基于計盒維數的小波分形四叉樹醫學圖像編碼研究

杜洋，范醫魯，曲新亮

1. 山東職業學院 鐵道供電與電氣工程系，山東 濟南 250104；2. 山東第一醫科大學第一附屬醫院 醫學工程部，山東 濟南250014

引言

現代醫療設備及醫學成像技術的發展產生了海量的醫學圖像，這些醫學圖像中包含了巨大的與疾病診療相關的信息量，使其在臨床疾病的診斷中發揮著越來越重要的作用[1]。而醫院醫學圖像存儲與傳輸系統的普及和遠程醫療技術的發展，對數字醫學圖像處理技術提出了更高的要求[2]。與一般的圖像處理相比，醫學圖像處理具有其復雜性和特殊性，其壓縮編碼處理要求更高的可靠性[3]。

針對醫學圖像的壓縮編碼，目前已發展了種類繁多的相關算法，如Huffman編碼、正交變換編碼（基于離散余弦變換的JPEG）、子帶編碼（基于小波的零樹編碼）和分形等[4-7]。其中，小波變換與分形方法相結合的小波分形編碼方法是近幾年來的研究熱點[8-9]。相比傳統單純的小波變換，小波分形編碼方法具有壓縮比高、恢復圖像質量高等優點[10]。但該方法仍然存在匹配時間較長、編碼時間較長等問題。

本研究在課題組已開發的自適應小波分形四叉樹醫學圖像編碼方法[11]基礎上，將自適應差分計盒維數[12]引入到小波分形四叉樹醫學圖像編碼方法中，在進行小波分形四叉樹匹配時，只對分形維數值相近的X樹和D樹進行匹配，縮小了匹配范圍，縮短了匹配時間。在恢復圖像質量和壓縮比不變的基礎上，圖像的編碼時間將大大縮短，本文通過仿真實驗驗證該算法的有效性，現報告如下。

1 差分計盒維數法定義

1.1 計盒維數

計盒維數法是分形維數計算中相對簡單的一種方法，應用也為最廣泛。在醫學圖像中，病灶部位與非病灶部位的分形維數值存在明顯差異[13]。使用計盒維數對圖像進行邊緣提取可解決圖像處理中噪聲濾除與圖像細節間的矛盾，為醫學圖像處理提供一種有效新方法。

計盒維數的定義如下：設A是空間Rn的任意非空有界子集，對于任意r＞0，Nr(A)表示用于覆蓋所需邊長為r的n維盒子的最小數目。若存在一個數d，使得r→0時滿足公式(1)：

則稱d為A的計盒維數。

需要注意的是，計盒維數為d，當且僅當存在一個正數k滿足公式(2)：

對式(2)兩邊取對數可得公式(3)：

進一步求得公式(4)：

1.2 差分計盒維數

差分計盒維數是一種比傳統的計盒維數方法精確性更好、計算簡單的方法[12]。該方法將待處理的醫學圖像分割成像素大小一致的小格子，然后依次計算每個格子的計盒維數。用差分計盒維數方法計算分形維數的算法分三步。

（1）將一幅像素為M×N的圖像 分割成像素大小為m×n的子塊，其中m=M/r，n=N/r。將每一個子塊圖像視為三維視圖，則子塊圖像的高度為p=∧/r， 表示子塊圖像總灰階數。則第(i,j)個子塊圖像的總盒數，見公式(5)。

其中，S(i,j)表示第(i,j)個子塊的面積。nr(i,j)取實數值而不是只取整數值。

（2）整個圖像的總盒數，見公式(6)。

（3）由式(4)，r分別取不同的值，可以畫出(log(1/r)，log(Nr))的曲線圖，曲線圖的斜率就是計盒維數d的值。

2 小波分形四叉樹編碼方法

小波分形四叉樹編碼方法是針對圖像小波變換后的系數進行分形四叉樹編碼，創建小波X樹和匹配樹P，在誤差允許的范圍內，匹配樹P進行仿射變換與X樹進行匹配，得到匹配系數[14]。對不滿足閾值匹配條件的分形編碼方塊，將繼續細分為4個小的子樹進行分形編碼，直到滿足閾值匹配條件或者達到最小尺寸為止。

