸漢密爾頓這篇文章的時(shí)候已經(jīng)是1991年，盡管文章發(fā)表于1982年，但其在國(guó)內(nèi)的傳播尚不廣泛。加之文章中有很多分析上的技巧和方法，而此前主要做流形研究的盛為民用分析的理論很少，尤其是方程方面就更少了。所以，盛為民花了很大力氣解讀，還有很多地方看不懂。為此，盛為民還邀請(qǐng)了數(shù)學(xué)系做分析、做方程的專家一起討論。就這樣，30多頁(yè)的文章，他花了半年的時(shí)間終于“啃”下來(lái)了。緊接著，盛為民又讀了一篇1984年發(fā)表的同樣是30多頁(yè)的文章，就這樣理論體系和分析方法已經(jīng)構(gòu)建起來(lái)了。

但這時(shí)盛為民有點(diǎn)慌：“如果我按這個(gè)思路做下去，在推進(jìn)解決龐加萊猜想的過(guò)程中，很難得到完整的結(jié)果。”就在這時(shí)，他看到一位德國(guó)數(shù)學(xué)家Huisken用Ricci流的方法研究超曲面，便有了新的靈感：“如果把他的方法用到歐氏空間的超曲面，討論曲率流的問(wèn)題，是不是能得到比較完整的結(jié)果？”

瞄準(zhǔn)了方向，盛為民就一頭扎進(jìn)去演算。博士論文他做的是超曲面的曲率流方面的研究，與偏微分方程密切相關(guān)。而此前他的研究方向則是比較純粹的流形幾何。盛為民坦言，博士畢業(yè)后的幾年時(shí)間里，他處于學(xué)術(shù)上的彷徨期。“我想做這個(gè)方面的問(wèn)題，但好像使不上勁兒。”

伴隨著千禧年的鐘聲，我國(guó)數(shù)學(xué)領(lǐng)域也開(kāi)啟了迅猛的發(fā)展階段。2000年，盛為民到德國(guó)基爾大學(xué)訪問(wèn)半年，在與國(guó)外數(shù)學(xué)家接觸中，盛為民不僅自己斬獲了全新的思路，也啟發(fā)了國(guó)外同行Christoph Boehm博士。他們經(jīng)常在一起討論Ricci流的最新進(jìn)展。2006年Boehm與Wilking合作的論文解決了正曲率算子的漢密爾頓猜想，由Wilking在當(dāng)年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作特邀報(bào)告。

也是在2000年年底，沈一兵教授帶盛為民參加了南開(kāi)大學(xué)的一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議。在那，盛為民遇到了汪徐家，兩人交談片刻便覺(jué)相見(jiàn)恨晚。這次相遇，成了他們至今20年友誼與學(xué)術(shù)合作的緣起，用盛為民的話說(shuō)——“意義非常重大！”

2001年暑假，盛為民應(yīng)汪徐家之邀來(lái)到澳大利亞國(guó)立大學(xué)做學(xué)術(shù)訪問(wèn)。兩個(gè)月的時(shí)間里，他向汪徐家學(xué)習(xí)偏微分方程的知識(shí)。“汪老師說(shuō)做偏微分方程，特別是橢圓方程、拋物方程，先要做的就是先驗(yàn)估計(jì)——假設(shè)這個(gè)方程是有解的，然后看這個(gè)解及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)該滿足什么條件，通過(guò)迭代的方法推出解的高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。”在這種思路啟發(fā)下，盛為民發(fā)現(xiàn)，他所考慮的問(wèn)題實(shí)際上關(guān)鍵是做一個(gè)二級(jí)導(dǎo)數(shù)估計(jì)。“我們可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何的問(wèn)題，然后算幾何中的曲率量，把這個(gè)量控制住了，那么解的二級(jí)導(dǎo)數(shù)就控制住了。”

運(yùn)用這個(gè)思路，盛為民與汪徐家、Urbas共同合作了一篇文章，發(fā)表在《杜克數(shù)學(xué)雜志》上。

“到現(xiàn)在，他一直是我的老師和朋友。每次他回國(guó)都會(huì)來(lái)找我，而且我們兩家人也親密無(wú)間，一起吃飯時(shí)也會(huì)談數(shù)學(xué)，導(dǎo)致我們的夫人、孩子也跟著問(wèn)——今天又談了哪個(gè)數(shù)學(xué)家的故事？”盛為民笑道。

其實(shí)，盛為民在采訪中提起了許多人——他的師長(zhǎng)、他的合作伙伴、他的領(lǐng)導(dǎo)和同事……他們共同見(jiàn)證了他學(xué)術(shù)道路上每一個(gè)階段的成長(zhǎng)，也建立起了亦師亦友的情誼。

不斷進(jìn)階的學(xué)術(shù)歷程中，友情讓數(shù)學(xué)家不再孤單。

“時(shí)髦”學(xué)科期待“明日之星”

