基于歐拉梁的管路吸振器振動特性研究

姚伍平，彭 旭，唐文兵，張針粒，魯民月

(武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢， 430064)

0 引 言

在艦船上，由于轉子不平衡等原因，泵類旋轉機械存在軸頻、葉頻等十分突出的低頻振動線譜，通過基座、管路等通道向外傳遞[1?2]。動力吸振器（DVA）是被動控制振動線譜的有效手段，已經在汽車、船舶、建筑等領域廣泛應用。在設計和應用動力吸振器時，往往將控制對象簡化為質點或多自由度系統，根據等效質量和剛度來確定吸振頻率。艦船管路系統跨徑比大、自身固有頻率低、邊界條件復雜，對吸振頻率和控制效果有較大影響，在開展管路系統吸振設計時，管路已不適合簡化為質點或多自由度系統。因此，有必要針對艦船管路系統的特點，開展管路吸振器的振動特性研究。

吳崇建等[3]用彎曲波法建立了多點支撐歐拉梁的運動方程，研究了用動力吸振器抑制梁共振的特性。Park等[4]建立了懸臂梁上集中質量塊的頻率方程，與前人的研究成果吻合較好。尹志勇[5]等根據梁的能量傳遞理論設計了三向管路動力吸振器，并在試驗臺架上驗證了控制效果。梁建等[6]以附加阻尼吸振器的固支梁作為分析模型，定性研究阻尼吸振器對電路板共振響應的抑制作用，分析了等效質量比、固有頻率比和損失因子等對吸振器控制效果的影響規律。劉天彥等[7]針對管路系統設計了動力吸振器，并通過臺架試驗驗證了吸振器對特征頻率的抑制效果。雖然上述學者針對管路吸振器已開展了一些理論和試驗研究，但是在建模、設計時均未考慮支撐剛度、激勵及吸振器的相對位置等因素對吸振效果的影響。艦船上空間有限，管路支撐方式多樣，研究如何在復雜環境中合理布置管路吸振器，提升控制效果，具有重要的工程意義。

本文以歐拉梁振動理論為基礎，建立任意橫向激勵下，不同邊界下管路—吸振器系統的橫向振動模型，用有限元方法驗證模型的準確性，研究了吸振器安裝部位、控制對象和支撐剛度等對控制效果的影響規律。

1 管路吸振器系統振動模型

1.1 管路—吸振器系統振動模型

在兩端彈性支撐的管路上加裝管路吸振器，當管路長度遠大于管徑時，管路可簡化為歐拉-伯努利梁，吸振器可簡化為質量-彈簧系統。在任意橫向激勵作用下，管路—吸振器的振動模型如圖1所示。

圖1 管路—吸振器振動模型Fig. 1 Pipe-DVA vibration model

管路—吸振器的彎曲運動方程如下：

根據振動理論[8]，梁的撓度可用振型函數和廣義坐標表示:

將式（4）代入式（1），然后代入式（5），可得：

式中，右邊第1項為激勵源，第2項為彈簧質量系統作用在梁上的力。兩邊分別乘以，在[0，L]上積分，利用振型函數的正交性和歸一性，可得：

對式（7）進行傅里葉變換，可得：

即

與此同時，對式（2）～式（4）進行傅里葉變換，可得：

其中：

1.2 彈性支撐邊界下歐拉梁的振動方程

方程（5）解的形式為：

式（14）～式（17）若有非零解，則系數的行列式應為0。經過計算，可得：

式（18）即為管路兩端均在彈性支撐狀態下，梁的振動頻率方程。其中，分別為管路兩端支撐的彈性影響因素。

2 計算模型數值驗證

選取一種艦船常用的管路，用有限元方法驗證本文提出計算方法的準確性。管路規格為外徑D=57 mm，內徑d=50 mm，長度L=2 000 mm，材料為鋼材，彈性模量為2.1E11Pa，密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.3。用有限元軟件和本文提出的模型，分別計算管路兩端分別為剛性支撐、自由和彈性支撐時，管路的前4階固有頻率和振型圖。在有限元建模時，管路采用的beam4單元，用combin14模擬彈性支撐邊界條件。3種邊界條件下，管路的固有頻率計算結果如表1所示。

