論數(shù)學(xué)猜想的學(xué)與教

徐文彬

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)猜想;學(xué)習(xí)猜想;教學(xué)猜想;運(yùn)算律

筆者有幸多次參與有關(guān)“運(yùn)算律”的各級(jí)各類教學(xué)觀摩活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)問題必須解決，否則，它會(huì)影響我們對(duì)一些基本問題的看法，從而影響學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與把握，甚至更多。這個(gè)問題就是，究竟什么是數(shù)學(xué)猜想？

其實(shí)，這個(gè)問題的真實(shí)教學(xué)情境就是，在教授“加法交換律”或“乘法交換律”之后，教師一般都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生提出所謂的關(guān)于“減法交換律”或“除法交換律”的猜想，然后通過學(xué)生的反例加以否定，從而得出“ 減法和除法沒有交換律”的結(jié)論。

一、什么是數(shù)學(xué)猜想

一般而言，科學(xué)猜想是指針對(duì)“研究問題”，基于大量的“正面實(shí)例”，以及“得到證實(shí)”的學(xué)科知識(shí)或一般原理，與此同時(shí)還沒有“反面實(shí)例”，所提出的有關(guān)“正面實(shí)例”的“有待證實(shí)”的一般性結(jié)論。

而數(shù)學(xué)猜想則是指針對(duì)“數(shù)學(xué)問題”，基于聯(lián)想，通過（不完全或因果）歸納或類比，提出“有待證明”的一般性結(jié)論的思維過程。在這個(gè)思維過程中，聯(lián)想是前提，試驗(yàn)與觀察是基礎(chǔ)，歸納與類比則是其提升（對(duì)試驗(yàn)和觀察結(jié)果的躍遷），其結(jié)果便是“有待證明”的猜想（一般性結(jié)論）。之所以稱這“一般性結(jié)論”為猜想，就是因?yàn)樗坝写C實(shí)”或“有待證明”，而且提出“猜想”時(shí)還沒有出現(xiàn)“反面實(shí)例”或“反例”。因此，數(shù)學(xué)猜想的提出就不能有“反例”的出現(xiàn)，而這也就要求猜想提出者在提出猜想之前，要有主觀上努力尋求“反例”的試驗(yàn)和觀察過程，而且沒有收獲任何“反例”。在提出猜想時(shí)，如果存在“反例”，就不應(yīng)該也不能夠提出相應(yīng)的所謂“數(shù)學(xué)猜想”。否則，就是“隨想”。

上述“真實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)情境”主要存在以下兩個(gè)方面的問題：一是明知有“反例”（譬如，學(xué)生在學(xué)習(xí)減法之初便已經(jīng)知道“2-3 是行不通的”這類減法問題;學(xué)習(xí)除法時(shí)也已經(jīng)曉得“4÷2與2÷4是不可能相等的”這類除法問題），卻硬要“引導(dǎo)”學(xué)生提出所謂的“減法交換律”或“除法交換律”的猜想;二是在教授“加法交換律”或“乘法交換律”時(shí)，缺少一個(gè)“引導(dǎo)學(xué)生主觀上去尋求‘反例而不得的學(xué)習(xí)、思維的活動(dòng)過程”。

那么，我們應(yīng)該如何來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)猜想呢？又應(yīng)該怎樣來教授數(shù)學(xué)猜想呢？下面，筆者仍然以“運(yùn)算律”為例，來試著解決這兩個(gè)問題。

二、如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)猜想

就我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)意義下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材而言，“運(yùn)算律”的學(xué)習(xí)內(nèi)容一般都安排在四年級(jí)第二學(xué)期，其主要內(nèi)容就是加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法（對(duì)加法的）分配律以及運(yùn)算律的綜合或靈活運(yùn)用或應(yīng)用。在具體的學(xué)習(xí)或教學(xué)安排上有這樣兩種處理方式：一是先學(xué)習(xí)或教學(xué)加法運(yùn)算律（包括交換律和結(jié)合律），然后學(xué)習(xí)或教學(xué)乘法運(yùn)算律（包括交換律和結(jié)合律），最后學(xué)習(xí)或教學(xué)乘法（對(duì)加法的）分配律;二是先學(xué)習(xí)或教學(xué)加法和乘法的交換律，然后學(xué)習(xí)或教學(xué)加法和乘法的結(jié)合律，最后學(xué)習(xí)或教學(xué)乘法（對(duì)加法的）分配律。

