濕陷性黃土地基不均勻沉降: 砌體結構基礎變形規律

汪過兵， 趙建昌， 雷云霄

(蘭州交通大學土木工程學院， 蘭州 730070)

濕陷性黃土在中國分布范圍廣，據調查，中國濕陷性黃土約為38×104km2，占國土總面積的3.96%，主要分布在中國西部地區。隨著西部地區經濟建設的發展，大量砌體結構建筑物建筑于濕陷性黃土地上，但由于濕陷性黃土地基抗剪、抗彎能力弱，浸水易發生濕陷變形，特別是穿越濕陷性黃土地區既有砌體結構建筑物地基下的管道滲漏、管道施工等，極易引發地基不均勻沉降使得地基的局部沉降變形大于梁的彎曲變形，造成地基、基礎梁局部產生脫空現象。局部脫空這一現象給砌體結構建筑物帶來不同程度損傷破壞，造成的經濟損失巨大。對于一般地區建筑物的地基、基礎、上部結構的協同作用以及采動區地基、基礎與上部結構協同作用已有學者做了大量研究，對地基與梁基礎、上部結構進行簡化分析并應用于實際應用[1-10]，得到能夠更精準反映上部結構與地基協同作用的計算方法。齊永正[11]對地基、基礎與上部結構共同作用進行數值分析，發現地基局部變形產生應力集中現象。楊成永等[12]利用微元體建立了隧道沉降引起的軌道結構變形與脫空的控制微分方程；鄧喀中等[13]、譚志祥等[14]、夏軍武等[15-16]、郭文兵等[17]對采動區地基、基礎與上部結構共同力學模型和作用機理進行了研究，為采動區地基發生不均勻沉降引發的工程事故加固、保護和維修提高技術依據。劉鐘森等[18]對采空塌陷區地面殘余變形進行提出應用概率積分的方法預測進行合理科學的預測，并針對性提出防治措施，使采空地面塌陷區的土地作為建設用地得到高效利用；趙亮等[19]以西安北至機場城際軌道項目空機區間隧道入口明挖段淺層土體為研究對象對濕陷性黃土地區城際軌道地基處理范圍通過一維滲流土柱試驗和數值模擬分析的方法進行研究，為優化深厚濕陷性黃土地區城際軌道工程地基處理范圍提供參考；王立新[20]以某工程為依托通過室內土工離心模型試驗，設置多組工況，對濕陷性黃土地區新建地鐵對既有結構影響進行了研究，為濕陷性黃土地區類似工程提供預測曲線。綜合上述研究成果，雖然目前對于濕陷性黃土地區濕陷性黃土地基不均變形對既有建筑物結構的影響研究研究成果頗豐，但是對于濕陷性黃土地區砌體結構建筑物地基局部沉降變形過大，造成地基基礎局部脫空變形研究目前尚未見報道，因此本文對濕陷性黃土地區砌體結構建筑物地基基礎局部脫開、共同作用進行探索。考慮上部磚砌體結構墻體抗剪能力對基礎梁變形的影響，假定地基及地層不均沉降變形對基礎梁產生的影響長度為l，坐標原點為地基梁最大變形處，即地層不均沉降的最大深度處，假定濕陷性黃土地基表面及地層表面不均勻沉降曲線符合Peck公式，將上部砌體結構簡化為置于濕陷性黃土地基上的剪切梁，建立了上部砌體結構與濕陷性黃土地基協調工作模型，給出了協調工作微分方程；利用力的平衡原理、Fourier級數以及文獻[1、2、12、13、21-24] 方法對彈性地基梁與上部砌體結構協調工作微分方程進行求解。

1 計算模型

采用笛卡爾直角坐標系建立雙坐標系，兩坐標系使用同一原點，橫坐標系重合，縱坐標方向相同，即向下為正，反之為負。為了方便求解，坐標系原點選取地基沉降量最大的位置所對應梁的中軸線的點即為模型坐標系原點，如圖1所示。

ω(x)為彈性地基梁的撓曲線；S(x)為地基局部發生不均勻沉降地基表面沉降曲線圖1 濕陷性黃土地基不均勻沉降-基礎形變規律計算模型Fig.1 Uneven settlement of collapsible loess foundation-calculation model of foundation deformation law

2 理論模型

2.1 撓曲線微分方程的建立

計算模型為普通磚砌體結構墻體，并考慮上部磚砌體結構墻體抗剪能力對基礎梁的豎向位移折減效應，根據材料力學建立了彈性地基梁的撓曲近似微分方程，實際受力中，因為上部結構和基礎接觸面上有相對摩擦作用，在豎向荷載作用下的彈性地基梁的彎曲變形會受到上部結構的影響，對彈性地基梁撓度曲線微分方程引入R(x)進行修復：

ω(x)=w(x)+R(x)

(1)

式(1)中：w(x)為撓曲線的近似微分方程；R(x)為上部結構對地基梁撓曲線近似微分方程的修正系數；R(x)=θ(1-e-βx)，其中θ為梁的轉角，β為墻的高厚比。