扎根學(xué)科多年，盛為民在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，特別是微分幾何和幾何分析領(lǐng)域，尤其是近年來(lái)聚焦具有一定幾何或物理背景的微分幾何和偏微分方程，包括預(yù)定曲率問(wèn)題、高階Yamabe問(wèn)題，以及曲率流問(wèn)題等，取得了一系列成績(jī)。

盛為民曾先后參加國(guó)家自然科學(xué)基金多項(xiàng)重點(diǎn)項(xiàng)目、主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目。其中包括國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“與曲率有關(guān)的若干幾何分析問(wèn)題”“曲率流及其在微分幾何中的應(yīng)用”，以及浙江省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“曲率流在微分幾何中的應(yīng)用”。此外，他還參加了國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目“流形上的幾何與分析”和“流形上的典則結(jié)構(gòu)及在幾何拓?fù)渲械膽?yīng)用”。

目前，盛為民正在負(fù)責(zé)的國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“幾何流及其在凸幾何、復(fù)幾何以及數(shù)學(xué)廣義相對(duì)論中的應(yīng)用”。

“流形上的一類完全非線性偏微分方程”，致力于研究以高階Yamabe問(wèn)題為中心的幾何中的一類非線性問(wèn)題，以及它們?cè)趲缀闻c物理中的應(yīng)用。“我們重點(diǎn)研究黎曼幾何中帶邊流形的k-Yamabe問(wèn)題的存在性和解集的緊性和CR幾何中的k-Yamabe問(wèn)題的解的存在性，共形幾何中的預(yù)定k-曲率問(wèn)題，包括緊致無(wú)邊流形和帶邊界的Plateau問(wèn)題，以及完備非緊流形的Bernstein型問(wèn)題。”

盛為民介紹，他與汪徐家和著名數(shù)學(xué)家Trudinger合作，完全解決了具有變分結(jié)構(gòu)的高階Yamabe問(wèn)題，簡(jiǎn)稱為k-Yamabe問(wèn)題。特別是完全解決了k=2的情形，以及流形是局部共形平坦的情形，論文發(fā)表在《微分幾何雜志》（JDG）上。他和汪徐家及他們的學(xué)生李奇睿，用幾何流的方法研究并解決了歐氏空間中關(guān)于預(yù)定Gauss曲率測(cè)度和預(yù)定對(duì)偶Gauss曲率測(cè)度的凸超曲面的Aleksandrov問(wèn)題和對(duì)偶Minkowski問(wèn)題。此外，他與他的博士生王坤博也很好地解決了CR流形上CR-Yamabe常數(shù)為大于0時(shí)在實(shí)際三維情形的CR Yamabe流的解的收斂性；在CR-Yamabe常數(shù)小于0時(shí)，CR Yamabe流的解以指數(shù)方式收斂于一個(gè)平坦的厄米特度量。

采訪中，記者發(fā)現(xiàn)，只要談起數(shù)學(xué)及這些項(xiàng)目的進(jìn)展和突破，盛為民就會(huì)十分健談。如今，也肩負(fù)著行政工作的他，更加覺(jué)得做一個(gè)“純粹的數(shù)學(xué)家”是多么幸福的一件事。“我覺(jué)得做數(shù)學(xué)挺享受的。現(xiàn)在我也帶學(xué)生，我非常感謝我的學(xué)生，因?yàn)樗麄儠?huì)給我一些壓力——我必須讓他們學(xué)到東西。這種壓力逼著我每個(gè)星期都要跟他們討論一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，也逼著我不斷學(xué)習(xí)新東西。 ”

盛為民說(shuō)，雖然做數(shù)學(xué)看起來(lái)很抽象、很純粹，但實(shí)際上數(shù)學(xué)非常有用，比如用幾何分析的方法可以研究人工智能方面的問(wèn)題。而這些年，數(shù)學(xué)也越來(lái)越成為“時(shí)髦”的學(xué)科，許多高考成績(jī)優(yōu)異的“明日之星”選擇了這個(gè)專業(yè)。

“中國(guó)成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)是遲早的事情！我們能夠把最優(yōu)秀的學(xué)生送到國(guó)際上最好的機(jī)構(gòu)，跟隨數(shù)學(xué)大家學(xué)成歸來(lái)，他們將成為中流砥柱；與此同時(shí)，保持學(xué)術(shù)界的開(kāi)放和學(xué)術(shù)交流的暢通，都將為我國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科的國(guó)際化鋪路。”

在耳濡目染下，盛為民的兒子也已是一名數(shù)學(xué)領(lǐng)域的在讀博士。盛為民說(shuō)，現(xiàn)在能令他感到更快樂(lè)的事，就是看到自己的兒子和學(xué)生取得更大的成就。他們是數(shù)學(xué)的未來(lái)！