基于多元統(tǒng)計(jì)法的槍械閉鎖機(jī)構(gòu)公差分析方法

朱偉俊，方 峻

(南京理工大學(xué), 南京 210094)

零件制造質(zhì)量由設(shè)計(jì)公差和制造公差共同決定，影響成品的幾何特征和功能特征。工程師通常需要選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)描述公差，這樣，一方面可以根據(jù)設(shè)計(jì)圖估計(jì)公差，另一方面，公差可以分配到設(shè)計(jì)圖的每個(gè)部分，以滿足目標(biāo)公差要求[1]。傳統(tǒng)上，公差建模主要有兩種類(lèi)型：極值法和概率統(tǒng)計(jì)法[2-3]。概率統(tǒng)計(jì)法通過(guò)考慮公差的分布來(lái)校核或設(shè)計(jì)公差，從而使每個(gè)公差都與其對(duì)應(yīng)的分布相關(guān)聯(lián)。通過(guò)統(tǒng)計(jì)規(guī)則對(duì)相關(guān)公差進(jìn)行總結(jié)，可以實(shí)現(xiàn)公差的傳播。統(tǒng)計(jì)分析模型描述了對(duì)目標(biāo)公差分布范圍的估計(jì)，而不是計(jì)算極值法中描述的極值[4]。本文在槍械尺寸鏈設(shè)計(jì)中引入了一種新的基于統(tǒng)計(jì)變量的公差建模方法，以及在該模型上進(jìn)行公差合成操作。基于統(tǒng)計(jì)規(guī)則建立的公差模型，不僅適用于公差估計(jì)，而且也適用于公差分配。

目前，我國(guó)自動(dòng)武器行業(yè)在實(shí)際加工和裝配中，很難達(dá)到預(yù)定的設(shè)計(jì)目標(biāo)，往往要通過(guò)“人工修銼”，即通過(guò)手工修配不合格零件尺寸，以達(dá)到最終產(chǎn)品的總裝合格[5]。“人工修銼”嚴(yán)重影響輕武器的生產(chǎn)效率，降低了部件的互換性。增加了次品率。產(chǎn)品零部件之間的互換性差成為制約自動(dòng)武器產(chǎn)品設(shè)計(jì)、加工、裝配周期的一大難題。

在裝配過(guò)程中，產(chǎn)生大量修銼問(wèn)題的重要原因之一就是公差分配不合理。在我國(guó)，傳統(tǒng)的分析方法是以二維尺寸鏈圖為基礎(chǔ)的數(shù)值計(jì)算(如極值法、統(tǒng)計(jì)法)，以及設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行尺寸公差和形位公差的分析與分配[6-7]。同時(shí)自動(dòng)武器典型機(jī)構(gòu)的裝配尺寸鏈計(jì)算項(xiàng)目繁多，常規(guī)計(jì)算手段與分析方法計(jì)算效率低、工作量大、校核困難[8]。

1 理論分析

1.1 概率統(tǒng)計(jì)法

運(yùn)用極值法進(jìn)行尺寸鏈的計(jì)算時(shí)，是按照各組成環(huán)的極限尺寸進(jìn)行計(jì)算，即構(gòu)成封閉環(huán)的所有組成環(huán)同時(shí)達(dá)到最大極限尺寸或最小極限尺寸。但在實(shí)際制造中幾乎不可能出現(xiàn)工件的各個(gè)尺寸同時(shí)是極限尺寸的情況，所以封閉環(huán)出現(xiàn)極值的概率也極小。因此，采用概率論的原理從各組成環(huán)的實(shí)際分布特性出發(fā)，所得的封閉環(huán)公差更合理、更符合實(shí)際。在大批量的生產(chǎn)制造中，傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計(jì)法假定各組成環(huán)尺寸都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，這樣就可以應(yīng)用正態(tài)分布理論來(lái)進(jìn)行公差分析。通過(guò)大量的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，任何組成環(huán)都有以下兩個(gè)重要參數(shù)：

1) 平均尺寸，表示實(shí)際尺寸的集中分布位置；

2) 標(biāo)準(zhǔn)差，表示實(shí)際尺寸的分布相對(duì)于算術(shù)平均值的離散程度。

圖1是依據(jù)正態(tài)分布原理繪制的尺寸誤差分布圖。

其中，橫坐標(biāo)表示尺寸偏差范圍，縱坐標(biāo)表示在此偏差范圍內(nèi)的概率密度。Tm表示極值法所求得的極限尺寸公差；Tg表示概率統(tǒng)計(jì)法所求的處于±3σ內(nèi)的尺寸公差，顯然Tm>Tg。