由表1可知，在剛性支撐、自由和彈性支撐等3種邊界條件下，本模型計算得到的前4階固有頻率計算結果與有限元計算結果差別在1.6%以內。

表1 三種不同邊界條件下固有頻率計算結果對比Tab. 1 Comparison of characteristic frequency under 3 boundary conditions

管路兩端分別為剛性支撐、自由和彈性支撐時，用有限元和本文提出的模型計算得到的管路前4階振型圖分別如圖2～圖4所示。

可以看出，在3種邊界條件下，本文計算得到的管路振型圖與有限元計算結果基本一致。綜合固有頻率和振型圖的計算結果來看，本文提出計算模型的準確性得到了驗證。

3 管路吸振器控制效果分析

3.1 管路吸振器參數設計

根據上一節計算結果，可知在上述剛性和彈性支撐邊界下，管路的一階固有頻率分別為為38 Hz和35 Hz，由此可以確定管路吸振器的特征頻率。按照設計經驗，吸振器與管路的質量比初步取為0.02，吸振器的剛度根據吸振頻率及自身質量可確定。圖6為在管路兩端剛性支撐和彈性支撐的邊界條件下，在管路中間x/L=0.5處加裝動力吸振器前后，在安裝部位施加單位激勵后管路的振動響應曲線。

可以看出，在2種邊界條件下，針對特定模態在管路加裝動力吸振器后，在單位激勵下，該階線譜的振動響應得到明顯抑制，而其他頻段基本不受影響。在共振頻率處，不僅在安裝部位，管路整體的振動都得到了有效控制。

3.2 吸振器控制效果影響因素分析

a）吸振器與激勵力位置關系

圖2 剛性支撐條件下管路振型圖Fig. 2 Pipe model shape under rigid support

圖3 自由狀態下管路振型圖Fig. 3 Pipe model shape under free boundary

圖4 彈性支撐條件下管路振型圖Fig. 4 Pipe model shape under elastic support

艦船上空間緊張，管路支撐和吸振器的安裝位置都受到一定約束。因此，合理選擇管路吸振器和激勵力的布置位置，對于提高控制效果具有重要意義。圖7為管路吸振器的控制頻率為管路的1階固有頻率（35 Hz），管路分別在剛性和彈性支撐狀態下，受單位激勵作用管路的振動響應。

由圖7可以看出，針對特定管路模態，不論管路兩端為剛性還是彈性支撐，激勵力及吸振器的位置均對管路的振動響應有重要影響。針對控制頻率，激勵越靠近振動模態的位移極值點，管路整體的振動越大；吸振器布置越靠近振動模態的位移極值點，管路整體的控制效果越好；如果管路兩端為剛性支撐邊界，不論吸振器及激勵的位置如何變化，總有較好的控制效果；若管路兩端為彈性支撐，如果激勵的位置不在位移極值點，那么吸振器離激勵位置越遠，控制效果越差。在圖7（a）中，當DVA的位置與激勵距離△=0.75L時，加裝吸振器后管路最大位移與加裝前的比值為0.65，加裝DVA對管路振動控制效果較差。

圖5 中間加裝動力吸振器前后安裝部位振動響應對比（兩端剛性支撐）Fig. 5 Vibration response before and after DVA install(Both ends fixed)

圖6 中間加裝動力吸振器前后安裝部位振動響應對比（兩端彈性支撐）Fig. 6 Vibration response before and after DVA install(Both ends with elastic support)

b）非共振頻率控制效果

艦船上管路系統的振動響應線譜除了來自于系統自身固有頻率，也包含來自設備的軸頻、葉頻等線譜激勵，后者在很多時候是管路振動響應線譜的主要來源。因此，針對線譜激勵的控制具有重要的實際意義。同樣受限于空間，合理選擇吸振器的布置位置，對于控制效果也具有重要意義。以艦船上常見的100 Hz振動激勵為對象，設計控制頻率為100 Hz的吸振器。圖8為管路分別在剛性和彈性支撐狀態下，在100 Hz頻率處，激勵位置與吸振器位置的變化對管路振動響應的影響規律。

