呼 苗,薛 紅,劉 欣

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

可轉換債券作為一種兼具股性與債性的金融產品,一直是金融數學的熱點問題之一。 國外的可轉換債券的定價研究起步較早,1973年Black-Scholes期權定價理論[1]的出現為可轉債定價的發展提供了重要的理論依據。 隨后,INGERSOLL以公司價值為基礎變量,結合Black-Scholes模型并運用無套利原理得到了一個解析解[2]。 由于公司價值在市場中并不能準確獲取,McCONNELL等提出以股價作為基礎變量來建立可轉債定價模型,把可轉換債券的價值分為純債券價值與期權價值,并以Black-Scholes期權定價公式求解期權部分的價值[3]。 但實證研究發現Black-Scholes模型中波動率為常數的假設并不符合實際金融市場,實際波動率并不為常數,甚至是不確定的,股價波動率呈現波動率微笑,尖峰厚尾等統計特征。

為此,學者們提出了一系列隨機波動率模型。SCOTT假定波動率服從指數過程[4],HULL等假定波動率服從平方根過程[5],這些模型將波動率看作由第二個布朗運動驅動的隨機過程。但是金融市場數據只支持波動率有界的假定,在此基礎上,LEVY等提出了不確定波動率模型,利用隨機控制技術,得到了歐式期權的對偶公式,但要求歐式期權不是路徑依賴型的,并指出解決此問題最大的難點在于處理一族不受控制的概率測度族,此類問題很難在概率框架下解決[6]。PENG通過偏微分方程定義了一類非線性算子G-期望及條件G-期望,研究表明G-期望可表示為一族概率測度下期望的上確界,還給出了G-布朗運動及其相關性質[7],并得到了Ito公式[8]。隨后,文獻[9]提出了G-框架下的Girsanov定理,為利用G-布朗運動來描述有價證券的價格變動提供了理論依據。

目前G-布朗運動相關研究多用于期權定價,還未廣泛應用于可轉換債券市場,考慮到可轉換債券內嵌看漲期權的特點,本文利用G-布朗運動刻畫標的資產價格的變化,建立金融市場數學模型,得到了G-布朗運動環境下的可轉換債券定價公式,由于G-期望難以計算,在文獻[7-9]的基礎上,采用G-框架下的相關理論及定義對標的資產價格進行數值模擬,結合蒙特卡洛方法對可轉換債券定價。并通過實證分析與傳統Black-Scholes模型定價結果作對比分析。

1 G-布朗運動環境下金融市場

數學模型

定義1[10]次線性期望空間(Ω,H,EG)上的一個隨機過程{Bt,t≥0}稱為G-布朗運動,如果?n∈N及0≤t1,…,tn<+,有Bt1,…,Btn∈H,且滿足:

ⅰ)B0=0;

沿用文獻[9]中的研究框架,利用非線性數學期望G-期望及G-框架下的Ito公式[8]建立金融市場數學模型。假設金融市場僅有2種證券。一種是無風險資產即債券,其價格滿足

dMt=rMtdt

(1)

式中：r為無風險利率。另一種風險資產即股票,其價格滿足

dSt=μStdt+StdBt

(2)

定理1St刻畫了波動率不確定條件下的資產價格過程,則隨機微分方程(2)的解

(3)

證明由G-框架下的Ito公式得

故

對?X∈Lip(Ω),定義

則若?ε0>0,使得

2 可轉換債券定價

假定市場是無摩擦的,即市場是沒有交易成本、稅收,沒有賣空限制,借貸利率相同,資產無限可分,資產交易在時間[0,T]上連續進行,也假定市場無套利機會。

下面用無套利思想為可轉換債券定價,投資者在時刻t∈[0,T]持有無風險資產和風險資產的數量(αt,bt),那么該投資者在t∈[0,T]時刻的財富過程

Vt=αtMt+btSt,0≤t≤T

(4)

對自融資交易策略(αt,bt),其對應的財富過程{Vt,0≤t≤T}滿足

dVt=αtdMt+btdSt,0≤t≤T

(5)

由式(4)～(5)有

dVt=rVtdt+bt[(μ-r)dt+dBt]

類似于文獻[11],構造輔助函數dΓt=aΓtdt+bΓtdt+cΓtdBt,Γ0=1,其中a、b、c為待定常數。對ΓtVt應用Ito公式

由G-條件期望的性質[12]

可得EG[VTΓT-VtΓt|Ft]=0,即

Vt=Γt-1EG[ΓTVT|Ft]

定理2 假定可轉換債券的轉換只可發生在債券到期時刻T,可轉換債券在時刻T的價值VT為

(6)

式中：P表示純債券價值；C表示轉換價格；Q表示債券面值；ST表示T時刻股票價格。則G-布朗運動環境下可轉換債券在0時刻價值為

(7)