統(tǒng)計(jì)概率計(jì)算法基本方程為：

(1)

2) 封閉環(huán)的方差σx為：

(2)

概率統(tǒng)計(jì)法相比極值法來(lái)說(shuō)考慮了實(shí)際加工情況，既能在裝配時(shí)確保大數(shù)互換又可以降低加工制造精度，降低成本提高效率。

傳統(tǒng)的公差統(tǒng)計(jì)方法多采用蒙特卡羅模擬方法[9-10]，并將統(tǒng)計(jì)規(guī)則應(yīng)用于公差估計(jì)。本文運(yùn)用了一種新的統(tǒng)計(jì)公差幾何模型，將傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)公差分析中復(fù)雜的解析計(jì)算分解為一系列簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算，而不失去固有的統(tǒng)計(jì)意義。

首先使用多元統(tǒng)計(jì)模型來(lái)表示或近似系統(tǒng)中單個(gè)部件的公差分布，該模型與描述零件特征的多個(gè)維度相關(guān)聯(lián)。對(duì)于置信值，可以確定一個(gè)描述公差區(qū)域的幾何區(qū)域，這些區(qū)域通常被橢圓或橢球所包圍。可以在統(tǒng)計(jì)模型上進(jìn)行一系列操作，使來(lái)自不同部分的幾何區(qū)域可以聯(lián)系起來(lái)，公差可以沿著公差圖傳播。此外還可以從高自由度表示中提取低自由度信息的方法，以便于公差估計(jì)。新模型不僅能采用統(tǒng)計(jì)法計(jì)算公差，而且還考慮了尺寸之間的相關(guān)性，并對(duì)傳統(tǒng)的尺寸公差帶定義了幾何形狀。

1.2 多元統(tǒng)計(jì)分析[11]

在這一部分，使用多元正態(tài)分布來(lái)近似公差的分布，并且使用χ2分布來(lái)生成公差的幾何表示。

假設(shè)存在一個(gè)n維向量μ，μ∈Rn，并假定各自由度之間的相關(guān)性由協(xié)方差矩陣ξ來(lái)表示。可以用多元正態(tài)分布來(lái)表示向量正態(tài)分布的不確定性區(qū)域.用一個(gè)概率密度函數(shù)來(lái)描述這個(gè)區(qū)域，若給出變量x的μ和σ的估計(jì)值。則可由下式求得：

(3)

其中x服從xN的正態(tài)分布，則可以得到多元正態(tài)分布服從χ2分布：

(4)

1.3 多元正態(tài)分布的可加性

對(duì)于具有多元正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，具有以下性質(zhì)：

1)X的分量的線性組合是正態(tài)分布;

2)X的分量的所有子集有一個(gè)(多元)正態(tài)分布;

3) 零協(xié)方差意味著相應(yīng)的分量是相互獨(dú)立的;

4) 分量的條件分布是(多元)正態(tài)的[11]。

以上4個(gè)多元正態(tài)分布的性質(zhì)為以下方差的傳遞與合成提供了理論依據(jù)。

如果已知尺寸公差數(shù)據(jù)，就可以很容易地得到協(xié)方差矩陣ξ。通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系的計(jì)算，可以得到構(gòu)成相關(guān)矩陣的隨機(jī)向量元素間的相關(guān)系數(shù)。

聯(lián)系到實(shí)際公差設(shè)計(jì)，根據(jù)多元概率統(tǒng)計(jì)法原理，二維尺寸公差分布的置信區(qū)域示意圖如圖2。

圖2 置信橢圓圖

在求得協(xié)方差矩陣后，運(yùn)用式(2)可得到二元統(tǒng)計(jì)分布的置信橢圓圖，橢圓內(nèi)包含的區(qū)域表示在在置信度水平1-α情況下的置信區(qū)域，坐標(biāo)點(diǎn)在給定的置信區(qū)域內(nèi)的概率為置信度，通常情況下按照6σ的制造標(biāo)準(zhǔn)，α取0.002 7。其中橢圓中心點(diǎn)代表待求未知量的均值。

