初中數學教學數形結合思想應用實踐

黃明

摘 要：“數”與“形”是數學領域兩大研究主題，“數”就是數量關系，準確、可操作、易于掌握，“形”則是空間形式，生動、直觀、易于理解.數形結合可以把二者進行轉化統一，從而達到認識數學本質的效果.

關鍵詞：數變形;觀察討論;形變數

一、數變形，直觀發現數的關系

在數學學習的過程中，有些數量關系十分抽象，學生難以理解，而圖形的優點就是直觀、形象.考慮到數與形本來就存在一種對應關系，我們可以把“數”轉換成“形”，利用圖形解決有關數量的問題.

例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.

【教學片段一】

師：題目中給出的式子，你是如何理解的？這個式子又為何會有最小值呢？

生1：這個式子表示的是三個絕對值運算的和，由于式子中含有未知數x，x每取一個值這個式子就會有一個值與它相對應，所以式子的值是可以變化的，在變化過程中存在一個最小值.師：非常好，你的分析十分到位.怎樣研究這個最小值呢？我們先從簡單的入手.（把難題分解成一個個小問題，由易及難，一步步解決）師：|x+1|有最小值嗎？最小值是什么？此時x的取值是什么？

生2：由于絕對值運算具有非負性，即|m|≥0，所以|x+1|≥0，易知|x+1|的值最小是0，此時x=-1.師：（追問）是的，沒錯，絕對值運算的結果都是非負數，這是什么原因呢？生2：絕對值代表的是一段距離，是兩個點之間的距離，如|-2|就是-2到原點的距離，|m|就是m到原點的距離，師：這是絕對值的定義，你記得真清楚，給你點贊！那么|x+1|可以看成兩點之間的距離嗎？是哪兩個點之間的距離呢？（引導學生從幾何角度思考問題，為下面揭示數形結合思想做鋪墊）

生3：可以看成x到-1的距離.師：（追問）什么情況下x到-1的距離最短呢？生3：x與-1重合的時候距離最短，最短距離是0.師：很好，這是我們從幾何的角度對|x+1|的最小值進行的分析，下面難度升級，我們進一步討論|x+1|+|x-2|的最小值.

生4：|x+1|+|x-2|的最小值就是x到-1的距離與x到2的距離之和的最小值.師：看來你想從幾何角度解決這個問題，那這個最小值該怎么研究呢？老師給出一個小提示，還記得我們的老朋友“數軸”嗎？認真思考一下，在學習小組中交流自己的想法.

生5：可以借助數軸，在數軸上找到-1、2的位置，記為點A、B，而x由于可以取不同的值，所以x可以看成一個動點C，可以取數軸上的任意點.師：你的想法太好了！大家自己動手按照這個思路畫一畫數軸，標出-1和2的位置，觀察在x變化過程中，動點落在哪個位置時式子的值最小，并與同桌交流一下你的想法.學生自己動手操作，經歷畫圖、觀察、討論的過程，借助圖形分析數量的變化.

生6：根據數軸分析A、B兩個定點及動點C，發現當點C落在點A、B間任意位置時，點C到點A、B的距離之和都等于點A與B之間的距離3，而當動點C落在點A的左邊和點B的右邊的位置時，點C到點A、B的距離之和都大于3.因此|x+1|+|x-2|的最小值就是-1與2的距離3.師：大家也是這樣思考的嗎？我們一起來給這位同學鼓鼓掌，講得真好！師：有沒有同學從代數角度思考呢？學生沉默.師：看來從代數角度出發的同學都遇到了困難，難以找到思路，而當我們換一個角度，把數變形之后，從幾何角度出發，思路就很清晰了.師：接下來，我們就進行最后一步的研究，|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是什么呢？你們有什么想法？生7：還是從幾何角度入手，把-1、2、3看成定點A、B、C，x是動點D，|x+1|+|x-2|+|x-3|就是動點D到定點A、B、C的距離之和，在數軸上表示出定點的位置，觀察在動點D運動的過程中距離的變化規律.師：（追問）隨著動點D的變化，再結合前面的研究，你有什么發現？

生7：在研究第二種情形時，我們發現當動點落在點A、B之間時，距離之和最小，推測第三種情形下當動點D與定點B重合時，距離和最短，即為點A、C之間的距離4.師：大家同意他的看法嗎？看來大家已經初步掌握了借助數軸分析這類問題的方法，解題過程中最重要的一步便是將絕對值的運算變成幾何方面的問題，借助圖形研究數量把數變形.

二、形變數，挖掘圖形中的隱含信息

利用數量來解決圖形的問題，要充分利用幾何圖形的性質和意義挖掘出圖形中的隱含條件，把圖形問題轉化成數量問題，并通過分析計算、邏輯推理解決圖形問題.

例2《九章算術》中記錄了這樣一個問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”你能給出解答嗎？

【教學片段二】

師：同學們，通過閱讀例2，你們獲得了哪些數學信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的長度是5尺，葭出水一尺，所以BC的長度是1尺.師：（追問）很好，這是題目直接告訴我們的信息，還有沒有隱藏著的信息呢？認真閱讀題目，你能發現葭有什么變化嗎？

生1：我發現葭有兩種狀態，一種是在池中央出水一尺，另一種是葭赴岸與岸齊.師：（再問）這兩種狀態下，有什么量是不發生改變的？生1：葭長不變，也就是AB=AB′.師：對，這個隱藏信息是我們解題的一個突破口.還有沒有同學能發現其他的隱藏條件呢？

生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.師：是的，葭與水平面是垂直的，結合這個隱藏條件，你們打算怎么解決這個問題呢？

生3：運用勾股定理解決.師：（追問）對哪個直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些條件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.師：（再問）勾股定理是關于直角三角形三邊關系的，可是在直角三角形ACB′中我們只知道其中一邊，怎么辦呢？生3：可以設AC長為x尺，則AB長為x+1尺，即AB′為x+1尺.師：你說得非常好！AC和AB′是有聯系的，設出一個未知數，就可以把兩個量都表示出來，這樣直角三角形的三邊就都表示出來了，也就可以用勾股定理了.

由以上兩例可見，在教學過程中，教師如能有意識地滲透數形結合的思想方法，將對學生理解學習內容的數學本質有事半功倍的效果.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.