這兩種處理方式各有利弊，應(yīng)視具體教學(xué)情境加以選擇、采用。第一種處理方式的優(yōu)點(diǎn)是歸類清晰——加法運(yùn)算律、乘法運(yùn)算律以及分配律（加法和乘法“聯(lián)合”的運(yùn)算律）。第二種處理方式的優(yōu)點(diǎn)是依據(jù)“運(yùn)算律”本身的特點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行分類——交換律、結(jié)合律以及分配律，同時(shí)還蘊(yùn)含著“加法與乘法的類比”，但不夠徹底。因?yàn)闆]有分配律上的“加法與乘法的類比”。盡管分配律上的這一類比不成立，但應(yīng)該可以引導(dǎo)學(xué)生去思考這一問題，從“反面”來體會(huì)類比的方法論意義，即類比是“發(fā)現(xiàn)的邏輯”而非“證明的邏輯”。有待證明的發(fā)現(xiàn)可能是不正確的，有待確證;已經(jīng)證明的發(fā)現(xiàn)則是正確無疑的，無須再證。

因此，無論選擇、采用哪種處理方式，甚至是先后使用或者混合使用兩種方式，我們都應(yīng)以學(xué)生已有的算術(shù)四則運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)為前提，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，引導(dǎo)他們充分展開對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的分析與反思（都是如此嗎？沒有反例嗎？確實(shí)都是如此，沒有發(fā)現(xiàn)反例），并運(yùn)用歸納或類比來提升其分析與反思的結(jié)果，從而使他們達(dá)成對(duì)分析與反思結(jié)果的躍遷，提出“運(yùn)算律”的猜想。盡管對(duì)學(xué)生而言，提出的“運(yùn)算律”都有待證明，但這一過程意義非凡。其實(shí)，對(duì)教師而言，可能也是大致如此，但這已無關(guān)宏旨！

三、怎樣教學(xué)數(shù)學(xué)猜想

基于上述筆者結(jié)合“運(yùn)算律”對(duì)數(shù)學(xué)猜想及其學(xué)習(xí)的分析與思考，筆者認(rèn)為，“運(yùn)算律”的教學(xué)可以從以下幾個(gè)方面來構(gòu)想或設(shè)計(jì)。

1.要有聯(lián)想的前提：必要的積累。

如果沒有任何相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，也沒有任何想象力，那么，所謂的聯(lián)想是不會(huì)發(fā)生在任何人身上的（哪怕那個(gè)人是天才也無濟(jì)于事，或者說只能算是一個(gè)隨想而已）。事實(shí)上，在學(xué)習(xí)運(yùn)算律之前，學(xué)生已經(jīng)積累了大量的算術(shù)四則運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)（若從小學(xué)一年級(jí)算起，至少有三年半的時(shí)間;若從幼兒園算起，就更長(zhǎng)久了）。不僅如此，學(xué)生還學(xué)習(xí)了若干算術(shù)四則運(yùn)算的法則（即運(yùn)算法則，有的比較明確，有的比較隱晦）。更為重要的是，在學(xué)習(xí)算術(shù)四則運(yùn)算及其運(yùn)算法則時(shí)，盡管沒有點(diǎn)明、道破，但學(xué)生已經(jīng)在大量地運(yùn)用運(yùn)算律了。

其實(shí)，這是我們引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算律時(shí)極佳的、學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，不可不用，更不能無視。這里的關(guān)鍵問題是：應(yīng)該如何運(yùn)用？怎樣運(yùn)用才能用得更好？如何運(yùn)用才能更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升？這就需要教師想方設(shè)法來激發(fā)學(xué)生的想象力，促動(dòng)其聯(lián)想機(jī)制，并引導(dǎo)其分析、反思他們所擁有的豐富的算術(shù)四則運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。而若要著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，還必須把這五個(gè)“運(yùn)算律”作為一個(gè)整體來加以考察。

2.要有試驗(yàn)、觀察的基礎(chǔ)：充分的過程。

試驗(yàn)和觀察過程的充分展開是指針對(duì)所面臨的數(shù)學(xué)問題（譬如，如何總結(jié)、概括出算術(shù)四則運(yùn)算的“運(yùn)算律”？），我們要充分對(duì)其進(jìn)行試驗(yàn)與觀察（此前，盡管學(xué)生已有大量算術(shù)四則運(yùn)算的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，但沒有針對(duì)“運(yùn)算律”的試驗(yàn)與觀察），并在此基礎(chǔ)上不斷進(jìn)行總結(jié)和概括。

譬如，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)（加法和乘法的）交換律時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣一些問題：（1）如果我們班每一位同學(xué)都任意取兩個(gè)數(shù)，并把它們加（或乘）起來，那么，針對(duì)大家所取的那兩個(gè)數(shù)，每個(gè)人最多能寫出幾個(gè)不同的算式？（2）如果不計(jì)算（當(dāng)然，也不需要心算），你知道運(yùn)算結(jié)果是一樣的或相等的嗎？（3）如果把全班同學(xué)所列舉的所有情況都“放在一起”，你能總結(jié)、概括出什么樣的一般性結(jié)論呢？（其實(shí)，我們?cè)缇鸵呀?jīng)在運(yùn)用交換律了）（4）為什么？（加法或乘法的意義）（可以視教學(xué)的具體情況來確定先提出第三個(gè)問題還是第四個(gè)問題，第三個(gè)問題意在指向不完全歸納;第四個(gè)問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比）

