基于變式教學理念下的課例與反思
——以“一次函數中的行程問題專題”為載體

■丁葉謙

一、學情分析

本課之前，學生已基本掌握了一次函數的圖像和性質，并且可以根據函數圖像上點的坐標，利用待定系數法求一次函數圖像的解析式，且能利用函數解析式求一些特殊點的坐標，并且在之前方程的學習過程中已經能夠利用方程解決行程問題。但利用函數圖像以及方程思想綜合分析行程問題，學生的能力還略顯不足，尤其是解較為復雜的函數圖像與行程問題結合的綜合題。

二、教學實錄與反思

1.問題初探，積累經驗。

問題1甲、乙兩人分別從相距480 千米的A、B 兩地同時出發相向而行，駛往對方所在地，如圖1是他們行駛的路程y（千米）與行駛的時間x（小時）之間的函數圖像。從圖像中，你能獲得哪些信息？

學生1：由點（6，480）可知乙6 小時行駛了480千米，所以乙的速度為80千米/小時。

學生2：利用待定系數法可求出y乙=80x，y甲=60x。

教師：如果深入分析，你能求出甲、乙相遇的時間嗎？

學生3：由題意，可得y甲+y乙=480，即80x+所以他們經過小時相遇。

變式1在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙離A 地的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，你能畫出相應的函數圖像嗎？

學生小組交流展示，畫出相應的函數圖像，如圖2。

教師：哪位同學來分享一下你畫出這個函數圖像的經驗呢？

學生4：我畫這個函數圖像時主要抓住4 個點，即甲的起點和終點、乙的起點和終點，根據y（千米）表示為甲、乙離A地的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，可知甲的起點為（0，0）、終點為（8，480），乙的起點為（0，480）、終點為（6，0），分別連接甲、乙的起點和終點便可得出相應的函數圖像。

教師：根據畫出的函數圖像，我們可以發現兩條線段明顯有一個交點，你能說出這個交點所代表的實際意義嗎？

學生5：這個交點表示甲、乙兩人行駛一定時間后相遇了。

教師：同問題1 一樣，你能求出他們相遇的時間嗎？

學生6：可以應用待定系數法求出他們的函數表達式：y甲=60x、y乙=480-80x。由于y表示他們離A 地的距離，當他們相遇時，他們離A 地的距離相等，因此y甲=y乙，故60x=480-80x，解得x=所以他們行駛小時相遇。

變式2在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，你還能畫出相應的函數圖像嗎？

學生小組交流展示，畫出相應的函數圖像，如圖3。

教師：哪位同學來分享一下你畫出這個函數圖像的經驗呢？

學生7：我在畫這個函數圖像時主要是先確定幾個關鍵點，然后通過這幾個關鍵點來確定函數圖像：首先，由于y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時）表示他們行駛的時間，因此出發前的點坐標為（0，480）；其次是相遇點，相遇時他們之間的距離為0，因此相遇點為再次，當乙到達A時，點坐標為（6，360）；最后，甲到達B時，點坐標為（8，480）。將這些點用線段連接便可得函數圖像。

教師：通過問題1 及變式1、變式2 的學習，我們可以發現問題的主題干基本沒變，但坐標軸所代表的意義發生了改變，導致函數圖像也發生了較大的變化，據此你能獲得什么樣的學習經驗？

學生8：坐標軸所代表的實際意義不同，函數圖像便不同，因此在解決此類問題時，我們要關注橫、縱坐標所代表的實際意義，同時還需要關注一些關鍵點。

教師：解決一次函數中的行程問題，我們需要：①弄清橫、縱坐標軸所代表的意義；②弄清關鍵點所代表的實際意義。

【教學反思】問題初探環節是教師在問題1的基礎上，借助變式教學，讓學生發現同樣的問題情境，只是由于坐標軸所代表的意義發生了變化，函數圖像也會發生變化，從而突出“核心知識”——橫、縱坐標所代表的實際意義，加深學生對“核心知識”的理解，積累學習經驗——解決一次函數中的行程問題要弄清橫、縱坐標所代表的實際意義，為后續的深入學習打下堅實的基礎。

