主理想環上矩陣方程AX=B的對稱解

張四保， 鄧 勇

(喀什大學數學與統計學院， 喀什 844008)

矩陣方程:

AX=B

(1)

文獻[10-12]指出，當且僅當式(1)有解且ABT=BAT時，式(1)在實數域與復數域上有對稱解。現討論式(1)在主理想環R上有對稱解的可解性問題，給出其有對稱解的充分必要條件，并得到文獻[13]中的定理1是本文結論的一個推論。

為方便，Rm×n表示R上所有m×n矩陣的集合，0m,k表示m×k零矩陣，AT表示矩陣A的轉置矩陣，GL(m,R)表示R上的m×m矩陣組成的一般線性群，Ir表示R上r階單位矩陣。

1 預備知識

矩陣A∈Rm×n稱為可對角化，如果存在矩陣U∈GL(m,R)和V∈GL(n,R)，使得

UAV=diag(a1,a2,…,ar,0,0，…,0)=SA

(2)

為對角矩陣，其中ai≠0(i=1,2,…,r)且aj-1|aj(j=2,3，…,r)，元素a1,a2,…,ar稱為A的不變因子，對角矩陣SA稱為矩陣A的史密斯標準形式。若用分塊矩陣表示，則SA可表為

(3)

式(3)中：S(A)=diag(a1,a2,…,ar)∈Rr×r。

證明(?)設X0∈Rn×k是式(1)的一個解，并且A的史密斯標準形為式(3)。由等式AX0=B，可得：

UAVV-1X0=UB

(4)

(5)

的形式。因此，可得B1=S(A)Y1，B2=0m-r,k。必要性證畢。

(6)

顯然成立。因此，有

(7)

如果R=F是一個數域，那么由引理1可得以下推論。

引理2設A∈Rm×n，若rank(A)=r

2 主要結論

定理1矩陣方程式(1)在主理想環R上有對稱解當且僅當矩陣方程式(1)在R上可解且ABT=BAT。

證明不失一般性，設A,B∈Rm×n。

(8)

(9)

設G和B1的分塊形式分別為

(10)

式(10)中：G11∈Rr×r，G12∈Rr×(n-r)，G21∈R(n-r)×r，B11∈Rr×r，B12∈Rr×(m-r)，B21∈R(m-r)×r。由式(9)可得：

(11)

(12)

利用引理1，由式(11)得B21=0m-r,r，B22=0m-r,n-r；由式(12)得BT21=0r,m-r，BT22=0n-r,m-r。于是，有

(13)

由ABT=BAT，可得UABTUT=UBATUT。于是，又有

(14)

AXp=A(X0+Xs)=AX0+AXs=B

(15)

3 通解表示

先給出矩陣方程[式(1)]存在對稱解的另一個充要條件，然后再推導其通解的構造方法。

定理2設A,B∈Rm×n，rank(A)=r，A的史密斯標準形如式(3)所示。于是，式(1)在R上有對稱解當且僅當

(16)

式(16)中：D11∈Rr×r是對稱矩陣，D12∈Rr×(n-r)。

證明(?)設X0∈Rn×n是式(1)的一個對稱解。由引理1和AX0=B，可得：

(17)

式(17)中：B1∈Rr×n。用V-T右乘式(17)兩邊，有

(18)

(19)

(20)

(21)

均成立。必要性得證。

(?)設矩陣A的史密斯標準形為式(3)。令

(22)

(23)

(24)

由式(23)可得：

(25)

因Y0對稱，故X0=VY0VT也對稱。同理，由式(24)可得X0AT=BT。因此，矩陣方程AX=B和XA=B在R上有公共的對稱解X0。

特別地，當R=F是一個數域時，由定理2可得如下推論。

4 應用舉例

例1設

求AX=B在整數環上的對稱解。

解取可逆矩陣：

于是有

因此，AX=B可解。此外，

例2設

求AX=B在有理數域上的對稱解。

解取可逆矩陣：

于是，有

因此，AX=B可解。容易驗證：

P是有理數域上的任意對稱矩陣。