2.2 地基表層局部不均勻沉降曲線

所使用的地基為有限厚度及成層地形，假設地基表面及地層表面不均勻沉降曲線符合Peck公式，即

(2)

式(2)中：S(x)為地基表面不均勻曲線；S0為地基最大沉降深度；i為地基沉降最大寬度。

2.3 地基對基礎產生的反力

對于地基、基礎相互作用的力學模型進行基本假設：①不考慮地基與基礎梁有摩擦接觸；②地基、基礎相互作用面上產生相對脫空時無相對滑移；③地基的形式為有限厚度及成層地形。即地基對地基梁的反力：

(3)

式(3)中：A=ab，其中a為彈性地基梁寬度，b為彈性地基梁高度；k為地基系數。

2.4 上部結構對地基梁上表面的作用力

(4)

式(4)中：ql(x)為基礎梁上表面的荷載；Qs為上部砌體結構墻體的剪力；CF為上部砌體結構墻體的抗剪剛度。

2.5 作用于地基梁上的合力及地基梁內力

將地基梁看作一個剛體，根據剛體的力學作用原理，將上部結構和地基對基礎梁的進行移動并疊加，即

(5)

2.6 地基梁的控制微分方程

(6)

3 邊界條件

根據實際的沉降情況，彈性地基梁沉降范圍長為l及沉降脫空區間(a,b)，沉降脫空范圍以外的部分及x≤a或者x≥b的梁段轉角近似為0，即地基梁的端部轉角必為0，于是彈性地基梁撓度的一階導數為0，即

ω′(a)=ω′(b)=0

(7)

彈性地基梁沉降范圍長為l及區間(a,b)，沉降以外的部分及x≤a或者x≥b的梁段彎矩近似為M(x)，彈性地基梁撓度的二階導數為常熟C(x)，即

ω″(a)=ω″(b)=C(x)

(8)

(9)

彈性地基梁沉降范圍長為l及區間(a,b)，沉降以外的部分及x≤a或者x≥b的梁段剪力值近似為Q(x)，即彈性地基梁撓度的三階導數為剪力Q(x)。

ω?(a)=ω?(b)=Q(x)

(10)

4 模型求解

4.1 地基梁撓度近似微分方程ω(x)進行傅里葉余弦級數展開

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

根據式(2)可知，影響系數R(x)的傅里葉級數如下所示：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據式(1)可知，ω(x)為

ω″″(x)=w″″(x)+R″″(x)

(21)

4.2 地基表層局部不均勻沉降曲線進行傅里葉余弦級數展開

(22)

為了方便計算，將式(22)化簡得：

(23)

式中:b0、bk為

(24)

(25)

4.3 彈性地基梁與地基不均勻沉降脫空階梯函數的傅里葉展開

彈性地基梁與地基不均勻沉降脫空計算需引用Heavi-side階梯函數[11]。

(26)

(2)S(x)與H(x)的乘積：

(27)

(3)ω(x)與H(x)的乘積：

(28)

4.4 方程求解

根據以上分析可知，將(21)、式(26)～(28)代入(6)化簡整理得：

(29)

將g0、gk、β0、βk、?0、?k代入(29)式得：

(30)

5 梁的豎向位移和內力

根據彈性地基梁的撓曲線近似微分方程可以得到上部砌體結構墻體的彎矩、剪力和位移，對濕陷性黃土地區砌體結構建筑加固設計、加固施工、施工過程的動態監控提供了理論依據。對式(30)進行求解，得到a0,a1,…,an的值，代入式(11)，即梁的豎向位移為

(31)

6 模型驗證計算

計算參數如下所示：彈性地基梁寬度a=0.5 m、彈性地基高度b=0.8 m、地基長L=40 m、彈性模量E=2.1×105MPa、地基最大沉降深度S0=0.006 m、地基最大沉降寬度i=1.5 m，荷載q=200 kN·m-1。分別取k=3、k=10、k=100進行了驗證計算，結果如圖2所示，隨k增大，位移基本不變，距離脫空段約1/4處梁的位移很小，基本接近于0。

圖2 脫空段梁的豎向位移Fig.2 Vertical displacement of beams in void section

7 結論

對濕陷性黃土地區砌體結構房屋建筑物地基、基礎局部脫空、共同作用進行探索，假設濕陷性黃土地基表面及地層表面不均勻沉降曲線符合Peck公式，利用靜力平衡、Fourier級數對彈性地基梁撓度變形數學表達式進行理論推導，通過自編程序進行計算，得出如下結論。

(1)根據計算結果，濕陷性黃土地基表面及地層表面不均勻沉降曲線基本符合Peck公式，可以利用Peck公式可以對地基基礎局部脫空現象進行計算。

(2)利用靜力平衡、Fourier級數對彈性地基梁與上部砌體結構協調工作微分方程進行求解，計算結果基本與實際情況相符。

(3)發現變量取k=10時的計算結果誤差已經很小，可以滿足要求，為濕陷性黃土地區砌體結構建筑檢測、加固、維修提供理論依據。