證明因為

利用引理2中G-框架下的Girsanov定理,可得0時刻可轉換債券的價格為

V0=EG[ΓTVT]=

Pexp(-rT)=

式中：P為風險中性概率測度；{Bt,t≥0}為標準布朗運動。

3 可轉換債券定價數值解法

3.1 參數估計

其中

3.2 股票價格軌道模擬

3.2.1G-正態分布模擬 根據上、下方差的估計值,利用標準正態分布的模擬思路[15],類似地可以模擬得到G-正態分布。

引理3[16]若X是服從G-正態分布的實值隨機變量,則有

EG[φ(X)]=u(1,0),φ∈Cl,Lip(R)

(8)

(9)

(10)

式中

圖 1 G-正態分布密度函數Fig.1 G-normal distribution density function

3.2.2G-布朗運動及二次變差過程模擬

定義2[18](二次變差過程)G-布朗運動的二次變差過程{t,t≥0}定義為

式中

ti

假設{Bt,t≥0}是G-布朗運動,對時間區間[0,t]進行下列的劃分

{ti|[0,t],0=t0

ti

令Δti=ti-ti-1,則有

(11)

其次,根據上述模擬得到的G-布朗運動的軌道{Bti,i=1,2,…,n},由定義2可以得到一條G-布朗運動二次變差的軌道。

最后,由式(3)可以模擬得到股票價格樣本路徑。

圖 2 股票價格5條樣本軌道Fig.2 5 sample tracks of stock price

3.3 可轉換債券定價

基于以上股票價格軌道的模擬過程,利用蒙特卡洛法[19]進行G-布朗運動環境下可轉換債券定價, 步驟如下:

1) 重復上述股票價格模擬過程m次,可得到m個股票價格到期日的值ST,1,ST,2,…,ST,m;

2) 若第i次模擬看漲期權價格為Ci=exp(-r(T-t))E[max(ST,i-K,0)],則期權價格的蒙特卡模擬值可表示為

例2 采用同樣的方法重復多次,可以得到多條標的資產期權的路徑圖。利用例1中的數據,取r=4.27%,C=7.45,P=96.10,Q=100。利用蒙特卡洛模擬計算期權價格見表1。

表 1 不同模擬次數下的歐式看漲期權價格Tab.1 European call option price under different simulation times

由表1可以看出,當模擬次數達到1 000次以上，時期權價格逐漸趨于穩定值18.80。

4 實證分析

選取長江證券在2018年8月31日至2019年10月14日期間每個交易日的收盤價以及長證轉債在2019年8月31日至2019年10月14日每個交易日的收盤價,采用當前5年國債利率為市場無風險利率,r=4.27%,對G-布朗運動環境下的可轉換債券定價進行實證分析。其中,債券期限為6年,發行面值為100元,初始轉股價格為7.60元/股,債券利率分別為第1年0.2%，第2年0.4%，第3年1.0%，第4年1.5%，第5年1.8%，第6年2.0%。所用數據來源于Wind數據庫及東方財富網。

4.1 參數確定

4.1.1G-布朗運動環境下參數估計 根據G-布朗運動參數估計方法及實際數據,可估計模型所用到的參數如下:

進行實證分析時,采用年化波動率,即

4.1.2 Black-Scholes模型下參數估計 利用下式進行參數估計：

根據實際數據得到以下參數估計結果:

即

4.2 可轉換債券數值模擬價格

已知2019年8月31日股票收盤價為6.95元,即初始價格S0=6.95元,利用4.1中參數估計值及可轉換債券數值模擬算法,可以分別得到G-布朗運動環境下和傳統Black-Scholes模型下長證轉債在2019年8月31日至2019年10月14日期間26個交易日的數值模擬價格,見表2。

基于以上數據,為了更直觀的衡量G-布朗運動模型與傳統Black-Scholes模型數值模擬價格與實際價格之間的差距,長證轉債26個交易日的模擬價格與實際價格對比如圖3所示。

表 2 可轉換債券數值模擬價格Tab.2 Numerical simulation price of convertible bond 單位：元

圖 3 長證轉債模擬價格與實際價格對比Fig.3 Comparison of simulated and actual prices of Changzheng convertible bond

由圖3可以看出,G-布朗運動數值模擬價格(單位：元)與傳統Black-Scholes模型相比更加符合實際價格變動趨勢,且與實際價格之間距離更小。

利用G-布朗運動模型和Black-Scholes模型下計算所得價格的均方誤差和相對誤差來衡量模型的優劣。均方誤差及相對誤差計算公式分別為

誤差計算結果見表3。由表3可見,在G-布朗運動環境下得到的可轉換債券價格與實際價格之間的均方誤差及相對誤差,均小于Black-Scholes模型,說明運用G-布朗運動模型的測量精度要高于傳統Black-Scholes模型。

表 3 長證轉債數值模擬價格的誤差對比分析Tab.3 Comparative analysis of errors in numerical simulation price of Changzheng convertible bond

5 結 語

利用G-布朗運動來刻畫股票價格變動,在減弱傳統Black-Scholes模型波動率確定的假設基礎上,研究了G-布朗運動下可轉換債券定價問題并得到了定價公式。以長證轉債數據進行實證分析,驗證了模型的可行性,也證明了該定價方法比傳統的Black-Scholes模型更加符合實際。