基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法

高曉玲

(寧夏大學(xué) 新華學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

1 引 言

在圖像獲取與傳輸時(shí)，光照變化及傳感器本身的因素會(huì)使輸出的圖像受到噪聲的污染。在基于光子計(jì)數(shù)的成像系統(tǒng)中，如合成孔徑雷達(dá)成像、天文學(xué)成像及醫(yī)學(xué)成像等，獲取的圖像中均含有泊松噪聲[1]。泊松噪聲是一類乘性噪聲，在圖像灰度值越大的位置其噪聲能量也越大。圖像中的泊松噪聲不僅影響了圖像的視覺(jué)效果，同時(shí)給特征提取、分類等后續(xù)圖像處理操作帶來(lái)了較大的精度影響。因此，在圖像的預(yù)處理過(guò)程中亟需去除圖像中的泊松噪聲。

經(jīng)典的圖像泊松去噪思想是將圖像中的泊松噪聲通過(guò)方差變換為高斯噪聲，然后利用雙邊濾波[2]、小波去噪[3]、非局部均值[4]等高斯去噪方法進(jìn)行處理。當(dāng)成像光子數(shù)較多時(shí)，經(jīng)典的圖像泊松去噪方法能取得較好的去噪效果，然而，在天文學(xué)和醫(yī)學(xué)成像系統(tǒng)中，在成像時(shí)接受的光子數(shù)通常較少，使得輸出的圖像灰度較低，經(jīng)典方法難以去除圖像中的泊松噪聲[5]。

當(dāng)前，圖像的泊松去噪方法較多。文獻(xiàn)[6]提出了基于極大似然估計(jì)的泊松去噪方法，該方法能取得很好的去噪性能，但其計(jì)算復(fù)雜度較高。隨后，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于Haar變換的快速圖像泊松去噪算法，并通過(guò)與軟閾值方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。Federica等人[8]將全變分函數(shù)正則化模型應(yīng)用于圖像的泊松去噪，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在去噪的同時(shí)保持圖像細(xì)節(jié)信息的能力，但該方法去噪容易引起階梯效應(yīng)。為此，文獻(xiàn)[9]結(jié)合對(duì)偶算法對(duì)全變分正則化進(jìn)行了改進(jìn)，增強(qiáng)了算法的去噪性能和邊緣細(xì)節(jié)保留的能力。Xu等人[10]針對(duì)正則化函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，提出了能消除階梯效應(yīng)的正則化泊松去噪方法。Marnissi等人[11]結(jié)合泊松分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)和正則化方法，提出了貝葉斯極大后驗(yàn)泊松去噪方法，并通過(guò)求解偏微分方程來(lái)實(shí)現(xiàn)泊松去噪過(guò)程。Sun等人[12]在貝葉斯極大后驗(yàn)框架下，建立了泊松噪聲的稀疏正則化模型，利用迭代的方法求解冗余字典的系數(shù)稀疏。

另一類應(yīng)用廣泛的方法是對(duì)非局部均值方法的改進(jìn)。Houdard等人[13]基于非局部均值的思想，并結(jié)合泊松分布的特性，得到了非局部均值泊松去噪方法，該方法能自適應(yīng)迭代求解出最佳的去噪?yún)?shù)。文獻(xiàn)[14]針對(duì)光子數(shù)較少的條件下，提出了一種基于主成分分析的非局部均值泊松去噪方法，該方法結(jié)合字典學(xué)習(xí)和泊松分布的統(tǒng)計(jì)特性，利用Bregman距離求解字典的稀疏，實(shí)驗(yàn)證明該方法在強(qiáng)泊松噪聲的條件下能很好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息。文獻(xiàn)[15]提出了基于泊松分布的隨機(jī)距離去噪方法，采用像素間的隨機(jī)距離大小來(lái)衡量圖像中兩像素點(diǎn)間的相似性大小，該方法在不同光子數(shù)條件下驗(yàn)證了其去噪的有效性。

基于圖像泊松分布的統(tǒng)計(jì)特性，本文提出一種基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法。該方法利用像素點(diǎn)的非局部區(qū)域內(nèi)的像素信息并根據(jù)極大似然估計(jì)其泊松分布參數(shù)；根據(jù)兩泊松分布間的L2范數(shù)距離來(lái)表示兩像素點(diǎn)間的差異大小。采用兩像素點(diǎn)周圍鄰域內(nèi)點(diǎn)對(duì)間的L2范數(shù)距離平方和來(lái)定義相似性權(quán)值的大小。依據(jù)非局部均值的思想對(duì)圖像進(jìn)行泊松去噪，實(shí)驗(yàn)證明，本文方法在不同光子數(shù)條件下均能取得較好的去噪性能，特別是在光子較少時(shí)，該方法能很好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，獲得較高的峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Rate, PSNR)[16]。

