基于網(wǎng)上拍賣的共同價(jià)值托投標(biāo)分析*

陳紹剛，王 楠

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都 611731)

1 引 言

拍賣是一種通過公開競(jìng)價(jià)來決定拍賣物歸屬的買賣方式，拍賣作為一資源的有效分配方式，在相關(guān)機(jī)構(gòu)和集體的組織監(jiān)督下，在規(guī)定的時(shí)間地點(diǎn)根據(jù)約定好的競(jìng)價(jià)取得方式來交易拍賣物.

傳統(tǒng)拍賣理論根據(jù)對(duì)拍賣物實(shí)際價(jià)值的掌握程度以及私人價(jià)值的影響大小，將拍賣模型分成了3類：

1)獨(dú)立私有價(jià)值模型；競(jìng)標(biāo)者不知道拍賣物的實(shí)際價(jià)值，以對(duì)拍賣物的估值來最大化自己的收益為目的，根據(jù)其私人價(jià)值大小作為出價(jià)，而其他競(jìng)標(biāo)者的私人信息大小不改變?cè)摳?jìng)標(biāo)者對(duì)拍賣物的私人價(jià)值.私人價(jià)值拍賣在拍賣中是常見的，例如收藏的藝術(shù)品、唱片等帶有個(gè)人特色的拍賣物，競(jìng)標(biāo)者根據(jù)自己對(duì)該拍賣物的需求和喜好來進(jìn)行出價(jià).

2)共同價(jià)值模型；該拍賣物的實(shí)際價(jià)值對(duì)于每個(gè)競(jìng)標(biāo)者來說都是一樣的，但是競(jìng)標(biāo)者并不知道這個(gè)實(shí)際價(jià)值，競(jìng)標(biāo)者根據(jù)自己掌握的私人信號(hào)對(duì)其進(jìn)行估價(jià)，且在出價(jià)階段，競(jìng)標(biāo)者之間的私人信號(hào)大小會(huì)影響到競(jìng)標(biāo)者的估價(jià).共同價(jià)值拍賣常見于石油開采權(quán)、礦產(chǎn)權(quán)等情形的拍賣中，例如石油開采權(quán)的價(jià)值取決于地下石油儲(chǔ)量情況，以及競(jìng)標(biāo)者所擁有的儲(chǔ)量的信息，同時(shí)在拍賣中觀測(cè)到其他競(jìng)標(biāo)者的出價(jià)從而調(diào)整自己對(duì)石油儲(chǔ)量的估計(jì)，而動(dòng)態(tài)調(diào)整自己的估價(jià).

3)關(guān)聯(lián)價(jià)值模型；獨(dú)立私有價(jià)值模型和共同價(jià)值模型是關(guān)聯(lián)價(jià)值模型的特殊情況，在實(shí)際拍賣中，往往不是單一的獨(dú)立價(jià)值情況和共同價(jià)值拍賣情況，可能是兩者的結(jié)合，拍賣物的實(shí)際價(jià)值和競(jìng)標(biāo)者的私人價(jià)值共同影響競(jìng)標(biāo)者的出價(jià).例如地產(chǎn)、國債等的拍賣，不僅包含了個(gè)人的喜好還有拍賣物的市場(chǎng)價(jià)值的共同因素來進(jìn)行考量.

共同價(jià)值拍賣和私人價(jià)值拍賣都是根據(jù)競(jìng)標(biāo)者自身掌握的私人信號(hào)來對(duì)拍賣物的價(jià)值進(jìn)行估計(jì)，其不同點(diǎn)在于其他競(jìng)標(biāo)者的私人信號(hào)是否影響到自己的私人信號(hào)，共同價(jià)值拍賣在拍賣過程中會(huì)考慮其他競(jìng)標(biāo)者的私人信號(hào)大小，從而動(dòng)態(tài)調(diào)整自己的出價(jià)，而私人價(jià)值拍賣只考慮自己的私人信號(hào).