假定編碼后圖像總碼率為B。算法的大致步驟為：① 采用對稱或反對稱的小波基函數對原始圖像進行小波變換；② 對第一步得到的系數進行分形四叉樹編碼；③ 設定閾值ε，在滿足閾值要求的條件下，構造匹配樹與小波分形四叉樹進行匹配計算，設定保存分形匹配系數所需的比特數為Bf；④ 對剩下的沒有進行分形匹配的小波系數進行量化編碼，剩下的系數中，除了不滿足尺度條件的小波系數，還有不滿足四叉樹分割條件而保留下來的部分系數，用剩下的比特數Bw=B-Bf對這些系數進行量化編碼。

3 本文具體算法

為解決小波分形編碼方法匹配時間長、編碼時間長的問題，本研究將自適應差分計盒維數引入到小波分形四叉樹醫學圖像編碼方法中，在進行小波分形四叉樹匹配時，只對分形維數值相近的X樹和D樹進行匹配，縮小了匹配范圍，縮短了匹配時間。在恢復圖像質量和壓縮比不變的基礎上，圖像的編碼時間將大大縮短。本文算法流程示意圖如圖1所示。

圖1 本文算法流程示意圖

為便于敘述本文算法，假設待壓縮圖像尺寸為256×256，這種假設對本文算法的一般性沒有影響。

（1）按照改進的Mallat快速算法[15]對圖像進行6級小波分解，獲得19個子帶圖像。

（2）對小波第6級分解圖像的4個分解子帶圖像LL0，LH0，HH0，HL0，進行無失真量化編碼。

（3）首先構造大小為341的小波樹X5和大小為1024的匹配樹P6，經過計算可以知道共有192棵X5和64棵P6；其次計算X5的計盒維數和P6的計盒維數，分別記為Wx5和WP6。用均方誤差作為小波樹匹配時的誤差測度。

（4）對每一顆小波樹X5，按照|WX5-WP6|遍歷計算所有的匹配樹，按值由小到大的順序挑選匹配樹P6進行匹配；假設匹配誤差門限為T5，經過匹配后的誤差為E5，將E5＜T5為成功匹配條件。

（5）若是經過計算，所有的匹配樹P6都不滿足匹配條件，則匹配失敗，需將X5進一步的分割，此后不再計算小波樹和匹配樹的計盒維數。

（6）小波樹X5進一步分割：第一部分為1個根節點，剩下340個節點組成另一部分X4，1個根節點在各自所屬的子帶內采用標量量化編碼，X4被看成一個新的小波樹，同樣的構建匹配樹P5：可由P6去掉1個根節點得到。這樣就構建了64個每個大小為1023的匹配樹P5。設定匹配誤差門限為T4，匹配后的誤差為E4，E4＜T4為成功匹配條件。

（7）若是經過計算，所有的匹配樹P5都不滿足匹配條件則匹配失敗，需將X4進一步分割：4個根節點采用標量量化編碼，剩余的336個節點組成小波樹X3。同樣的構建匹配樹P4：P5去掉4個根節點剩余1019個節點組成匹配樹P4，設定匹配誤差門限為T3，經過匹配后的誤差為E3。E3＜T3為成功匹配條件。

（8）若是經過計算，所有的匹配樹都無法滿足匹配條件，則按照上述類似的方法對X3進行分割并且構建匹配樹、設定誤差門限，按照誤差門限進行匹配；若不成功則進一步分割，直到匹配成功或者達到本實驗允許的最小子樹尺寸63。

（9）重復步驟（3）～（8），直到所有的X樹都匹配完畢或者到達最小分割條件為止。

相應的醫學圖像的解碼步驟如下：① 恢復所有標量量化編碼的小波系數；② 通過分形解碼，利用已知的分形系數和小波系數，通過分形四叉樹迭代方法恢復所有的小波系數；③ 小波反變換。解碼時，由匹配樹P經過適當的分形變換恢復X的過程是無條件收斂的，且可經有限次迭代完成收斂[14]。

4 仿真實驗

4.1 實驗材料

本文選用醫學X射線圖像進行仿真算法驗證。將本文算法與傳統的小波分形四叉樹圖像編碼算法進行對比實驗，實驗環境為Pentium i3 CPU，4 G內存，matlab版本為7.1。仿真實驗條件如下：① 選取的醫學X射線圖像256級灰度（8 bit），原始圖像大小為2048×2048；② 小波變換所用的是雙正交小波基B97；③ 原始圖像的小波分解級數為8級，即小波樹的最大尺寸為16383，實驗允許的最小分割尺寸為63；④ 所有標量量化編碼的小波系數被量化為16 bit，計盒維數值被量化為32 bit；⑤ 其他由分形變換編碼的小波樹的記錄格式為：匹配樹的序號即P位置坐標（Px,Py），組合變換系數s，系數變換因子a，其中s為8 bit，a的取值范圍為[-2.0,2.0]并量化為8 bit，（Px,Py）則根據不同的搜索空間而定；⑥ 分割閾值根據實驗要求靈活設置（一般來說：閾值增大，四叉樹分割次數減少，圖像的壓縮倍率提高，但恢復圖像質量下降；閾值減小，四叉樹分割次數增多，圖像的壓縮倍率降低，但恢復圖像質量提高）。

