頁巖氣壓裂水平井不穩定流動模型

王 強， 葉玉峰， 董家辛， 萬繼方

(1.中國石油勘探開發研究院， 北京 100083； 2.中國石化集團新星石油有限責任公司， 北京 100083；3.中國石油國際勘探開發有限公司， 北京 100034； 4.中國石油集團工程技術研究院有限公司， 北京 102206)

頁巖氣藏是指游離態、吸附態為主，賦存于富有機質頁巖層段中的大面積連續型天然氣藏。頁巖氣藏聚集機理復雜，具有自生、自儲、自保等特點[1]。頁巖氣資源十分豐富，據統計，世界頁巖氣資源量為456.24×1012m3，技術可采資源量為187×1012m3，主要分布于中國、美國和阿根廷等國家[2]。隨著中外油氣勘探開發力度的強大，開發以致密油氣、頁巖油為代表的低品位油氣資源的比例逐年增加[3-4]。美國頁巖油氣資源的成功勘探開發，標志著全球油氣工業理論的又一次重大創新和飛躍。它不僅突破了傳統石油工業界定的常規儲層下限和圈閉成藏觀念，拓展了油氣資源勘探開發類型和資源量，也規?；瘧昧艘运骄侄螇毫褳榇淼男录夹g，實現了油氣工業技術的升級換代[5-6]。美國“頁巖氣革命”所帶來的技術革新，為中國頁巖氣開發帶來了新的啟示[7]。中國頁巖氣資源量十分豐富，據EIA[8-9]評價中國頁巖氣可采資源量超過31.6×1012m3，近年來中國不斷有頁巖氣顯示和發現高產工業氣流[10-14]。新時代中國經濟從高速粗放式增長轉向高質量可持續發展階段，對環保要求不斷提高，對石油特別是天然氣的需求不斷提高，頁巖氣勘探開發對保障中國能源安全、改善能源結構及推動中國油氣工業科技進步具有重要意義[15]。

Lee等[16]建立了無限大油藏垂直裂縫井三線性流流動模型。Brown等[17]建立了用于頁巖氣動態分析的多級壓裂水平井三線性流模型，該模型沒有考慮頁巖氣的吸附解吸和擴散等特征。Ozkan等[18]將頁巖儲層劃分成三個區域(水力壓裂裂縫區、裂縫縫間區和裂縫之外的基質區域)，假設頁巖氣在三個區域均為線性流，建立了頁巖氣藏多段壓裂水平井三線性流模型。Meyer等[19]結合三線性流解析解，提出了擬穩態電阻率模型，實現頁巖氣多段壓裂水平井裂縫參數優化。Stalgorova等[20]在三線性流的基礎上，提出了五線性流復合模型，該模型同時考慮了裂縫延伸區和未壓裂區，適用于非常規油氣藏研究。Qanbari等[21]分析了頁巖氣非穩定流動的特征，將應力敏感效應添加到擬壓力中，認為忽略鄰近孔隙效應和吸附層厚度變化會高估裂縫半長和基質滲透率的影響。中國學者也對三線性和五線性流模型進行了深入研究和探索。嚴濤等[22給出了考慮表皮和井筒存儲效應的有限導流垂直裂縫井三線性流模型，并用積分變換方法取得了該模型在Laplace空間上的解。蘇玉亮等[23]建立了體積壓裂水平井耦合雙重介質復合流動模型。雷宇等[24]考慮了不同賦存空間氣體流動特征的差異性，建立了頁巖氣藏壓裂水平井壓力動態解析模型。左羅等[25]基于熱力學基本原理，推導建立了考慮超臨界高壓吸附模型的頁巖氣滲流模型。沈瑞等[26]考慮了甲烷解吸、擴散、滲流耦合的影響，建立了頁巖氣傳質運輸模型，并對甲烷傳質輸運實驗未來體積流量的變化趨勢進行了預測。劉啟國等[27]采用正交試驗、極差分析法和方差分析法，分析了裂縫半長、內區寬度、儲層半長、無因次裂縫導流能力、內區滲透率對三線性流模型與數值模型壓力及壓力導數雙對數曲線擬合的影響。田冷等[28]將超聲波作用規律用于基于三線性流的頁巖氣藏模型中，并考慮滑脫效應、應力敏感，建立了考慮超聲波作用的頁巖氣產能模型。

