基于最大剪應力理論的本構模型推導

陳燁開，馬雷鳴

(安徽理工大學 土木建筑學院，安徽 淮南 232001)

0 前 言

大量的工程實踐表明，地下巖石工程中常發生循環加卸載作用，如道路橋梁等。巖石受到循環加卸載的作用，其力學性質將會產生變化，是影響工程長期穩定性的重要元素，因此，提高巖石穩定性的關鍵是精確的損傷本構模型。

許多學者在巖石循環加-卸載試驗、本構關系等方面都取得了豐碩的研究成果[1-6]。曹文貴等[7-9]研究基于Weibull公式對巖石的損傷模型，將統計強度理論和連續損傷理論結合起來，在巖石本構模型的研究方面得到了重大進展。

本文根據巖石微元強度理論服從最大剪應力理論，從Weibull 隨機分布的特點出發，建立出能夠表現出分等級加卸載的本構模型。由于本構模型中代表巖石的微元強度的參數包含損傷變量，致使損傷變量中包含損傷變量使得本構無法擬合，本文對本構模型進行等式變換，消去巖石微元強度和損傷變量表達式中的損傷變量，進一步把本構關系變換成簡單的冪函數，彌補了非線性曲線擬合初值不易選取的缺點。

1 巖石本構模型

1.1 本構模型的建立

依據Lemaitre理論[1]，得出巖石損傷本構模型的基本關系式為：

(1)

假設微元的總數為N，發生破壞的微元數為N1,定義損傷變量D為N1與N的比值。D的范圍為0～1，D為0時未發生破壞，D為1時巖石完全破壞。根據 Weibull 分布損傷變量D的表達式為[9]：

(2)

1.2 微元強度的確定

目前，巖石力學研究中采用多種表現形式的破壞準則，曹文貴等[9]以Drucker-Prager、Coulomb-Mohr作為巖石的強度準則,這種研究方法有參數物理意義明確優點，但巖石在復雜應力狀態下的性狀研究的不夠，這些理論不能無條件地適用。在單向試驗中，試件表面出現了與桿軸大約成45°角的斜線。因為最大剪應力發生在與桿軸成45°角的斜面上，這些條紋是材料內部晶格間的相對剪切的結果。一般認為這種晶格的錯動是產生塑性變形的根本原因，得出最大剪應力決定材料的破壞。最大剪應力準則這一理論對于解決塑性巖石的問題給出了滿意的結果，筆者確定了基于最大剪應力破壞準則的巖石微元強度為：

(3)

1.3 單軸作用下巖石本構關系

天然材料的巖石內部存在著一定的先期損傷，其內部強度并不完全相同，而是呈隨機分布。損傷力學認為巖石材料在加載過程中，損傷是一個連續的過程，做出以下假設。

1)假設巖石斷裂前是線彈性體。

2)巖石材料服從各向同性假設。

3)假設巖石各微元破壞服從Weibull分布，其概率密度函數為[9]：

(4)

式中，F為巖石的微元強度；F0與巖石平均宏觀強度有關，m與巖石微元分布集中程度有關，反映了巖石材料的力學性質。將式(4)代入式(1)、(2)可得單軸加卸載損傷本構模型為:

(5)

(6)

(7)

(8)

B=F0An

(9)

2 結 論

假設巖石微元強度服從最大剪應力理論和微元破壞服從Weibull的概率公式，建立一種能夠描述巖石在循環加卸載狀態下的本構模型，對本構的等式變換消去損傷變量和巖石微元強度表達式里的損傷變量，得到采用應力、應變、彈性模量等參數表示的關于損傷變量和巖石宏觀強度的表達式。

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