2 非局部均值算法原理

非局部均值算法是在圖像中尋找出與待濾波像素點(diǎn)相似的像素點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)非局部區(qū)域，根據(jù)非局部區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)平均濾波得到去噪后的像素值。對(duì)于圖像中的一像素點(diǎn)x，在其周圍鄰域Ω(x)內(nèi)計(jì)算各像素點(diǎn)與x之間的相似性，以確定像素點(diǎn)x的非局部區(qū)域NL(x)。依據(jù)非局部區(qū)域NL(x)內(nèi)各像素點(diǎn)的相似性權(quán)值進(jìn)行加權(quán)平滑濾波。

在非局部均值濾波中，兩像素點(diǎn)之間的相似性權(quán)值是根據(jù)像素點(diǎn)周圍鄰域內(nèi)點(diǎn)對(duì)之間的距離平方和來(lái)定義的。對(duì)于圖像中的像素點(diǎn)x與y，其間的相似性權(quán)值w(x,y)定義為[4]：

w(x,y)=e(-d2(x,y)/h2)

(1)

式中：h為濾波控制參數(shù)，d2(x,y)為像素點(diǎn)x與y鄰域之間的距離平方和，其定義為：

(2)

式中，η表示用來(lái)計(jì)算兩像素點(diǎn)之間相似性的窗口大小，I(x+t)表示像素點(diǎn)(x+t)處的像素點(diǎn)灰度值，Ga(t)表示方差為a的高斯核。

在計(jì)算了像素間的相似性權(quán)值之后，濾波后的像素值u(x)可由式(3)計(jì)算：

(3)

在加權(quán)平滑濾波過(guò)程中，窗口中心像素點(diǎn)處的相似性權(quán)值由于d(x,x)=0的影響使得x處的相似性權(quán)值最大，且遠(yuǎn)大于其他像素點(diǎn)的相似性權(quán)值，這樣將導(dǎo)致去噪結(jié)果受自身像素點(diǎn)的影響較大，影響去噪性能。為此，在實(shí)際濾波過(guò)程中，窗口中心像素點(diǎn)的相似性權(quán)值取為濾波窗口Ω(x)中的最大相似性權(quán)值，即，

(4)

非局部均值濾波的性能受濾波控制參數(shù)h的影響較大，當(dāng)h的取值較大時(shí)，濾波窗口內(nèi)各像素點(diǎn)的相似性權(quán)值差別較小，濾波效果越接近均值濾波；當(dāng)h的取值較小時(shí)，濾波窗口內(nèi)各像素點(diǎn)的相似性權(quán)值差別較大，其去噪能力較弱；當(dāng)h取值非常小時(shí)，濾波效果由少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)來(lái)決定，去噪性能大大降低。因此，合理選擇h的參數(shù)對(duì)去噪性能至關(guān)重要。

3 基于L2范數(shù)的非局部均值泊松去噪

3.1 像素點(diǎn)泊松分布的參數(shù)估計(jì)

在天文學(xué)、合成孔徑雷達(dá)、醫(yī)學(xué)成像等系統(tǒng)中，傳感器在固定時(shí)間內(nèi)接受一定數(shù)量的光子數(shù)而形成輸出圖像。圖像中含有大量的泊松噪聲，泊松噪聲具有一定的隨機(jī)性，依據(jù)泊松噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)建立泊松分布模型，

(5)

式中，r表示傳感器接受的光子數(shù)，λ是真實(shí)光子率。文獻(xiàn)[17]表明，當(dāng)光子率λ>20時(shí)，此泊松分布近似于高斯特性，可用高斯分布來(lái)建模。

式(5)中泊松分布的參數(shù)為真實(shí)光子率λ，在圖像中，取待濾波像素點(diǎn)x周圍最相似的k個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)非局部區(qū)域NL(x)，依據(jù)極大似然準(zhǔn)則估計(jì)參數(shù)λ。對(duì)于圖像中的兩像素點(diǎn)x與y，其間的相似性dxy由對(duì)應(yīng)鄰域窗口η(x)與η(y)內(nèi)的像素點(diǎn)灰度差的平方和來(lái)計(jì)算，即

(6)

(7)

對(duì)式(7)求導(dǎo)可得，

(8)

由式(8)可得參數(shù)λ的非局部極大似然估計(jì)，

(9)

3.2 像素點(diǎn)間的相似性權(quán)值求解

對(duì)圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)x利用其非局部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)估計(jì)出一個(gè)泊松分布p(r;λx)后，所有像素點(diǎn)的泊松分布組成一個(gè)待濾波圖像。在待濾波圖像中的兩點(diǎn)p(r;λx)與p(r;λy)，利用L2范數(shù)計(jì)算其間的相似性，

(10)

將式(5)代入式(10)可得，

(11)

化簡(jiǎn)上式，

(12)

實(shí)驗(yàn)中采用蒙特卡洛方法來(lái)計(jì)算其數(shù)值近似值。在進(jìn)行非局部均值濾波過(guò)程中，取待濾波圖像中一點(diǎn)λx處的非局部區(qū)域NL(λx)中的k個(gè)數(shù)值點(diǎn)。對(duì)于待濾波圖像中的兩點(diǎn)λx與λy，其間的相似性權(quán)值可由式(13)計(jì)算給出，