在前人研究的基礎上，提出了頁巖氣藏多段壓裂水平井產能預測模型。該模型綜合考慮了頁巖氣吸附解吸效應、擴散效應、啟動壓力梯度效應、滑脫效應和應力敏感效應，運用Duhamel原理和Laplace變換，求得了考慮表皮效應和井筒儲集效應的拉氏空間下的無因次壓力及壓力導數特征曲線，并依據特征曲線劃分了流動階段，分析了不同影響因素對氣井壓力特征曲線的影響。研究結果將有利于提高頁巖氣藏多段壓裂水平井滲流規律的認識，為頁巖氣藏開發提供理論支撐。

1 物理假設模型的建立

1.1 頁巖氣滲流物理模型

頁巖氣藏必須采用水力壓裂技術對儲層進行改造之后才能進行商業化開采[29]。水平井經過壓裂之后會形成裂縫網絡，如圖1所示。隨著壓力的降低，頁巖氣通過基巖解吸后滲流至裂縫中，然后由主裂縫流入井筒。根據基質、天然裂縫以及人工裂縫的配置關系，將頁巖氣壓裂水平井滲流劃分為5個滲流區域(圖2)，1區是存在誘導裂縫的未壓裂區域，2、3和4區為不存在誘導裂縫的未壓裂區域。

圖1 頁巖氣藏壓裂水平井裂縫網絡示意圖Fig.1 Diagram of multistage fracturing network in shale reservoir

圖2 頁巖氣藏壓裂水平井五線性流模型示意圖Fig.2 Trilinear flow model of multi-fractured horizontal well in shale reservoir

為了便于方程推導和得到模型的精確解，假設如下：①外邊界封閉性氣藏，內置一口水平井；②氣體首先分別從4區、3區流向2區和1區，最終經由1區流向井筒，4區、3區、2區不直接向井筒供氣；③考慮吸附/擴散、滑脫、啟動壓力梯度和應力敏感等效應對氣體滲流的影響；④裂縫垂直于水平井井筒方向；⑤考慮井筒儲集和表皮效應。

1.2 頁巖氣滲流物理模型

由于頁巖的特征，頁巖氣在儲層中的運移由多個流動機制形成[30]，機理復雜，從基質、微裂縫、大裂縫運移到井筒過程中涉及吸附氣解吸、滲流和擴散等流動形式，囊括了從微觀尺度到宏觀尺度的整個流動過程。

1.2.1 吸附解吸機理

頁巖氣在儲層中的賦存狀態有三種：自由氣、吸附氣和溶解氣。初始條件下，三者處于平衡狀態，吸附量可以用Langmuir吸附等溫式表達。頁巖氣在開采過程中，初始平衡狀態被打破，隨著地層壓力的下降，吸附在基質表面的氣體不斷進行解吸。解吸和吸附過程相反，原理相同，同樣可以用Langmuir等溫吸附式來表達頁巖氣解吸方程[31-32]：

(1)

式(1)中：qads為單位質量下頁巖吸附氣的體積，m3/t；qL為Langmuir體積, m3/t；pL為Langmuir體積對應的壓力，MPa；p為當前地層壓力，MPa。

1.2.2 頁巖氣擴散機理

由于頁巖孔隙的特性，導致氣體在頁巖孔隙中的流動不同于傳統的Darcy滲流，需要用分子動力學和連續介質相結合的方法來描述頁巖氣的流動機制。擴散是指氣體由于濃度差的作用從高濃度區向低濃度區運動，最終達到濃度平衡。當前對于頁巖氣在微納米孔隙中的擴散主要有兩種模型[33]：Knudsen擴散和Fick擴散。

(1)Knudsen擴散。

氣體分子平均自由程和基質孔喉接近時，氣體分子與孔道壁之間的碰撞將越來越顯著，相比分子間碰撞，氣體由于與孔道壁之間的碰撞不能忽略。納米級孔隙中存在黏性流動和Knudsen擴散，如圖3所示。可以看出，氣體分子在壁面附近會發生Knudsen擴散流動。氣體由于Kundsen擴散所產生的質量流量為