2.變式拓展，提升經驗。

變式3甲、乙兩人從相距120 千米的A、B兩地同時同向出發，往C地方向前行。甲駕車，乙騎行。當甲追上乙后，將一重要文件交予乙，并立即返回B處。乙繼續騎行到達C地。如圖4是他們行駛過程中的函數圖像，其中y（千米）表示甲、乙兩人的距離，x（小時）表示他們行駛的時間。你能根據圖像得到哪些信息呢？

教師：變式3與變式2有何不同？

學生9：本題與變式2相比，坐標軸所代表的意義以及函數圖像的形狀基本沒變，只是數據上稍有變化，但他們的運動方式卻發生了變化，變式2 中他們是相向運動，而變式3 中他們是同向運動。

教師：由此可見，同樣的圖像，表達的意義卻發生了較大的變化，這主要歸結于物體運動的方式發生了較大的變化，因此我們在審題時還需要關注物體運動的方式。

教師：那么結合圖像，你能獲得哪些信息呢？

學生10：結合題意及坐標軸所代表的實際意義，由點（0，120）可知A、B兩地相距120千米。

學生11：由點（2，0）我發現甲追上乙用了2小時，畫線段圖表示為如圖5。由點可知甲從兩人相遇處回B 地，用時小時，此時甲、乙相距80 千米，線段圖表示為如圖6。由點（4，120），再結合點可知乙又用小時走了40 千米到達C 地，因此乙的速度為30千米/小時，B、C兩地相距120千米。

學生12：因為甲2 小時追上乙，因此甲2 小時行駛了120+2×30=180 千米，故甲的速度為90千米/小時。

教師：通過以上學習，同學們有何學習經驗要與大家交流？

學生13：我覺得解決一次函數中的行程問題，可以從兩個方面入手：審題干，弄清物體運動的方式，弄清橫、縱坐標軸所代表的意義；審圖，弄清圖像的歸屬，弄清關鍵點所代表的實際意義。

【教學反思】變式拓展環節是教師通過變式3 的教學，讓學生發現，雖然坐標軸所代表的意義沒有發生變化、函數圖像沒有發生變化，但由于物體運動的方式發生了變化，函數圖像所反映出的實際意義也會發生較大的變化，拓寬了學生的認知，突出了核心知識——物體運動的方式、關鍵點所代表的實際意義，從而使學生初步形成解決一次函數中的行程問題的基本數學活動經驗，即要關注物體運動的方式、關鍵點所代表的實際意義。

3.拓寬提升，形成方法。

變式4在變式3 的基礎上，如果只將圖4中的4 小時刪去，其他條件不變，如圖7，你能求出甲、乙的速度嗎？

學生14：設甲的速度為x 千米/小時，乙的速度為y 千米/小時。根據函數圖像，結合前面的分析以及圖5、圖6，可得方程組解這個方程組，得所以甲的速度為90千米/小時，乙的速度為30千米/小時。

教師：通過變式4 的學習，你又有什么樣的學習經驗要與大家分享呢？

學生15：我們在解決一次函數中的行程問題時，有時需要借助畫線段圖來進行綜合分析，有時還需要利用方程思想來解決問題。

教師：通過這堂課的學習，你對解決一次函數中的行程問題有何看法？

學生交流研討，教師總結板書，給出解決一次函數中的行程問題的基本策略。

【教學反思】教師通過變式4 的教學，讓學生更加全面、深刻地看到解決此類問題的全貌，形成解決此類問題的基本策略，為學生今后解決一次函數中的行程問題積累經驗，提升學生分析和解決此類問題的能力。

縱觀以上教學過程，教師是根據學生的學情把握好教學的邏輯起點，采用變式教學的策略，突出解決問題的核心方法，教學設計由淺入深，環環相扣，讓學生經歷直觀、推理、類比、歸納、概括等思維過程，使學生的思維品質得到進一步的提高。