現(xiàn)代拍賣發(fā)展從線下延展到了線上，依托互聯(lián)網(wǎng)所搭建的平臺(tái)，使得傳統(tǒng)拍賣不再受制于時(shí)間、空間的限制，使得拍賣的覆蓋面和開放程度得到進(jìn)一步的提升.網(wǎng)上拍賣為不同地域的競(jìng)標(biāo)者提供了一個(gè)虛擬的拍賣場(chǎng)景，網(wǎng)站作為第三方監(jiān)管者，在此場(chǎng)景中遵循傳統(tǒng)拍賣的流程，競(jìng)標(biāo)者之間可能互不相識(shí)，甚至競(jìng)標(biāo)者對(duì)招標(biāo)商也不夠了解，拍賣物作為雙方唯一的交易和交流要件.除了網(wǎng)上拍賣的積極性以外，由于交易不是發(fā)生在同一空間中，競(jìng)標(biāo)者的身份很難去確定，而互聯(lián)網(wǎng)的隱蔽性和匿名性容易為不法分子所利用，使得拍賣中的欺詐行為更容易發(fā)生.網(wǎng)上拍賣存在的欺詐行為主要有托投標(biāo)、投標(biāo)屏蔽、多重投標(biāo)、共謀等行為.托投標(biāo)是招標(biāo)商為了抬高商品的價(jià)格將自己偽裝成一個(gè)合法的競(jìng)標(biāo)者，從而引誘誠實(shí)競(jìng)標(biāo)者做出更高的報(bào)價(jià).招標(biāo)商的托投標(biāo)行為的發(fā)生時(shí)間點(diǎn)不定，可能發(fā)生于拍賣剛開始，起到推廣的作用來吸引更多的投標(biāo)商參與，或是拍賣過程中觀測(cè)到投標(biāo)商的競(jìng)價(jià)達(dá)不到最優(yōu)保留價(jià)格水平，招標(biāo)商就可能提交與最優(yōu)保留價(jià)水平相一致的“托”出價(jià)[1-4].Nikitkov A等指出，競(jìng)標(biāo)者和網(wǎng)站第三方監(jiān)測(cè)者都很難意識(shí)到有托投標(biāo)的發(fā)生，從而如何去保障網(wǎng)上拍賣的公平性也是值得商榷的[5].

網(wǎng)上拍賣依托互聯(lián)網(wǎng)的構(gòu)建，在傳統(tǒng)拍賣的基礎(chǔ)上對(duì)其經(jīng)濟(jì)實(shí)用性進(jìn)行了延伸.杜黎等證明了在個(gè)人價(jià)值獨(dú)立環(huán)境下，競(jìng)標(biāo)者以真實(shí)估價(jià)作為自己的報(bào)價(jià)，且一到達(dá)就報(bào)價(jià)是最優(yōu)投標(biāo)策略，于是可以假定參與拍賣的均是誠實(shí)的競(jìng)標(biāo)者[6]；陳紹剛等基于網(wǎng)上拍賣的競(jìng)標(biāo)者隨機(jī)到達(dá)，投標(biāo)間隔不均勻等特點(diǎn)，利用非齊次泊松過程近似投標(biāo)者的到達(dá)[7]；陳勝利認(rèn)為采取英式拍賣方式，能夠使得招標(biāo)商和競(jìng)標(biāo)者的期望收益達(dá)到一個(gè)合理的平衡[8]；王宏認(rèn)為在多單位網(wǎng)上拍賣中，招標(biāo)商的最優(yōu)策略是在開始時(shí)設(shè)定低的托投標(biāo)價(jià)格，之后再動(dòng)態(tài)調(diào)整托投標(biāo)至最優(yōu)水平[9].

誠實(shí)的競(jìng)標(biāo)者報(bào)價(jià)所透露出的價(jià)值信息，使得招標(biāo)商能夠估計(jì)拍賣形式，偽裝成競(jìng)標(biāo)者參與拍賣.在共同價(jià)值拍賣中，個(gè)人所掌握的有關(guān)拍賣物的信息是至關(guān)重要的，它直接影響到了其他競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià).金忻指出由于競(jìng)標(biāo)者掌握的信息不完全，所以在拍賣中會(huì)出現(xiàn)贏者詛咒的現(xiàn)象[10].贏者詛咒是指競(jìng)標(biāo)者根據(jù)已有的信息錯(cuò)誤估計(jì)了拍賣物的實(shí)際價(jià)值，使得最終支付價(jià)格高于拍賣物的實(shí)際價(jià)值，得到了負(fù)收益，這也是共同價(jià)值拍賣不同于獨(dú)立私人價(jià)值拍賣的最重要的一點(diǎn)，競(jìng)標(biāo)者的信息會(huì)隨著其他競(jìng)標(biāo)者的信息發(fā)生改變[11].Kosmopoulou等基于托出價(jià)的基礎(chǔ)上證明了投標(biāo)者在意識(shí)到可能存在托投標(biāo)行為時(shí)，拍賣的平均利潤會(huì)減少[12].Porter等得到了關(guān)于第一價(jià)格密封拍賣和第二價(jià)格密封拍賣時(shí)針對(duì)托出價(jià)存在時(shí)的投標(biāo)策略[13].在實(shí)際共同價(jià)值拍賣中，競(jìng)標(biāo)者所獲得的信息一般是不對(duì)稱的，而正是因?yàn)樾畔⒉粚?duì)稱，競(jìng)標(biāo)者在進(jìn)行報(bào)價(jià)時(shí)很容易受到其他競(jìng)標(biāo)者報(bào)價(jià)的影響，而重新估計(jì)自己所獲得的關(guān)于拍賣物的信息.賀孟利用博弈論和擾動(dòng)理論分析方法，量化了競(jìng)標(biāo)者的信息不對(duì)稱對(duì)共同價(jià)值拍賣的影響[14].Bergemann等利用信息不對(duì)稱在第一價(jià)格拍賣中的貝葉斯均衡，得出競(jìng)標(biāo)者的期望收益收到其他競(jìng)標(biāo)者的信息和估值影響，當(dāng)其他競(jìng)標(biāo)者出價(jià)減少時(shí)，競(jìng)標(biāo)者的期望收益降低，當(dāng)其他競(jìng)標(biāo)者的估值增加時(shí)，期望收益增加[15].

