基于分數(shù)傅立葉變換的通信抗干擾性能研究

孫永林，李大成，劉 飛

(1.海裝重大專項裝備項目管理中心，北京 100089；2.海裝裝備項目管理中心，北京 100089；3.中國人民解放軍32380部隊，北京 100072)

0 引言

由于電磁波具有開放性，在傳輸過程中存在極易被干擾的現(xiàn)象，而良好的抗干擾性能是安全穩(wěn)定通信的重要保證。隨著通信種類的不斷增多和通信設(shè)備的不斷增加，通信易被干擾的問題已經(jīng)成為制約通信發(fā)展的重要因素，而一味用提高算法的復(fù)雜度等方式來實現(xiàn)抗干擾的做法也越來越具有局限性。因此，找到一種簡單、有效抗干擾的調(diào)制解調(diào)方法顯得尤為重要。基于新的時頻分析工具-分數(shù)傅里葉變換(FRFT)，Tao Ran等[1]中提出了線性調(diào)頻(LFM)信號的方向估計算法。LFM信號是其初始頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號。分數(shù)傅立葉變換(FRFT)是普通傅立葉變換的推廣，是一個能夠?qū)崿F(xiàn)非平穩(wěn)信號的能量聚焦特性的強大工具，并已用于估計LFM信號的參數(shù)[2-3]。類似于余弦信號是傅立葉變換的基本信號，LFM信號也是FRFT的基本信號， LFM信號在合適的分數(shù)傅里葉變換域中呈現(xiàn)脈沖狀態(tài)。基于此特性，Qi Shuai等[4]提出了一種以LFM信號為載波和分數(shù)階傅里葉變換理論相結(jié)合的實現(xiàn)類似于FSK調(diào)制解調(diào)的新方法。在前人的理論基礎(chǔ)上，本文同樣以LFM信號為載波，利用分數(shù)階傅里葉變換實現(xiàn)類似于PSK調(diào)制解調(diào)的新方法，并分析其抗干擾性能。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型主要由3個部分組成：信號發(fā)送端Alice、信號接收端Bob和信號干擾端Eve。假設(shè)在相同干擾信號的情況下，信號發(fā)送端和接收端分別以余弦信號作為載波利用傅立葉變換實現(xiàn)調(diào)制解調(diào)，和以LFM信號為載波利用分數(shù)傅里葉變換實現(xiàn)調(diào)制解調(diào)， 在兩種不同的情況下仿真計算信號接收端Bob的誤碼率大小，分析其抗干擾能力。系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型

2 基本原理

2.1 LFM信號的表示

線性調(diào)頻信號可以表示為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(1)

式中A是信號幅度；φ為初始相位；f0為初始頻率；t是時間；m為調(diào)頻率，是對應(yīng)于頻率的常數(shù)。 信號的瞬時頻率為：

f=f0+mt2/2

(2)

2.2 FRFT算法

近年來，F(xiàn)RFT在信號處理領(lǐng)域引起了越來越多的關(guān)注，Namias介紹了FRFT的數(shù)學(xué)定義[5]。分數(shù)階傅里葉變換的定義可以寫為：

(3)

式(3)中，α為分數(shù)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度。

為了便于理解，分數(shù)傅里葉變換可以分解為以下三步：

第一步：用Chirp信號對f(t)信號進行調(diào)制：

g(t)=f(t)exp[-jπt2tan(α/2)]

(4)

第二步：將調(diào)制信號與另一個Chirp信號進行卷積：

(5)

第三步：通過LFM信號和信號的卷積實現(xiàn)調(diào)制：

Fp(u)=g′α(u)exp[-jπu2tan(α/2)]

(6)

為了實現(xiàn)分數(shù)傅里葉變換的數(shù)值計算，可以將整個過程進行如下處理。

步驟一：對f(t)信號進行采樣。分數(shù)階數(shù)p的取值范圍為p∈[-1,1]，分數(shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度與階數(shù)的關(guān)系為：

α=pπ/2

(7)

F4[f(t)]=F0[f(t)]=f(t)

(8)

F2[f(t)]=f(-t).