如果尺寸A和B之間的相關(guān)系數(shù)為正，則尺寸A取概率極值時(shí)尺寸B也取概率極值；對(duì)比于尺寸A和B相對(duì)獨(dú)立的情況下尺寸A和B同時(shí)取極值的概率，顯然尺寸A和B成正相關(guān)的情況下的概率更大，所以成正相關(guān)的尺寸會(huì)使計(jì)算結(jié)果比傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)法偏大。反之負(fù)相關(guān)系數(shù)會(huì)使結(jié)果偏小。

在繪出零件的公差尺寸鏈圖并確定相關(guān)系數(shù)ρ后，可以預(yù)測(cè)到相對(duì)于傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)法的計(jì)算結(jié)果的大小：

1) 若公差尺寸鏈中只存在正相關(guān)尺寸，則二元統(tǒng)計(jì)公差計(jì)算結(jié)果會(huì)偏大；

2) 若公差尺寸鏈中只存在負(fù)相關(guān)尺寸，則二元統(tǒng)計(jì)公差計(jì)算結(jié)果會(huì)偏小；

3) 若公差尺寸鏈中同時(shí)存在正負(fù)相關(guān)尺寸，則計(jì)算結(jié)果相對(duì)大小都有可能。

2 公差合成

2.1 尺寸鏈串聯(lián)疊加

只要給出零件的尺寸公差的參數(shù)，可以得到二元統(tǒng)計(jì)分布的一般形式

P(x;μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)∝

(6)

其中:μ1、μ2為尺寸均值;σ1、σ2為方差;ρ為相關(guān)系數(shù)。

這種組合有兩個(gè)假設(shè)。一個(gè)是變量x和y在空間中使用相同的基準(zhǔn)坐標(biāo)系,另一個(gè)是變量x和y都有相同的自由度。如果滿足這些假設(shè)，就可以串聯(lián)公差。也就是將變量x和y的協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算。

然而在大多數(shù)情況下，在公差合成時(shí)既不能確保公差尺寸鏈圖不同的部分使用相同的基準(zhǔn)坐標(biāo)系，也不能確保它們有相同數(shù)量的自由度數(shù)。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)假設(shè)無(wú)效時(shí)，可以使用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換來(lái)調(diào)整；當(dāng)?shù)诙€(gè)假設(shè)無(wú)效時(shí)，可以使用簡(jiǎn)單的矩陣操作將所有變量x和y的協(xié)方差矩陣的自由度保持一致。

2.2 坐標(biāo)系變換

圖3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)置圖

因?yàn)榕c多個(gè)自由度相關(guān)的零件的公差可以用多元正態(tài)分布建模，因此可以利用坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)操作將兩個(gè)具有不同自由度基的公差區(qū)域串聯(lián)起來(lái)。坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)算保持了自由度的相關(guān)性，使得公差估計(jì)比傳統(tǒng)的分解方法更精確。

2.3 協(xié)方差矩陣的對(duì)位

當(dāng)將不同自由度數(shù)的兩個(gè)公差區(qū)域合成時(shí)，可以運(yùn)用一些矩陣的操作運(yùn)算將它們結(jié)合在一起。設(shè)P(X)～N(μx，ξx)有x個(gè)自由度，P(Y)～N(μy，ξy)有的y個(gè)自由度，其中x>y。假定P(X)和P(Y)使用相同的基集，即的基是的一個(gè)子集。串聯(lián)P(X)和P(Y)的過(guò)程可分3步完成。首先，將矩陣ξy重新排序?yàn)棣蝭1，使所用基的階與的階相同。其次，將矩陣ξy1擴(kuò)展到ξy2，使其具有與x相同的自由度數(shù)，空位上填充零，以便兩個(gè)矩陣的相應(yīng)行指示相同的自由度。最后，使用公差的串聯(lián)規(guī)則合并ξx和ξy2。由于這個(gè)運(yùn)算將P(Y)的基對(duì)位到相應(yīng)的P(X)基，所以稱(chēng)之為對(duì)位。

3 實(shí)例分析

閉鎖機(jī)構(gòu)是武器發(fā)射時(shí)關(guān)閉彈膛，承受火藥燃?xì)鈮毫Σ⒎乐购笠莸臋C(jī)構(gòu)。本文研究的是閉鎖機(jī)構(gòu)的裝配間隙量X，其中閉鎖機(jī)構(gòu)裝配產(chǎn)生的間隙會(huì)影響裝配的質(zhì)量，對(duì)自動(dòng)武器工作的可靠性和射擊準(zhǔn)確性都有重要的影響。圖4是閉鎖機(jī)構(gòu)的部分二維裝配示意圖，機(jī)構(gòu)由槍管、彈殼、槍機(jī)、節(jié)套等組成，其零件尺寸及公差如表1所示。