本文主要討論共同價(jià)值拍賣模型下可能存在的招標(biāo)欺詐行為.在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，建立信息不對(duì)稱條件下的共同價(jià)值拍賣模型.競(jìng)標(biāo)者對(duì)于拍賣物的共同價(jià)值擁有的信息大小差異，在觀測(cè)到其他競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià)時(shí)可能會(huì)調(diào)整自己的私人信號(hào)，從而導(dǎo)致贏者詛咒的發(fā)生，而競(jìng)標(biāo)者的人數(shù)可能會(huì)影響贏者詛咒的發(fā)生概率.此外，建立共同價(jià)值拍賣模型的期望收益數(shù)學(xué)模型，在招標(biāo)商可能存在的托投標(biāo)欺詐行為情況時(shí)，為競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià)提供理論指導(dǎo)，調(diào)整競(jìng)標(biāo)者的均衡競(jìng)價(jià)策略.

2 模型假定

假定有一個(gè)招標(biāo)商通過網(wǎng)上拍賣銷售一個(gè)單位的不可分割的物品，考慮共同價(jià)值下的拍賣模型.有n位誠實(shí)的投標(biāo)商參與此次拍賣，招標(biāo)商有P概率以托投標(biāo)的方式參與到此次拍賣中.

(1)

3 贏者詛咒

故對(duì)任意v，即E(v+ei)=v+E(ei)>v，則在此條件下，無論噪音信號(hào)的取值為多少，競(jìng)標(biāo)者對(duì)于拍賣物實(shí)際價(jià)值v的估計(jì)都會(huì)高于實(shí)際價(jià)值，即存在贏者詛咒的可能性很大.

競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià)bi(Si)=αSi，其中α為競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià)為私人信號(hào)的部分，若存在贏者詛咒：

解得：

贏者詛咒常發(fā)生于市場(chǎng)不完全、信息不對(duì)稱的情形，競(jìng)標(biāo)者所掌握的信息不同，掌握信息的競(jìng)標(biāo)者往往能利用其所擁有的信息優(yōu)勢(shì)來得到拍賣物，而對(duì)于掌握信息不足的競(jìng)標(biāo)者來說，只能根據(jù)其他主體的行為對(duì)拍賣物的共同價(jià)值進(jìn)行判斷.例如在原油拍賣中，原油的含量是一定的，所以該拍賣對(duì)于所有競(jìng)標(biāo)者的共同價(jià)值是相同的，而在拍賣結(jié)束后的調(diào)查，達(dá)到77%的拍賣案例中，中標(biāo)價(jià)格高于次高價(jià)格至少兩倍，超過半數(shù)的拍賣是不盈利的，甚至達(dá)到了虧損.這就是共同價(jià)值拍賣中，競(jìng)標(biāo)者不是完全理性的，競(jìng)標(biāo)者常常過高估計(jì)其余競(jìng)標(biāo)者的私人信號(hào)，出價(jià)過高.

4 共同價(jià)值下的均衡競(jìng)價(jià)策略

定理1競(jìng)標(biāo)者其私人信號(hào)Si的分布函數(shù)為

(2)

(3)

由分布函數(shù)與密度函數(shù)的性質(zhì)，解得：

定理2競(jìng)標(biāo)者獲勝時(shí)得到最大期望收益的報(bào)價(jià)為

(4)

證明競(jìng)標(biāo)者1獲勝時(shí)的期望收益為

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

綜上，競(jìng)標(biāo)者獲勝的均衡競(jìng)價(jià)策略為

在共同價(jià)值拍賣中，由于競(jìng)標(biāo)者對(duì)于拍賣物的信息獲得是不對(duì)稱的，同時(shí)競(jìng)標(biāo)者之間的出價(jià)也會(huì)影響自己的私人信號(hào)，從而影響到自己的均衡報(bào)價(jià)和贏標(biāo)者的最終收益，于是通過期望收益最大理論建立競(jìng)標(biāo)者出價(jià)及其收益的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)參與競(jìng)標(biāo)的人數(shù)，以及自己的私人信號(hào)大小和拍賣物的實(shí)際價(jià)值大小，考慮估價(jià)的范圍，從而得到最優(yōu)均衡策略.

