課題：6.4.3 余弦定理，正弦定理 1.余弦定理

唐華兵

教學設計

（一）課時教學內容

1.在創設的問題情境中，引導學生發現余弦定理的內容，推證余弦定理;

2.運用余弦定理解決解三角形的相關問題.

（二）課時教學目標

1.經歷從問題情境中抽象出數學模型的過程，發展學生的數學建模能力。

2.經歷體會余弦定理的發現和推導過程，發展學生的邏輯推理能力。

3.經歷余弦定理的簡單應用，數學運算和思維能力。

（三）教學重點與難點

教學重點是：探究余弦定理并會簡單應用。

教學難點是：探究并證明余弦定理。

（四）教學過程設計

1.余弦定理的探究

師：同學們，我們在高速公路上時，經常會通過隧道，那么，同學們知道隧道是怎么開挖的嗎？下面，我們來看一段隧道開挖的動畫模擬。（播放視頻）

情境導入：如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的寬度。工程技術人員先在地面上選一適當的位置A，量出A到山腳B、C的距離，其中AB=3 km，AC=1 km，再利用經緯儀測出∠BAC=150°，請問BC是多少千米？

師：如果∠BAC=90°，我們可以利用勾股定理很快的求出來，但是現在∠BAC=150°，我們該怎么求呢？

問題1.（1）在 中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知邊b，c和夾角A，能求出第三邊a嗎？

生：能

追問1：為什么？

生：因為我們初中學過SAS判斷三角形全等的方法，這就告訴我們已知兩邊及其夾角這個三角形是唯一確定的，所以第三邊也是確定的。

追問2：那么如何利用 和A表示邊 呢？請同學們聯系已經學過的知識，進行分組合作探究，尋求解決方法.

學生活動：小組合作探究，積極參與討論，共同尋找解決方案，展示研究成果.

設計意圖：分組合作探究，培養了學生的團隊合作意識.聯系已經學過的知識解決該問題，學生可以多角度思考去尋找解決問題的方法，起到訓練知識遷移使用的能力.通過上臺展示，培養學生的學習自信力.通過解題過程的完善，培養學生數學思維的嚴謹性.問題的解決使余弦定理的生成比較自然.這里，教師重在啟發學生的思考.考慮到教科書中采用向量法的意義和作用，因此教師可以作兩手準備：若學生中有提出用向量法探究的，則協商并確定選用向量方法探究余弦定理是十分自然的.若學生中沒有提出用向量法探究的，則教師可以啟發學生思考：是否可以利用向量法探究（線段長與向量的模建立聯系）.

方法一：（幾何法）通過作輔助線將三角形分割為特殊三角形---直角三角形，構造出直角三角形后利用勾股定理建立等量關系.本方法要注意對 進行討論.

師：非常好，同學們可以利用學過的向量知識來解決新的問題，真是學以致用啊！

師生活動：教師引導學生關注：我們的研究目標是用b，c和A表示a，聯想到數量積的性質 ，可以考慮利用向量 進行相關的數量積運算得到結果”.

設計意圖：這是推證過程中的難點.設計這個問題，旨在引導學生不僅知道“是什么”，而且更應當知道“為什么”.

師：同學們，你們剛才除了用這種方法來證明余弦定理以外，還有什么其他方法證明余弦定理嗎？

生：我們還可以建立直角坐標系

師：非常好，說說具體過程

方法三、（坐標法）

設計意圖：得出余弦定理完整的形式.

師：三個等式中都含有余弦，所以三個式子合在一起叫余弦定理.這三個等式是余弦定理的符號語言，那么其文字語言該怎樣敘述呢？

提問某學生，學生回答之后，教師結合式子敘述余弦定理的文字語言.

余弦定理文字表述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

設計意圖：學習余弦定理的符號語言和文字語言，掌握余弦定理的結構特征，明確余弦定理的用途.

2.余弦定理與勾股定理的關系

師：引導學生發現余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例

問題3.余弦定理與之前學過的關于三角形的什么定理在形式上非常相近？

學生在教師的啟發下，發現與勾股定理相近，自主分析并總結出兩個定理之間的關系. 為直角時， ， ，是勾股定理的形式.這說明勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣.

師生活動：教師引導學生分析，勾股定理指出了直角三角形中兩條直角邊及其所夾的直角與斜邊之間的關系，而余弦定理揭示了一般三角形中任意兩邊及其夾角與第三邊之間的關系，其根本的差異在于夾角.

設計意圖：啟發學生從余弦定理中抽象出勾股定理，進而辨析勾股定理與余弦定理的關系.通過余弦定理與勾股定理關系的分析，引發學生提煉蘊含在問題中的“特殊與一般”的數學思想，幫助學生樹立辯證觀點.

3.解三角形：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形

4.課本例5的教學（即課件的例1）

師生活動：由例1做鋪墊，例2由學生自己在下面完成，然后用學生機上傳結果，由于這道題在求角B，C的余弦值時候有多種方法，既可以用余弦定理的推論來求，也可以用二倍角公式來求，正好可以展示他們不同的思路。

師生活動：由例1，例2做鋪墊由學生自己在下面獨立思考，教師實時引導，進一步引導學生從方程的角度理解余弦定理，從而解決問題。

設計意圖：進一步從方程得角度理解余弦定理，加強對余弦定理得理解和應用。培養學生數據分析，邏輯推理等核心素養。

5.課堂小結

教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

（1）余弦定理是什么？如何用向量方法推導余弦定理？

（2）余弦定理的推論是什么？

（3）余弦定理實質上是勾股定理的推廣;

（4）運用余弦定理及其推論可以解決哪些解三角形的問題？

設計意圖：通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力.

（六）、教學反思

1、余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用;第二節復習定理內容，加強定理的應用。

2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。

3、本節課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰術，加重了學生的負擔，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應用呢？事實上已經證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經不能適應新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調過程，重視學生探索新知識的經歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內心感受，把“發現、探究知識”的權利還給學生。

4、本節課的教學過程重視學生探究知識的過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結論。在這個過程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現的困惑置之不理。

5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變為機械的“眼到”，學生看了一節課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學的知識忘得一干二凈。

6、在實際的教學中，發現學生對于所學的知識（例如向量）不能很好的應用，學生的數學思想（如分類討論、數形結合）也不能靈活的應用，這在以后的教學中還應該加強。從授課的實際效果來看，能較好的完成本節課的教學任務。后一階段的教學主要應該加強師生的課堂雙邊活動，處理好教與學的關系，充分調動學生的課堂參與意識，鼓勵學生積極大膽的發言，學生主動暴露自己的問題，教師及時的加以糾正，使教學更具針對性。