JK=-MgDKC

(2)

式(2)中：JK為Fick擴散條件下單位時間、單位面積內通過氣體的質量，g/(m2·s)；Mg為氣體的摩爾質量，g/mol；DK為擴散系數，m2/s；C為氣體的摩爾濃度，mol/m3。

圖3 氣體在頁巖基質中的運移示意圖Fig.3 Flow mechanism of shale gas in matrix

(2)Fick擴散。

Fick在1855年提出：單位時間內通過垂直于擴散方向單位截面積的擴散物質流量與該截面處的濃度梯度成正比[33-35]。Fick擴散定律可以描述氣體在頁巖納米級孔隙以及干酷根內部和表面的運移。在濃度差作用的影響下，由基質表面解吸出的氣體從濃度高的區域向濃度低的區域運移擴散，如圖4所示。當兩者濃度相等時，擴散現象停止。氣體由于Fick擴散所產生的質量流量為

JF=-MgDFC

(3)

式(3)中：JF為Fick擴散條件下單位時間、單位面積內通過的氣體質量，g/(m2·s)；DF為擴散系數，m2/s。

圖4 Fick擴散示意圖Fig.4 Flow mechanism of Fick diffusion

1.2.3 頁巖氣的滑脫效應

傳統滲流力學認為，多孔介質中流體的流動遵循連續性理論，即流體在孔隙壁面處的速度為零[36]。由于常規儲層孔隙喉道半徑大，連續性理論假設成立，達西方程能夠很好地描述常規儲層的滲流規律。頁巖孔隙直徑非常小，屬于納微米級尺度，甲烷分子與壁面發生碰撞，并沿著壁面定向運動。頁巖儲層具有超低基質滲透率及納米尺度的孔隙結構，滑脫效應對氣體流動影響大，不考慮滑脫效應的話將會帶來更大的計算偏差。通常用Klinkenberg方程來描述氣體的滑脫效應[37]:

(4)

1.2.4 頁巖儲層的應力敏感效應

相比常規儲層，頁巖具有更大的比表面積和豐富的有機質，因此在開發中后期主要依靠頁巖基質孔隙及微裂縫表面的解吸附供氣。在這一過程中，隨著氣體的排出，基質巖塊受到的應力逐漸增加，從而影響到基質和裂縫的滲透率。因此，應力敏感是影響頁巖氣藏多級壓裂水平井產能的重要因素之一，相關研究認為，巖石的物理性質與有效應力之間存在著一定的函數關系。一般用來描述應力敏感效應對儲層滲透率的影響[38-39]：

K=K0e-α(pi-p)

(5)

式(5)中：K為巖石應力敏感效應下的真實滲透率，mD；K0為初始滲透率，mD；p為目前地層壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；α為巖石的應力敏感系數，MPa-1。

2 頁巖氣滲流模型的建立

2.1 4區數學模型的建立

滲流域4區由基質組成，根據頁巖氣滲流規律及解吸、擴散等特性，其質量守恒方程可以表示為

(6)

考慮由壓力差引起的線性流和由濃度差引起的擴散流動，運動方程和濃度方程分別為

(7)

(8)

式中：k4m,a為4區的滲透率，μm2；μg為氣體的黏度，mPa·s；p4為4區的壓力，MPa；ρg為氣體密度，g/m3；C4為4區的氣體濃度，m3/m3。

將運動方程、擴散方程、氣體狀態方程和Langmuir等溫吸附方程代入式(5)中，得：

(9)

綜合式(3)～式(9)，并結合初始條件和內外邊界條件，得到五線性滲流模型4區的滲流數學模型：

(10)

2.2 3區數學模型的建立

滲流區3由基質組成，根據頁巖氣滲流規律及解吸、擴散等特性，其質量守恒方程可以表示為

(11)

將運動方程、擴散方程、氣體狀態方程和Langmuir等溫吸附方程代入式(5)中，得：

(12)

