簡單拉壓超靜定問題求解思路淺析

游代喬

摘 要：在材料力學(xué)這門課程中，我們遇到的大多數(shù)情況的未知力僅靠靜力平衡方程可以求解，此類問題的稱為靜定問題，這樣的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)，若單憑靜力平衡方程無法求出全部的內(nèi)力和約束反力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題。本文針對受拉壓作用的一次超靜定問題作一個(gè)解題思路介紹。

關(guān)鍵詞：一次超靜定;變形協(xié)調(diào)方程;胡克定律

超靜定結(jié)構(gòu)的未知力的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，二者之差稱為超靜定的次數(shù)，如圖1所示結(jié)構(gòu)就是一次超靜定。圖中，1、2兩桿的存在就能維持節(jié)點(diǎn)A的平衡，在有三根桿件匯交于A點(diǎn)時(shí)，對維持節(jié)點(diǎn)A的平衡而言就多了一根桿件，也即多了一個(gè)約束，習(xí)慣上把維持平衡非必需的約束稱為多余約束，相應(yīng)約束反力稱為多余未知力。因而，超靜定的次數(shù)就等于多余未知力的數(shù)目。應(yīng)當(dāng)注意的是，多余約束并不是多余的，一般而言它對提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度是有幫助的。

要求出超靜定結(jié)構(gòu)的全部未知力，除了利用平衡方程外，還需要尋找補(bǔ)充方程，并且補(bǔ)充方程的數(shù)目應(yīng)等于多余未知力的數(shù)目。此處，先以圖1為例進(jìn)行分析。

例1 假設(shè)桿1、2的長度、橫截面面積和材料均相同，即A1=A2，E1=E2，l1=l2，桿3的橫截面面積為A3，彈性模量為E3，長度為l3，求各桿軸力。

兩方程中出現(xiàn)了三個(gè)未知數(shù)，屬于一次超靜定問題，因此需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程。

三根桿件受力發(fā)生了變形，但是變形后依舊交于一點(diǎn)，即各桿的變形必須相互協(xié)調(diào)以滿足結(jié)構(gòu)的連續(xù)性要求。桿件變形的這種限制條件，稱為變形協(xié)調(diào)條件。因此，各桿的變形量之間必然存在某種幾何關(guān)系。反應(yīng)各桿變形量之間幾何關(guān)系的方程稱為變形協(xié)調(diào)方程。利用胡克定律即可建立補(bǔ)充方程。

初學(xué)者在解決超靜定問題時(shí)，往往會有疑問：為什么變形該這樣假設(shè)呢？其實(shí)，變形的假設(shè)不是唯一的，比如進(jìn)行如圖7的假設(shè)也是正確的，但不能如圖8的方案假設(shè)。究其原因，是在建立變形協(xié)調(diào)方程時(shí)，應(yīng)遵循：變形不能破壞構(gòu)件;變形不能破壞約束;變形不能增加（減少）約束這樣三個(gè)原則。而圖8的假設(shè)則在A點(diǎn)人為增加了約束以此使A點(diǎn)的位置發(fā)生固定，因此假設(shè)不合理。

當(dāng)然，解題的方法是多種多樣的，本文提出的解題思路也不是唯一的。本文旨在針對拉壓一次超靜定問題的解題思路做一個(gè)簡單的介紹，希望能對初學(xué)者解決此類問題帶來一定的啟發(fā)。