圖4 閉鎖間隙示意圖

表1 閉鎖機(jī)構(gòu)的零件尺寸及公差表

運(yùn)用二元統(tǒng)計(jì)公差的方法求解間隙X的公差。圖5是閉鎖間隙的公差尺寸鏈圖，圖中箭頭方向表示公差傳遞的方向。從公差X的左端點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行公差的逐級(jí)串聯(lián)。根據(jù)公式統(tǒng)計(jì)公差的分布規(guī)律有T=6σ，其中T是公差，σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。在已知各組成環(huán)的公差情況下，根據(jù)協(xié)方差矩陣的一般形式可以寫(xiě)出各組成環(huán)的具體協(xié)方差矩陣。

圖5 公差尺寸鏈圖

根據(jù)公差尺寸鏈的關(guān)系圖5得到a、b、d的協(xié)方差矩陣，并按照對(duì)位操作擴(kuò)展至二階，其中尺寸D1和D2/2的相關(guān)系數(shù)為-1，分別為：

C點(diǎn)的變動(dòng)范圍由角度公差所確定，T1=L(1-cosθ),T2=Lsinθ,T1為X軸方向的變動(dòng)范圍，T2為Y軸方向的變化范圍，σ1=T1/6,σ2=T2/6,ρ=1進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為協(xié)方差矩陣可得

可旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系使C點(diǎn)的坐標(biāo)系與其保持一致，根據(jù)矩陣的相關(guān)知識(shí)可以得到β=RTαR,其中α、β分別為為旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)系，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，θ為旋轉(zhuǎn)角度值，在本例中θ=D3/2

(7)

求得c點(diǎn)的協(xié)方差矩陣：

在得到a、b、c、d四點(diǎn)變化的協(xié)方差矩陣后，最后可由串聯(lián)規(guī)則將四點(diǎn)的協(xié)方差矩陣相加，求得總協(xié)方差矩陣為：

運(yùn)用矩陣的求逆矩陣的方法進(jìn)一步求得其逆矩陣為：

由公差尺寸鏈圖可得封閉環(huán)X計(jì)算式：

(8)

可求出X的公差為T(mén)= 0.493 133。

圖6是從Matlab程序中導(dǎo)出的間隙量X的置信橢圓圖，表示其在平面上尺寸的分布區(qū)域。

圖6 閉鎖間隙置信橢圓圖

閉鎖間隙置信橢圓圖的意義：傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)法求得的尺寸公差是一個(gè)封閉區(qū)間值，此置信區(qū)間相當(dāng)于是由封閉環(huán)一元正態(tài)分布在置信率99.73%的區(qū)域投影到X軸所求的；而對(duì)于二元正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)其置信率99.73%下所投影得到的是封閉橢圓區(qū)域，它表示尺寸值在封閉橢圓內(nèi)的合格率是99.73%。實(shí)際零件的封閉環(huán)尺寸在平面內(nèi)的變動(dòng)幾乎不會(huì)體現(xiàn)在一維直線上變化，顯然二元概率統(tǒng)計(jì)法的置信區(qū)間更具有代表性。

結(jié)合式(8)并運(yùn)用線性尺寸鏈統(tǒng)計(jì)公差的計(jì)算式(2)，可以求得T1=0.507 105。

4 結(jié)論

運(yùn)用二元統(tǒng)計(jì)公差的方法對(duì)閉鎖間隙進(jìn)行公差分析，在考慮到尺寸之間相關(guān)性的情況下求得的閉鎖間隙的公差值為0.493 133，對(duì)比概率統(tǒng)計(jì)公差的計(jì)算結(jié)果0.507 105，得到在相同的尺寸公差水平下，二元統(tǒng)計(jì)公差比一維統(tǒng)計(jì)公差小，如果要達(dá)到相同的封閉環(huán)公差，二元統(tǒng)計(jì)公差的計(jì)算方法要求的組成環(huán)公差寬松，加工經(jīng)濟(jì)性好。該方法的應(yīng)用有助于提高裝配成功率。