極小子樣加速退化試驗數據可靠性評估方法

張海龍，郭海亮，孔 耀

(1.天地信息網絡有限公司，北京 100041；2.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

隨著可靠性水平的不斷提高，出現了許多高可靠性、長壽命的產品，如高可靠性的航天產品，其使用壽命和貯存壽命都比較長，要獲得此類產品的壽命數據，對其可靠性進行評估，用基于概率統計理論的傳統可靠性試驗通常需要較長的試驗時間或大樣本量，且傳統可靠性試驗方法在工程上亦很難實現。文獻[1-2]提出，對于很多產品，其性能參數隨時間的推移會出現退化現象，因此可采用產品退化數據來進行產品的可靠性評估[3]。要評估產品總體的失效時間分布需要做大樣本量的退化試驗，但當樣本量很小時，求解失效時間分布十分困難，此時就需要對試驗樣本量進行擴充。

對樣本擴充問題主要采用Bootstrap法[4]和Jacknife法[5]。文獻[6-7]提出，Bootstrap方法假設數據總體的分布未知，從已有數據樣本中相繼獨立地抽取多個Bootstrap樣本，利用這些樣本對總體分布進行統計推斷[8]。該方法很好地解決了試驗樣本量大于10的小子樣試驗評估問題，但對于樣本量為1或2的極小子樣試驗問題，該方法就不適用了[9]。針對該問題，文獻[10]提出了一種虛擬增廣樣本評估方法，具體做法是根據試驗得到的單件樣品的失效時間，利用類似產品的失效時間分布和標準差，將試驗樣本量進行虛擬擴充，然后再運用Bootstrap方法評估增廣樣本的分布函數。該方法的缺點是利用了類似產品的經驗信息虛擬出樣本數據，不能真實地反映實際產品的壽命分布特性。

本文提出了分段隨機抽樣的方法，對單一試驗件的性能退化數據進行再抽樣，生成新的退化數據時間序列，將小子樣試驗擴充為大樣本量試驗。然后對每一試驗樣本進行退化軌跡建模。本文采用Lu&Meeker[11]提出混合參數模型對退化軌跡進行建模，文獻[12-13]對該模型進行了研究，并給出了模型參數的估計方法以及分布函數。本文以某航天器加速度計的加速退化試驗為例，投入3個樣品進行高溫加速退化試驗，評估加速度計在高溫時的失效時間分布。結果表明，采用該方法擴充的新樣本與原始樣本有相近的退化趨勢，沒有出現較大的偏差，為解決小子樣試驗評估問題提供了一種可行思路。

1 樣本擴充方法

針對極小子樣試驗，為了評估出產品的可靠性，得出失效時間分布，需要對試驗樣本量進行擴充。本文采用分段隨機抽樣的方法，對樣件試驗數據進行再抽樣，生成新的試驗數據序列，達到虛擬增加試驗件的目的。

分段隨機抽樣是將測得的產品試驗時間序列分成若干段，然后再分別對每段數據進行隨機抽樣。例如，時間序列：

A0={x1，x2，…，xm}。

將A0分成n(設m為n的整數倍)段，每段包含數據個數為n0=m/n，即：

A0={(x1，x2，…，xn0)，…，(xm-n0+1，xm-n0+2，…，xm)}。

分段隨機抽樣的好處是，既擴充了試驗樣本量，又保持了原始數據的變化趨勢，這在非線性變化的時間序列中非常重要。如果不采取分段隨機抽樣，而只是單純地從原始數據中抽取a×n個數據，也就是說從原始數據中去掉m-a×n個數據，此時這m-a×n個數據有可能是一個相鄰的數據段，這樣就會造成抽樣后數據的變化趨勢與原始數據相差較大。例如，某時間序列X=[0，3.0，5.6，7.9，10.2，12.0，13.5，14.4，15.6，16.3]，長度n=10，數據采集時間間隔為1 h。將該時間序列分為3段(不含初始點)，每段3個數據，依次從每段中抽取2個數據，組成新的時間序列，共可得到27條抽樣序列。分段隨機抽樣與非分段對比如圖1所示，紅線為原始時間序列的擬合曲線，藍線為分段隨機抽樣后時間序列的擬合曲線，黑線為不采取分段隨機抽樣，而是隨機去掉3個連續的數字(以去掉末尾3個數據為例)后的擬合曲線。由圖1可以看出，未采用分段隨機抽樣的序列擬合曲線與原始序列擬合曲線偏差太大。