對方程式各參數進行無因次化，并結合初始條件和內外邊界條件，得到五線性滲流模型3區的滲流數學模型：

(13)

2.3 2區數學模型的建立

滲流2區由天然基質供氣，受天然裂縫和基質的共同影響，因此需要考慮到兩種介質對滲流方式的影響?？紤]到運動方程、擴散方程、氣體狀態方程和Langmuir等溫吸附方程，得到滲流2區的滲流方程為

(14)

引入擬壓力公式，并對方程進行無因次化，因此得到2區的滲流方程及其初始和邊界條件：

(15)

2.4 1區數學模型的建立

滲流1區由天然基質供氣，受天然裂縫和基質的共同影響，因此需要考慮兩種介質對滲流方式的影響。因此，滲流1區的基本滲流方程為

(16)

代入運動方程、擴散方程、氣體狀態方程和Langmuir等溫吸附方程，引入擬壓力公式，并進行方程無因次化，整理得1區的滲流方程及其初始和邊界條件：

(17)

2.5 人工裂縫區數學模型的建立

人工裂縫區域由基質和天然裂縫供氣，只考慮達西滲流，沒有解吸和擴散作用，將運動方程、氣體狀態方程代入，并引入擬壓力函數，得到人工裂縫區的滲流方程為

(18)

(19)

3 頁巖氣滲流模型的建立

3.1 4區滲流方程求解

(20)

根據數學物理方法，得到滲流4區滲流方程的解為

(21)

3.2 3區滲流方程求解

(22)

求解此方程，得到滲流3區滲流方程的解為

(23)

3.3 2區滲流方程求解

(24)

求解此方程，得到滲流2區滲流方程的解為

(25)

3.4 1區滲流方程求解

對式(17)進行Laplace變換，得到其在Laplace空間的方程為

(26)

式(26)的解為

(27)

3.5 人工裂縫區滲流方程求解

對式(19)進行Laplace變換，得到人工裂縫滲流區的Laplace空間的滲流方程：

(28)

式(28)的解為

(29)

取xD=0，則井底擬壓力在Laplace空間下解的表達式為

(30)

3.6 考慮井筒儲集效應和表皮效應的無因次解

上述計算沒有考慮到井筒儲集以及表皮效應的影響。在Laplace空間內，利用Duhamel原理，引入無因次井筒儲集系數和表皮系數，可以得到在Laplace空間里的方程解。方程解的形式如下：

(31)

將該方程通過Stefest數值反演，即可得到在實空間下的考慮井筒儲集效應和表皮效應的無因次解。Stehfest算法[式(32)]由于具有結構簡單、不涉及復數運算、編程易實現等特點，在石油相關行業如滲流力學、試井分析和解釋中廣泛應用[40]。

(32)

Vi=(-1)N/2+i×

(33)

在多數情況下，N=8,10或12是適合的，若取N>16，會降低計算精度。經過多次計算，得出N=4最符合計算精度，且計算速度最快。

4 模型應用研究

4.1 壓裂水平井不穩定滲流特征

參考中國某頁巖氣藏基本參數如表1所示，將實際參數代入式(31)，通過MATLAB計算，求解得到頁巖氣藏壓裂水平井無因次擬壓力特征，并分析各參數對擬壓力特征曲線的影響。

表1 基本參數取值

圖5反映了頁巖氣藏水平井生產過程中各個流動的壓力特征曲線。從圖5中可以看出，擬壓力曲線可以劃分為以下6個階段：①Ⅰ階段：早期井筒儲集階段，該階段直線斜率為1，擬壓力曲線和擬壓力導數曲線重合；②Ⅱ階段：過渡流階段，該階段擬壓力曲線和擬壓力導數曲線逐漸分開，井筒儲集效應和表皮效應共同影響，且井筒儲集效應減弱、表皮效應增強，該階段持續時間由兩者共同控制；③Ⅲ階段：裂縫和地層的雙線性流階段，該階段擬壓力曲線和導數曲線平行，斜率為1/4；④Ⅳ階段: 1區的竄流擴散階段；⑤Ⅴ階段：1區的竄流擴散階段；⑥Ⅵ階段：裂縫和地層區域的擬穩定流動階段，該階段直線斜率為1，擬壓力曲線和擬壓力導數曲線上翹并逐漸重合。