類似地，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)（加法和乘法的）結(jié)合律時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣一些問題：（1）如果我們班每一位同學(xué)都任意取三個(gè)數(shù)，并把它們加（或乘）起來，那么，針對(duì)大家所取的那三個(gè)數(shù)，每個(gè)人最多能寫出幾個(gè)不同的算式？（2）如果不計(jì)算（當(dāng)然，也不需要心算），你知道運(yùn)算結(jié)果是一樣的或相等的嗎？（3）如果把全班同學(xué)所列舉的所有情況都“放在一起”，你能總結(jié)、概括出什么樣的一般性結(jié)論呢？（其實(shí)，我們?cè)缇鸵呀?jīng)在運(yùn)用交換律和結(jié)合律的“導(dǎo)出規(guī)律”了，為什么我們不把這“導(dǎo)出規(guī)律”也賦予一個(gè)“專名”呢？其實(shí)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，因?yàn)檫@里的“導(dǎo)出規(guī)律”內(nèi)含了交換律和結(jié)合律，所以，我們需要把交換律從中請(qǐng)出去，而只留下結(jié)合律）（4）為什么？（可以視教學(xué)的具體情況來確定先提出第三個(gè)問題還是第四個(gè)問題，第三個(gè)問題意在指向不完全歸納;第四個(gè)問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比）

而在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)（乘法對(duì)加法的）分配律時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣一系列問題：（1）如何把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“三位數(shù)乘一位數(shù)”等的豎式計(jì)算轉(zhuǎn)換為橫式計(jì)算呢？（2）如何把“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘兩位數(shù)”等的豎式計(jì)算轉(zhuǎn)換為橫式計(jì)算呢？（3）如何把“任何”乘法豎式計(jì)算轉(zhuǎn)化為橫式計(jì)算呢？（4）你能總結(jié)、概括出一般性的結(jié)論嗎？（其實(shí)，我們?cè)缇鸵呀?jīng)在運(yùn)用分配律了）（5）為什么？（可以視教學(xué)的具體情況來確定先提出第四個(gè)問題還是第五個(gè)問題，第四個(gè)問題意在指向不完全歸納;第五個(gè)問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比，盡管這個(gè)類比在此處不成立，但那又是為什么呢？）

3.要有歸納或類比的運(yùn)用：必要的躍遷

當(dāng)我們?cè)诳偨Y(jié)、概括一般性結(jié)論時(shí)，其實(shí)就已經(jīng)在運(yùn)用歸納或類比了。如果所總結(jié)、概括出的“一般性結(jié)論”只局限于我們所列舉的大量實(shí)例（其實(shí)，這里只有完全歸納，或者“對(duì)應(yīng)類比”），那么，我們就必須再次運(yùn)用歸納或類比，把這“一般性結(jié)論”推廣到更為一般的情況。因此，這里就需要有一個(gè)“自我否定的再否定”的思維活動(dòng)過程，即繼續(xù)追問：有反例嗎？再試驗(yàn)，再觀察，反復(fù)多次，以致求反例而不得。所以，我們（此時(shí)或暫時(shí)）就可以提出諸“運(yùn)算律”的猜想了。

即便我們總結(jié)、概括出的“一般性結(jié)論”已經(jīng)超越了我們所列舉的大量實(shí)例，也還是需要有一個(gè)“求反例而不得”的“自我否定的再否定”的思維活動(dòng)過程。這就是“科學(xué)的質(zhì)疑精神”在數(shù)學(xué)猜想中具體而生動(dòng)的體現(xiàn)。

此外，在“運(yùn)算律”的教學(xué)中，教師還應(yīng)在自己先弄明白“運(yùn)算律和運(yùn)算法則之間的關(guān)系”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考兩者之間的關(guān)系，以進(jìn)一步理解運(yùn)算的意義、運(yùn)算的規(guī)律（即運(yùn)算律）和運(yùn)算的法則（即運(yùn)算法則）三者之間的內(nèi)在關(guān)系（譬如，就邏輯關(guān)系而言，這三者之間是什么蘊(yùn)涵順序？就學(xué)習(xí)順序而言，這三者之間又是什么前后關(guān)系？這種邏輯關(guān)系和學(xué)習(xí)順序是否一致？無論一致與否，這種學(xué)習(xí)順序安排背后的道理是什么？），培養(yǎng)其數(shù)學(xué)的思維方式，進(jìn)而逐步提升教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。