4.2 圖像質量評價

峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）是一個工程術語，表示信號最大可能功率和影響它的破壞性噪聲功率的比值。在圖像壓縮領域中，PSNR是一種常用的測量信號重建質量的方法。本研究中，我們采用PSRN來衡量恢復圖像質量。PSNR定義為公式(7)。

其中，M和N是圖像尺寸，I(i,j)和I'(i,j)分別代表原始圖像和壓縮圖像的像素值。PSNR值越高表明重建圖像與原圖像的均方誤差越小，圖像質量越好。

4.3 仿真結果

選用100張醫學X射線圖像進行仿真算法驗證，分別采用本文算法和小波分形四叉樹算法進行圖像編碼。算法對比壓縮示例圖像如圖2和表1所示。

圖2 本文算法與小波分形四叉樹算法重建圖像

表1 本文算法與小波分形四叉樹算法結果對比

在本次實驗中，圖2b和圖2c為一組對照圖像，圖2d和圖2e為一組對照圖像。由表1可以看出，在PSNR=28.8，壓縮比64.1時，本文算法匹配時間和編碼時間分別比小波分形四叉樹算法縮短8 s和9 s；在PSNR=29.7，壓縮比60.5時，本文算法匹配時間和編碼時間比小波分形四叉樹算法均縮短8 s。由此可見，在兩種算法壓縮比、重建圖像質量相同的情況下，本文提出的算法編碼時間明顯優于傳統小波分形四叉樹算法。

為進一步驗證本文算法的有效性和優越性，我們采用統計學的方法對數據進行對比分析，采用SPSS 17.0軟件進行數據處理，進行χ2檢驗，以P＜0.05為差異有統計學意義。本文分別采用本文提出的編碼算法和傳統小波分形四叉樹編碼算法對100張原始圖像進行壓縮編碼，具體結果見如表2所示。

表2 兩組編碼時間比較

由表2可見，在相同壓縮比和重建圖像質量的前提下，本文算法的編碼時間明顯優于傳統小波四叉樹算法。此外，本文算法是一種有損的圖像壓縮方法，重建圖像已經丟失某些細節，而這些細節在醫學診斷中往往具有很高的價值。但在某些特殊的應用場景中，如回顧、教學或有權限限制的用戶瀏覽時，經本文算法的重建圖像是可以接受的。

5 討論

小波分形四叉樹編碼方法是一種效果較好的醫學圖像壓縮方法，但是存在編碼時間較長的問題。小波和分形編碼偏向圖像的結構和紋理，支持多分辨率采樣，這與當前圖像壓縮向結構編碼轉變的趨勢相符[16]。醫學圖像分形壓縮方法是一種利用局部迭代函數系統進行圖像壓縮的算法，能夠取得較高的壓縮比。相比傳統單純的小波變換，小波分形編碼方法具有壓縮比高、恢復圖像質量高等優點[10]。但該方法仍然存在匹配時間較長、編碼時間較長等問題。

在圖像分形幾何學中，具有分形結構的形狀和復雜程度可通過分形維數來表示。分形維數是定量描述分形的基本參量，它是標度變換下的不變量，是對物體復雜程度、粗糙程度、不規則程度等性質的一種測度[17]。分形維數值越大表明形狀越復雜，反之則越規則[18]。分形維數有多種計算方法，其中差分計盒維數[19-20]因其計算相對簡單、直觀，是分形維數計算方法中最常用的一種。

本文將差分計盒維數引入到小波分形四叉樹算法中，對小波分形四叉樹算法加以改進，按照計盒維數值的近似程度選取匹配樹進行匹配，相比傳統小波分形四叉樹方法在壓縮比和恢復圖像質量相差不大的情況下，明顯減少了匹配時間，從而縮短了編碼時間。仿真實驗也證明了本文算法的有效性。

此外，本文提出的算法是一種有損圖像編碼方法，不能用于無損的圖像編碼場合。在對圖像質量不苛求的情況下，本文算法是一種比較好的方法。