(9)

也即分數(shù)傅立葉變換具有旋轉(zhuǎn)特性，所以當分數(shù)階數(shù)p取其他值時，可以先利用此特性變到[-1,1]的范圍內(nèi)再進行計算。

步驟二：利用FFT來實現(xiàn)式中的卷積運算，由此來保證通信的實時性。

步驟三：將卷積后的信號進行調(diào)制，再利用前后的抽取和內(nèi)插便可得到最終的離散的分數(shù)傅立葉變換的結(jié)果。

2.3 LFM信號經(jīng)過FRFT的推導(dǎo)運算

已知LFM信號一般形式為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(10)

為了推導(dǎo)方便，使φ=f0=0，A=1。因此，LFM信號經(jīng)過FRFT后可以得到：

(11)

(12)

可以分段表示為：

(13)

從上述推導(dǎo)結(jié)果可以看出，在變換階數(shù)滿足一定的關(guān)系時，LFM信號在其相應(yīng)的分數(shù)傅里葉變換域表現(xiàn)出沖擊函數(shù)的特性。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 LFM信號經(jīng)過FRFT的結(jié)果

在仿真實驗中，為了便于計算，LFM的信號參數(shù)取φ=f0=0、m=5、t∈[0,4]，則LFM信號可以表示為：

f(t)=exp(j5πt2)

(14)

圖2 LFM信號經(jīng)過分數(shù)傅立葉變換

3.2 LFM信號的抗干擾性能

假設(shè)干擾信號在中心頻率上，表達形式為：

g(t=Aexp(j40πt)

(15)

式中A為干擾信號的振幅。當A=1時，LFM信號與干擾信號的總信號為：

(16)

信號s(t)經(jīng)過與f(t)相同的分數(shù)階傅里葉變換后，干擾信號對LFM信號有一定的影響，但是不影響其沖擊波形。總信號經(jīng)過分數(shù)傅立葉變換如圖3所示。

圖3 總信號經(jīng)過分數(shù)傅立葉變換

信號s(t)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)角度為α的分數(shù)傅里葉變換后，在分數(shù)傅立葉變換域進行帶通濾波，此時保留沖擊信號，然后再進行旋轉(zhuǎn)角度為-α的分數(shù)傅里葉變換，變換后信號恢復(fù)時域形式，在時域進行解調(diào)并判決后便得到了原信號f′(t)。LFM信號的解調(diào)原理如圖4所示。

利用上述原理，對干擾信號進行仿真可以得到相應(yīng)的誤碼率。同時，假設(shè)與LFM信號具有相同振幅的作為對比實驗的表達式為：

e(t)=exp(j40πt)

(17)

在不存在噪聲干擾時，e(t)信號仿真實驗結(jié)果顯示其誤碼率約0.5，即完全被干擾；而由于LFM信號只被影響了單一頻點，其誤碼率幾乎與原來沒有差別，LFM信號對于單一頻點的干擾具有強大的抗干擾能力。

圖4 LFM信號的解調(diào)原理

4 結(jié)語

經(jīng)過幾十年的發(fā)展，從圖像加密到頻率復(fù)用再到調(diào)制解調(diào)領(lǐng)域，分數(shù)傅里葉變換理論已經(jīng)取得了眾多值得稱贊的成果，本文從抗干擾的角度出發(fā)探索分數(shù)傅里葉變換理論更廣泛應(yīng)用的可能。首先介紹了分數(shù)傅里葉變換理論的研究現(xiàn)狀，其次建立了現(xiàn)實中可能存在的惡意干擾模型，對LFM信號和分數(shù)傅里葉變換理論進行了公式推導(dǎo)，揭示了LFM信號經(jīng)過分數(shù)階傅里葉變換后會存在沖擊函數(shù)形式這一理論基礎(chǔ)，利用仿真結(jié)果直觀展示了LFM信號在分數(shù)傅里葉變換域的沖擊形式，仿真結(jié)果與理論相對應(yīng)，最后，通過誤碼率的變化說明了干擾信號對LFM信號和余弦信號的影響大小。

雖然對分數(shù)傅立葉變換的研究已經(jīng)出現(xiàn)了眾多可喜的成果，但是其應(yīng)用和影響還遠不如傅里葉變換。隨著人們對分數(shù)傅里葉變換研究的不斷深入，更多優(yōu)秀的理論成果一定會呈現(xiàn)在人們面前，那時，一定會帶來更多的技術(shù)驚喜。