高頻數據連續部分杠桿效應的估計*

肖鴻民，康宏亮

(西北師范大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

Bollersler等(2006)[1]利用5分鐘股票樣本找到了波動率與股票對數價格的負相關關系.Jacod和Tadoror(2010)[2]在有限的增量前提下,利用瞬時波動率估計作為中間變量,對杠桿效應進行了研究.Wang和Mykland(2014)[3]在連續時間條件下定義了杠桿效應并對之進行了非參數估計,然而只是在連續時間下進行討論,并未對非連續時間情況進行說明.Vetter(2015)[4]基于瞬時波動率估計量的增量,對積分波動率的波動進行了非參數估計.Xiu和 Kalnina(2015)[5]采用相似的方法,用自己定義的函數來代替波動率過程,然而,這種方法的最大問題在于所選函數不能有效模擬波動過程,尤其是在市場微觀結構噪聲的影響下.Eraker(2003)[6]對非連續時間下的杠桿效應進行了討論.但這種方法對于跳躍過程的假設有時并不恰當。Bandi 與 Reno′(2012)[7]在文中提及了“co-jump leverage”,但并未對“co-jump leverage”的估計進行證明.

目前對杠桿效應的檢測性研究相對成熟,對杠桿效應的度量方面的研究正處于探索階段,如何估計杠桿效應已成為很有意義的研究課題.運用估計方法來量化一般連續時間情況下的杠桿效應(CLE),結合概率極限、隨機過程理論、臨近窗口和向下截斷思想構造了連續部分杠桿效應(CLE)估計量,說明了該估計量的相合性和漸近正態性,并給出了證明.

2 跳-擴散模型的建立和杠桿效應的定義

2.1 跳-擴散模型的建立

定義在概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的對數資產價格過程(Xt)t≥0和波動率過程(σt)t≥0滿足如下的It半鞅過程

(1)

(2)

(c)所有的樣本路徑

2.2 杠桿效應的定義

(3)

(4)

(5)

3 CLE估計量的構造

假定數據是等間隔Δn=T/n觀測的,且沒有測量誤差的存在,包含所有觀測時間點的所有分割如下

(6)

尋找一列窗口kn,kn為整數.對正常數K,滿足

(7)

令

4 CLE估計量的相合性

定理1假定

(a)X是連續的并且σ2的跳躍部分有有限的總變差，

(b)式(1)、式(2)和式(7)的假設成立.

當(a)，(b)成立時,則有

5 CLE估計量的漸近正態性

(a)X是連續的并且σ2的跳躍部分有有限的總變差,

(b)式(1)和式(2)的假設成立.

當(a),(b)成立時,有

其中B是標準wiener過程且與F獨立,且

6 定理的證明

將波動率過程表述為

(9)

定理2的證明如下.

首先,證明截斷誤差和離散誤差依概率收斂到零, 而波動率誤差依概率收斂到極限過程.

因為

不難證明

考慮函數F(xi,xj)=xi(xj)2和如下的向量：

當r<1,m=s=1,s′=p′=2,對l=1,2,

第三步證明

由Cauchy-Schwardz 不等式

第四步定義

根據連續性條件, 得

并且

上式右邊第一項為Op(knΔn).對于第二項, 當j>r時, 根據連續性條件, 可得

接下來證明

進一步, 令

易證得

因此, 根據連續性條件得

四階矩的計算比較繁瑣, 只給出部分結果，并省略這些結果的計算過程.

=KtΔn→0,

當M=W或M=B時, 根據連續性條件, 可得

因此, 結論已成立.

基于這些結果,可得

定理 1 的證明

7 結 論