圖5 頁巖氣壓裂水平井無因次擬壓力特征曲線Fig.5 Pseudo-pressure characteristic curve of a fractured horizontal well in shale gas reservoir

4.2 參數敏感性分析

4.2.1 裂縫導流能力的影響

從圖6可以看出，裂縫導流能力FCD對水平井壓力特征曲線的影響主要在過渡階段、雙線性流階段。裂縫導流能力越大，氣體在裂縫中的流動阻力越小，故而同等產量下的生產壓差越小，生產壓差的變化也不明顯。裂縫導流能力對除過渡流和雙線性流以外的其他流動階段不產生影響。

4.2.2 吸附系數a的影響

在模型推導過程中，用吸附系數a來表征氣體吸附效應對壓力特征曲線的影響。從圖7中可以看出，吸附系數a主要影響過渡段、雙線性流段、線性流段及擬穩定流階段。吸附系數越大，吸附量越小，系統擬穩定流動階段的時間越早。吸附系數越大，說明儲層中的吸附氣越多，因此能夠從基質中解吸附擴散至裂縫的氣體量越多，從而補充地層壓降，使得壓力曲線上升。

圖6 裂縫導流能力FCD對壓裂水平井壓力特征曲線的影響Fig.6 Effect of fracture conductivity on pressure characteristic curve of fractured horizontal well

圖7 吸附系數a對壓裂水平井壓力特征曲線的影響Fig.7 Effect of adsorption coefficient on pressure characteristic curve of fractured horizontal well

4.2.3 滲透率系數b的影響

視滲透率主要影響雙線性流動階段、過渡階段、竄流擴散階段、地層線性階段和擬穩定流階段，如圖8所示。視滲透率系數越大，氣體在基質中的擴散能力就越大，氣體容易流動，線性流持續時間就越短，竄流擴散和擬穩定流動到達時間就越早。

圖8 滲透率系數b對壓裂水平井壓力特征曲線的影響Fig.8 Effect of permeability coefficient on pressure characteristic curve of fractured horizontal well

4.2.4 導壓系數η的影響

從圖9中可以看出，導壓系數主要影響竄流擴散階段、地層線性流階段和擬穩定流階段。導壓系數越大，竄流擴散、線性流和擬穩定流階段出現地越早；導壓系數越小，竄流擴散階段結束時間越早，甚至會逐漸消失。

圖9 導壓系數η對壓裂水平井壓力特征曲線的影響Fig.9 Effect of pressure transmitting coefficient on pressure characteristic curve of fractured horizontal well

4.2.5 壓裂改造區寬度yeD的影響

壓裂改造區寬度主要影響地層線性流和系統擬穩態流動段，如圖10所示。改造區寬度越大，改造區域內可供的氣體量越多，故地層線性流持續時間越長，且擬穩定流到達時間越晚，壓裂改造區寬度對早期的井筒儲集流、過渡流、雙線性流和竄流無影響作用。

圖10 壓裂改造區寬度yeD對壓裂水平井壓力特征曲線的影響Fig.10 Effect of width of SRV on pressure characteristic cure of fractured horizontal well

5 結論

(1) 由三線性流滲流方程的基礎上推導出的五線性流滲流方程能夠有效地表征頁巖氣氣流動過程中存在的吸附解吸、擴散、滑脫、啟動壓力梯度和應力敏感等效應。

(2)根據頁巖氣多重介質滲流的特點，頁巖氣藏壓裂水平井壓力特征曲線可劃分為六個流動階段。

(3)不同參數對每個流動階段的影響程度不同。裂縫導游能力主要影響過渡段、雙線性流段，吸附系數主要影響過渡段、雙線性流段、線性流段以及擬穩定流階段；視滲透率系數主要影響雙線性流動階段、過渡階段、竄流擴散階段、地層線性階段和擬穩定流階段；導壓系數影響竄流擴散階段、地層線性流階段和擬穩定流階段；壓裂改造區寬度主要影響地層線性流和系統擬穩態流動段。