深度建構數學概念的實踐與研究

馬志浩

一、小學數學概念教學存在的問題

概念教學在小學數學中占據著較大的比例，在教學中，教師只是注重讓學生熟練地背誦概念，許多學生在真正運用的時候卻不能舉一反三，靈活應用。現在存在主要的問題有以下幾種。

1.概念之間的聯系時常忽略

在小學階段，許多概念之間是相互聯系的，也就是前后都有關聯的，如果讓學生明白這種聯系，可以達到融會貫通的目的。而我們在平時的教學中，并沒有前后聯系，從而導致學生不能靈活運用。例如：比例尺概念的教學，我們好多教師只是在地圖中引入比例尺概念，告訴學生圖上比例尺表示的具體含義，如1∶100就是圖上距離是實際距離的，然后具體解釋，如果圖上距離是1厘米，那么實際距離就是100厘米，圖上距離是2厘米，那么實際距離就是200厘米……這樣教學就是把比例尺概念當作一個全新的概念，孤立地進行教學，沒有很好地與原有的概念建立聯系，學生學習后也不能靈活運用比例尺的知識。

2.概念的剖析浮于表面

在教學中，我們對概念的剖析，往往是浮于表面的，經常用抽象的文字解釋概念的內涵，這對于學生來說是難于理解的。例如，學習“百分數的認識”時，我們常會用一些含有百分數的信息作載體來學習百分數的意義。如衣服的成分，棉占80%，表

示（? ? ?）是（? ? ?）的80%;一班的男生占55%，表

示（? ? ?）是（? ? ?）的55%等。然后通過幾個例子歸納出百分數的意義表示一個數是另一個數的百分之幾。這樣的教學，讓學生不能真正的理解。

3.概念的外延簡單劃一

當我們利用數形結合的策略，剖析數學概念的內涵后，許多教師認為概念教學到此為止，認為學生應該能很好地建構數學概念了。例如，在學習“面積單位平方厘米”時，我們強調邊長1厘米的正方形的面積是1平方厘米，這當然沒有錯，但是僅僅這樣還是不夠的，學生會片面地認為1平方厘米必須是正方形的面積，事實上，1平方厘米可以是三角形的、正方形的、長方形的面積，甚至是不規則圖形的面積。

二、深度建構數學概念的探索

如何讓學生深度建構數學概念，而不是僅僅依靠記憶？我們認為，數學概念的深度建構，需要經歷感悟—剖析—豐富—厘清的過程。

1.前后連接，感悟概念的聯系

數學概念都有它產生的背景，而且概念與概念之間有聯系，并不是孤立存在的。所以在引入概念時，要關注概念產生的背景，關注概念與概念之間的聯系，讓學生明白概念是在什么情況下產生的，它有什么用處，它與哪個已經學過的概念有聯系等，從而感悟概念之間的聯系，達到融會貫通的目的。

例如，“圖形的放大與縮小”一課中，學生知道了圖形按相同的比來放大或縮小，才會和原來的圖形比較像，而這一原理正是比例尺產生的原因。基于這樣的思考，筆者讓學生經歷尋找相同比的過程，從而深度建構比例尺的概念。這是讓學生體會比例尺產生的過程，在找相同比的過程中初步感受比例尺的概念。

2.數形結合，剖析概念的內涵

在初步感悟概念之間聯系的基礎上，就要深入剖析概念的內涵。剖析概念的內涵，僅僅從數或形某一方面來進行，都是比較片面的，只有數形結合，才能引導學生深度建構數學概念。以形示數，使數得以直觀化;以數助形，使形得以數量化。兩者結合，才能深入理解概念本質。

例如，在學習正比例時，我們讓學生觀察表格發現規律，然后再出示圖像，數形結合，引導學生把握正比例概念的內涵，即兩個變化的量，相應的比值一定，我們就說這兩個量成正比例。

3.變式比較，豐富概念的外延

在教學中，我們常常會發現，學生好像已經掌握了相關的概念，但只要稍一變化，學生就糊涂了。例如，認識直線后，我們再出示一條斜著畫的直線，學生就會認為這不是直線。這是因為學生對概念的外延不清晰。為了化解這樣的問題，依據顧泠沅老師的“變式”理論，我們在教學中不僅應用標準變式，也有意識地引入一些“非標準變式”，以幫助學生深度建構。

如在“面積和面積單位”一課中，學生學習了1平方厘米后，就有如下活動：

（1）將1平方厘米的正方形沿對角線剪開，變成2個半平方厘米的三角形，讓學生用這兩個三角形來拼，看看可以拼成什么圖形？

在反饋交流時，有的拼成了一個大三角形（如圖1），有的拼成了一個正方形（如圖2），也有的拼成了一個平行四邊形（如圖3），并進一步引導學生發現，這些圖形形狀不同，周長不同，但面積都是1平方厘米。

（2）接著再讓學生估計圖4這個圖形的面積大約是多少平方厘米？（1平方厘米）在估計的過程中，學生不僅建構了規則圖形的1平方厘米，同時也建構了不規則圖形的1平方厘米，進一步豐富學生頭腦中1平方厘米的表象。因為在我們的生活中，更多的是不規則的圖形。

（3）在建構了1平方厘米的表象后，我們再讓學生建構2平方厘米、5平方厘米和10平方厘米的表象，在這樣進一步的變化與推進中，我們讓學生把握了平方厘米這個概念的本質。

引導學生理解概念的內涵，在各種標準變式與非標準變式圖形中，我們用舉例的方式向學生展示概念的外延，使學生辨析的過程中，豐富了概念的外延，促進學生深度建構數學概念。

4.整體梳理，厘清概念的體系

在概念的學習中，學生往往會將許多概念孤立開來，不會主動地去發現概念與概念之間的聯系與區別，從而不會靈活地運用所學的概念，也就不能將所學的知識連接成網了。如果在學習概念時，我們能進行整體梳理，既梳理概念與概念的聯系，又梳理概念與概念的區別，從而厘清概念的體系，從整體上建構概念網絡，最終實現深度建構數學概念的目的，從而靈活運用，舉一反三。

綜上所述，當我們以發展的眼光來看待一個數學概念，自然而然就會去關注這個概念產生的背景，概念間的聯系，剖析概念的內涵，豐富概念的外延，整體建構概念體系，從而深度建構數學概念，讓學生學得扎實、靈活、有效。

（作者單位：浙江省杭州市余杭區崇賢第一小學）

責任編輯：高珊

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