5 存在托投標(biāo)情況下的均衡競(jìng)價(jià)策略

對(duì)于誠實(shí)的競(jìng)標(biāo)者來說，在拍賣中獲勝的條件是滿足Si>S-i，所有競(jìng)標(biāo)者的私人信號(hào)都是根據(jù)其確定的私人價(jià)值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來決定的.而對(duì)于托投標(biāo)行為的發(fā)生來說，存在兩種情況：①托投標(biāo)的私人信號(hào)獲勝，從而拍賣結(jié)束，無誠實(shí)競(jìng)標(biāo)者獲得拍賣物，招標(biāo)商的收益為負(fù)；②誠實(shí)競(jìng)標(biāo)者獲勝，托投標(biāo)的私人信號(hào)在其中作為干擾信號(hào)，但不影響最高的私人信號(hào)的出現(xiàn)，拍賣結(jié)束，招標(biāo)商獲得一定的收益.本文不考慮第一種情況，認(rèn)為托投標(biāo)的發(fā)生推動(dòng)了拍賣的產(chǎn)生，但是最終拍賣物由誠實(shí)的競(jìng)標(biāo)者獲得.

定理3在以P概率的可能出現(xiàn)托投標(biāo)的情況下，競(jìng)標(biāo)者的均衡競(jìng)價(jià)策略為：當(dāng)有P概率出現(xiàn)托投標(biāo)的情形時(shí)，參與拍賣人數(shù)由n人變?yōu)閚+1人，假定誠實(shí)競(jìng)標(biāo)者1獲勝，贏得拍賣物.

證明競(jìng)標(biāo)者1獲勝時(shí)的期望收益為

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

特例當(dāng)P=1時(shí)，競(jìng)標(biāo)者有充分的理由相信招標(biāo)者存在托投標(biāo)的行為，且招標(biāo)商的托投標(biāo)行為發(fā)生在后期的競(jìng)標(biāo)中，解得競(jìng)標(biāo)者的均衡競(jìng)價(jià)策略為

在存在托投標(biāo)的情況下，考慮招標(biāo)者的參與增加了競(jìng)標(biāo)者的人數(shù)，而招標(biāo)者的報(bào)價(jià)也是在合理范圍內(nèi)，只是為了促進(jìn)更高的出價(jià)，競(jìng)標(biāo)者的私人信號(hào)大小和拍賣物的實(shí)際價(jià)值大小共同影響競(jìng)標(biāo)者的出價(jià)，考慮贏標(biāo)者的估價(jià)范圍而得到最優(yōu)均衡策略.

6 結(jié) 論

現(xiàn)有文獻(xiàn)大多討論發(fā)生在私人價(jià)值拍賣模型下的托投標(biāo)行為對(duì)競(jìng)標(biāo)者、招標(biāo)商的期望價(jià)值影響，私人價(jià)值拍賣模型中競(jìng)標(biāo)者之間的報(bào)價(jià)函數(shù)是服從同一分布且相互獨(dú)立的.本文著眼于共同價(jià)值拍賣模型下的托投標(biāo)研究，雖然實(shí)際價(jià)值對(duì)于每一個(gè)競(jìng)標(biāo)者都是相同的，但是由于私人信息的不同會(huì)造成競(jìng)標(biāo)者對(duì)于拍賣物的估價(jià)發(fā)生變化，于是通過求解私人信號(hào)在不同的取值范圍內(nèi)的競(jìng)標(biāo)者的報(bào)價(jià)函數(shù)，從而得到競(jìng)標(biāo)者的最優(yōu)競(jìng)價(jià)策略.

贏者詛咒常發(fā)生于共同價(jià)值拍賣中，贏者詛咒的發(fā)生于參與投標(biāo)的人數(shù)有關(guān)，參與競(jìng)標(biāo)的人數(shù)越多，贏者詛咒發(fā)生的概率也越大；而競(jìng)標(biāo)者的估價(jià)與其私人信號(hào)的報(bào)價(jià)部分有關(guān)，私人信號(hào)的部分報(bào)價(jià)比例越高，發(fā)生贏者詛咒的概率也就越大.

托投標(biāo)是招標(biāo)商通過偽裝成合法的競(jìng)標(biāo)者參與拍賣，而托投標(biāo)發(fā)生的時(shí)間可能在拍賣前期、中期、后期，于是在不同的時(shí)間點(diǎn)上，招標(biāo)商抬高報(bào)價(jià)，這個(gè)報(bào)價(jià)會(huì)影響競(jìng)標(biāo)者的出價(jià).利用博弈理論和期望最大化理論，建立共同價(jià)值拍賣模型，從而求解在不同情況下的競(jìng)標(biāo)者獲勝的最優(yōu)競(jìng)價(jià)策略.