(13)

式中，λx,l表示λx的非局部區(qū)域內(nèi)的第l個(gè)點(diǎn)，ρ表示濾波控制參數(shù)，d(λx,l,λy,l)為兩點(diǎn)λx,l與λy,l之間的L2范數(shù)。

基于兩泊松分布間L2范數(shù)的計(jì)算和待濾波圖像中兩點(diǎn)間相似性權(quán)值的計(jì)算，對(duì)于一幅含泊松噪聲的圖像，其去噪算法的步驟為：

步驟1：對(duì)圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)根據(jù)式(6)選取最相似的k個(gè)點(diǎn)組成非局部區(qū)域NL(x)；

步驟2：根據(jù)圖像中每一個(gè)像素點(diǎn)的非局部區(qū)域NL(x)內(nèi)的像素點(diǎn)，利用極大似然估計(jì)出泊松分布的參數(shù)λ；

步驟3：所有的泊松分布構(gòu)成一個(gè)待濾波圖像，依據(jù)式(13)計(jì)算待濾波圖像中兩點(diǎn)間的相似性權(quán)值；

步驟4：利用非局部均值思想進(jìn)行去噪。

根據(jù)上述基于L2范數(shù)的非局部均值圖像泊松去噪方法的思想，其去噪的基本流程如圖1所示。

圖1 本文圖像去噪方法的基本流程Fig.1 Basic procedure of the proposed image denoising method

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文算法的去噪性能，利用4幅圖像仿真加入泊松噪聲進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，本文算法(簡(jiǎn)稱L2 NLM)的去噪性能與非局部均值算法(NLM)[4]、泊松非局部均值算法(Poisson NLM)[18]以及泊松主成分分析算法(Poisson PCA)[17]進(jìn)行比較。在實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)像素的鄰域窗口取20×20，非局部區(qū)域由k=25個(gè)點(diǎn)組成，濾波窗口的大小取為7×7，NLM算法中的濾波控制參數(shù)h=0.7，Poisson NLM算法中的濾波控制參數(shù)h=1.5，本文算法的濾波控制參數(shù)h=1.1。

采用峰值信噪比來(lái)衡量去噪性能，在圖像“Barbara”和“Peppers”中分別加入PSNR為10 dB和20 dB的泊松噪聲，利用上述4種算法進(jìn)行去噪，所得的結(jié)果如圖2～5所示。

從圖2～5的結(jié)果可以看出，NLM的去噪性能較差，圖像較模糊，Poisson NLM和Poisson PCA的去噪性能較好，細(xì)節(jié)保持能力較好。相比于L2 NLM，其他3種算法在去噪性能和邊緣細(xì)節(jié)信息保持方面均較差。從視覺(jué)效果上可以看出，L2 NLM去噪后的圖像更清晰，結(jié)構(gòu)更明顯。

圖2 PSNR為10時(shí)，不同算法對(duì)“Barbara”的去噪結(jié)果。Fig.2 Illustration of “Barbara” denoising results of different algorithms when PSNR is 10 dB

圖3 PSNR為20時(shí)，不同算法對(duì)“Barbara”的去噪結(jié)果。Fig.3 Illustration of “Barbara” denoising results of different algorithms when PSNR is 20 dB

圖4 PSNR為10時(shí)，不同算法對(duì)“Peppers”的去噪結(jié)果。Fig.4 Illustration of “Peppers” denoising results of different algorithms when PSNR is 10 dB

圖5 PSNR為20時(shí)，不同算法對(duì)“Peppers”的去噪結(jié)果Fig.5 Illustration of “Peppers” denoising results of different algorithms when PSNR is 20 dB

為了定量比較本文算法的去噪性能，在4幅圖像中分別加入PSNR為1、5、10 dB的泊松噪聲，分別利用上述4種算法進(jìn)行去噪，計(jì)算去噪后圖像的PSNR，對(duì)比結(jié)果如表1所示。從表1的結(jié)果可以看出，L2 NLM在4幅圖像中的去噪性能均好于NLM，且優(yōu)于Poisson PCA和Poisson NLM的去噪性能。在PSNR取值較低時(shí)，L2 NLM的性能大幅優(yōu)于其余算法的性能，而在PSNR取值為5 dB和10 dB時(shí)，L2 NLM的去噪性能同樣是最優(yōu)。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了本文算法的性能優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文提出一種基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法，采用像素點(diǎn)非局部區(qū)域內(nèi)的信息估計(jì)出一個(gè)泊松分布，利用L2范數(shù)計(jì)算兩泊松分布間的距離，從而定義兩像素點(diǎn)的相似性大小，圖像中兩點(diǎn)之間的相似性權(quán)值大小由各自鄰域內(nèi)點(diǎn)對(duì)間泊松分布的L2范數(shù)距離的平方和來(lái)定義。在不同峰值信噪比下進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，本文方法的去噪圖像峰值信噪比均優(yōu)于22 dB。通過(guò)分析比較不同算法的去噪性能，驗(yàn)證了本文去噪的性能優(yōu)勢(shì)。