通過以上方法將極小子樣擴充為大樣本量后，運用混合參數模型對退化軌跡進行建模，求解失效時間的分布。

圖1 分段隨機抽樣與非分段對比Fig.1 Comparison of subsection and non-subsection random sampling

2 混合參數評估模型

2.1 混合參數模型

加速退化試驗過程中，環境應力對每一個試驗件起到相同的環境影響，且每個試驗件有其獨立的特性，在對退化軌跡進行建模時應同時考慮固定影響因素和隨機影響因素。因此本文采用混合參數模型對退化軌跡進行建模。文獻[11]中給出了元件退化建模的一般公式。對于樣本量為n的隨機樣本，設定在時間t1，t2，…，ts處測得性能退化數據，通常直到性能退化量x首達退化閾值D或時間達到ts，停止測量。第i元件在時間tj時的退化軌跡模型：

yij=η(tj；φ，θi)+εij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，

(1)

2.2 參數評估方法

基于兩階段法的模型參數估計方法，分為2個步驟。在第1階段，對每個抽樣元件的退化軌跡進行建模并估計軌跡參數，獲得n組模型參數估計值。第2階段，用第1階段得到的模型參數估計值，來計算混合參數模型參數φ，μθ，Σθ。具體內容如下：

階段1：

對每個抽樣樣本i(i=1，2，…，n)，運用最小二乘法對(φi，θi)進行估計。最小二乘函數為：

(2)

第i個元件的測量誤差εi的方差為：

(3)

(4)

(5)

階段2：

(6)

(7)

(8)

式中，

2.3 失效時間分布

失效時間T的分布函數可以寫為：

Pr{T≤t}=FT(t)=FT(t；φ，Gθ(·)，D，η)。

(9)

當隨機影響參數向量θ中只包含一個隨機參數時，可以得到失效時間T分布函數的顯式表達式。設η=φ+?t，θ～N(μ，σ2)，退化失效閾值為D，則有D=η(T；φ，θ)，此時:

(10)

則T的分布函數為：

(11)

當σθ<<μθ時，Pr(θ≤0)是可以忽略的，則式(11)改寫為：

(12)

對于一些簡單的軌跡模型，可以得到FT(t)的顯式形式。但當隨機參數多于一個時，問題就會比較復雜，很難寫出閉式表達式。在此情況下，可以通過積分變換或其他方法找到T函數中隨機參數的分布。文獻[14-15]對這一問題進行了深入研究。通常需要估計數值結果，此時可以通過蒙特卡洛仿真得到結果。

3 應用實例

以加速度計的高溫加速貯存試驗為例，選取性能參數為標度因數(單位為ppm，即10-6)，試驗樣本量為3，屬于極小子樣試驗。試驗中，溫度設定為80 ℃，測量時間間隔120 h，試驗終止時間2 160 h。初始時刻性能退化量為零，共測得19個數據，如圖2所示。

圖2 加速度計加速退化試驗數據Fig.2 Accelerated degradation test data for accelerometers

根據文獻[16-17]，本文采用冪函數對加速度計退化軌跡進行建模，因此非線性混合參數軌跡模型為：

yij=φ1+θtφ2+εij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，

式中，φ=[φ1，φ2]′；θ=[?]′。

表1 參數估計值Tab.1 Estimated values of parameters

令失效閾值為300，T的累積概率分布曲線如圖3所示。

圖3 失效時間累積概率分布曲線F(t)Fig.3 The failure time cumulative probability distribution curve F(t)

圖4 失效時間概率密度曲線f(t)Fig.4 The failure time probability distribution curve f(t)

圖5 自然貯存加速度計失效時間直方圖Fig.5 The histogram of failure time for accelerometers with normal storage

4 結束語

針對極小子樣加速退化試驗，提出了基于分段隨機抽樣的再抽樣方法，通過實際應用可得出，該方法可對極小子樣加速退化試驗樣本進行有效地擴充，同時未改變退化軌跡的趨勢；評估得到的失效時間分布與正常應力下的產品失效時間分布接近，保證了加速退化試驗失效機理的一致性。