由圖8可以看出，針對特定激勵，不論管路兩端為剛性還是彈性支撐，激勵力及吸振器的位置均對管路的振動響應有重要影響。針對控制頻率，如果吸振器的安裝位置與激勵的位置重合，那么管路整體的振動會受到良好抑制，如果激勵和吸振器均處于振動模態的位移極值點，抑振效果更加顯著；如果吸振器的安裝位置與激勵位置不重合，不論管路兩端是剛性還是彈性支撐，隨著二者之間距離的增大，控制效果越來越差；當吸振器與激勵的距離大于一定值時，會產生嚴重的負面效果，顯著放大管路的振動。在圖8（b）和圖8（e）中，激勵的位置處于x/L=0.25，若吸振器的位置加在x/L=0.75處，那么加裝DVA后，管路的振動反而被放大，加裝吸振器后管路上最大位移幅值與加裝前的比值分別為3.22和4.79。

綜上，在針對特定模態頻率和針對特定激勵應用吸振器時，管路系統的振動特性存在較大差異，后者對激勵及吸振器位置更為敏感。因此，以特定激勵為管路系統振動控制對象時，吸振器的布置應盡量靠近激勵位置。

3）管路支撐剛度

由管路的頻率方程可知，管路的振動特性不僅取決于自身，也取決于管路兩端的支撐剛度。綜合而言，管路支撐的彈性影響因素對管路的振動特性影響最大。圖9為2種規格管路的1階固有頻率隨彈性影響因素的變化情況。管路規格分別為D=57 mm，d=50 mm，L=2 000 mm和D=114 mm，d=100 mm，L=3 000 mm。

圖7 激勵及吸振器位置對特定模態控制效果的影響Fig. 7 Influence of DVA position on control effect aimed at specific modal

圖8 激勵及吸振器位置對特定激勵控制效果的影響Fig. 8 Influence of DVA position on control effect aimed at specific excitation

圖9 管路一階固有頻率隨支撐剛度的變化曲線Fig. 9 First characteristic frequency vs support stiffness

4 結 語

通過本文的研究工作，可以得出以下結論：

1）本文提出的一種管路吸振器的振動特性計算方法，在剛性支撐、自由支撐和彈性支撐等不同類型的邊界條件下，管路的前4階固有頻率與有限元計算結果偏差在1.6%以內，振型的計算結果基本一致。

2）針對特定模態頻率，如果激勵的位置不在振動極值點，那么吸振器離激勵位置越遠，控制效果越差，甚至沒有控制效果；吸振器及激勵的位置對管路剛性支撐條件的影響要小于彈性支撐。針對特定頻率的激勵，吸振器與激勵位置重合時有良好的控制效果，如果吸振器的安裝位置與激勵位置不重合，不論管路兩端是剛性還是彈性支撐，那么隨著二者之間距離的增大，控制效果越來越差，在某些條件下管路振動甚至放大超過3倍。因此，在應用管路吸振器時，應區分控制對象為特定模態頻率還是特定激勵；以特定激勵為管路系統振動控制對象時，高度重視吸振器的布置位置，盡力使其靠近激勵。

3）若彈性影響因素特定區間內，管路1階固有頻率對支撐剛度十分敏感。當大于10時，管路兩端類似剛性支撐，支撐剛度的增大對1階固有頻率的影響在10%以內；當小于0.1時，管路兩端類似自由狀態，支撐剛度的減小對1階固有頻率的影響在1%以內。因此，以管路振動模態頻率為控制對象設計吸振器時，需要重視管路兩端支撐剛度的影響。