考慮組合風(fēng)險(xiǎn)的指數(shù)化投資與隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制

李院德， 陳啟宏

(1.安徽省教育科學(xué)研究院，安徽 合肥 230061; 2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與金融數(shù)據(jù)研究中心，上海 楊浦 200433)

0 引言

指數(shù)化投資是通過購買全部或者部分標(biāo)的指數(shù)(例如S&P500、滬深300、恒生指數(shù)等)的成分證券，以追求組合收益率與指數(shù)收益率之間的跟蹤誤差最小化為業(yè)績評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的投資方式。作為被動(dòng)的投資組合方式，指數(shù)化投資具有能夠使投資者享有市場平均收益水平、分散投資風(fēng)險(xiǎn)、投資成本低廉、投資組合透明化等優(yōu)勢，因此日益受到投資者的親睞。 在經(jīng)濟(jì)整體陷于疲態(tài)的情況下，全球指數(shù)化投資產(chǎn)品規(guī)模繼續(xù)維持穩(wěn)定增長態(tài)勢，截至2016年9月，全球ETF產(chǎn)品(交易型開放式指數(shù)基金)規(guī)模首次突破了3萬億美元，亞洲地區(qū)的ETF產(chǎn)品規(guī)模也創(chuàng)造歷史新高，達(dá)到了3010億美元。在我國，上市指數(shù)基金產(chǎn)品發(fā)展較快，形成了一定規(guī)模，并且仍然有很大的發(fā)展?jié)摿ΑＲ虼耍P(guān)于指數(shù)化投資問題的研究頗具實(shí)際意義。

最早對(duì)指數(shù)化進(jìn)行研究的是Treynor和 Black，他們在1973年提出了組合收益率的跟蹤誤差的計(jì)量方法[1],將跟蹤誤差定義為投資組合的收益率序列與目標(biāo)指數(shù)收益率序列的線性回歸中的殘差的標(biāo)準(zhǔn)差。Perold在1984年采用均值方差模型對(duì)大規(guī)模證券投資組合進(jìn)行優(yōu)化[2],他在研究中指出均值方差模型也可以用于指數(shù)追蹤。 Franks在1992年采用MV(均值—方差)模型研究基于基準(zhǔn)組合的跟蹤問題，通過最小化跟蹤誤差，仿真了50年的跟蹤情況，得到了MV模型可以在低風(fēng)險(xiǎn)的情況下最小化跟蹤誤差的結(jié)果[3]。Pope and Yadav在1994年提出將跟蹤誤差定義為投資組合的收益率與目標(biāo)指數(shù)收益率的差值序列的標(biāo)準(zhǔn)差[4]。Gaivoronski, Krylov和Nico van der Wijst在2005年采用了一種二次優(yōu)化啟發(fā)式算法，研究了在一個(gè)動(dòng)態(tài)設(shè)置中選擇和再平衡最優(yōu)指數(shù)投資組合的問題[5]。近些年來，隨著隨機(jī)最優(yōu)控制理論的發(fā)展，一些學(xué)者開始運(yùn)用最優(yōu)控制理論研究指數(shù)化投資問題，其中Browne在1999年利用隨機(jī)控制的方法，研究連續(xù)時(shí)間情形如何使組合效用優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)，并給出了相關(guān)的結(jié)論[6]。 Zhou在2006年利用隨機(jī)最優(yōu)控制的方法在連續(xù)情形下進(jìn)行指數(shù)跟蹤[7],并通過實(shí)證研究展示了運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制方法進(jìn)行指數(shù)化投資的現(xiàn)實(shí)意義。 2008年，Amott and Hsu指出了在不完美市場條件下，市值指數(shù)的投資組合會(huì)因?yàn)閮r(jià)格噪音而導(dǎo)致其績效落后于非市值加權(quán)的投資組合績效[8]。此外，國內(nèi)對(duì)于指數(shù)化投資也有一些相應(yīng)的研究，如董裕平和段嘉尚在2013年探討了以我國A股市場上市公司的會(huì)計(jì)信息來編制基本面指數(shù)，并采用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行投資回測檢驗(yàn)[9]，該文也通過例子說明了研究開發(fā)一些適合我國資本市場發(fā)展階段的可投資的策略性指數(shù)產(chǎn)品，有利于增加市場的長線投資需求，引導(dǎo)多種投資理念，培養(yǎng)多元投資方式。 為了消除參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響，安曉敏2016年在線性跟蹤誤差的指數(shù)化投資組合研究中,考慮了模型參數(shù)為矩形不確定集、橢球不確定集的魯棒模型，通過實(shí)證發(fā)現(xiàn)該模型的解具有魯棒性和最優(yōu)性，且該模型與基準(zhǔn)模型的收益一致性較好，但跟蹤誤差較基準(zhǔn)模型大[10]。在商品指數(shù)化投資方面，李卓在2017年運(yùn)用線性映射的方法估算了商品指數(shù)投資者的頭寸,結(jié)合指數(shù)波動(dòng)因子VIX以及標(biāo)普500指數(shù),構(gòu)建了一個(gè)四元SVAR模型[11]。

股票市場指數(shù)是描述股票市場總的價(jià)格水平變化的指標(biāo)，它是構(gòu)成標(biāo)的指數(shù)的成份股票的綜合平均價(jià)格表現(xiàn)形式。指數(shù)化投資旨在追求組合收益率與指數(shù)收益率之間的跟蹤誤差最小化。若將市場標(biāo)的指數(shù)中的各成份股票的數(shù)量按相同的比例縮小，使縮小后的標(biāo)的指數(shù)的財(cái)富量I(t)與投資組合的財(cái)富總量x(t)在投資初期相等, 則可用|x(t)-I(t)|在時(shí)間上的累積量表示跟蹤誤差。于是指數(shù)化投資問題可以歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題。

類似于文獻(xiàn)[7]，本文考慮了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間兩種情形(對(duì)每種情形又分別討論有限時(shí)區(qū)和無限時(shí)區(qū)兩種情況)，證明了在這兩種情形下都能夠找到最優(yōu)的投資策略使得目標(biāo)泛函取得最小值。之所以分別討論有限時(shí)區(qū)和無限時(shí)區(qū)兩種情況，一方面，從理論的角度，這是兩種不同的類型，它們的求解方法有所不同;另一方面，從實(shí)際的角度，對(duì)于在特定時(shí)間段進(jìn)行的指數(shù)化投資，需要考慮有限時(shí)區(qū)的情況,而對(duì)于永續(xù)存在的指數(shù)型基金，則需要考慮無限時(shí)區(qū)的情況。

作為指數(shù)化投資的業(yè)績評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，本文提出極小化跟蹤誤差和投資組合的風(fēng)險(xiǎn)之和(其中風(fēng)險(xiǎn)用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的累積方差來衡量)，并假設(shè)組合風(fēng)險(xiǎn)在目標(biāo)泛函中的的權(quán)重為λ(λ>0)。若λ→0+則表明投資組合只注重跟蹤誤差的最小化，即文獻(xiàn)[7]的情形，本文在注記中將通過隨機(jī)最優(yōu)控制的例子予以說明。

另外，持有標(biāo)的指數(shù)中的所有成份股在實(shí)際操作中是有難度的(尤其是對(duì)于規(guī)模較小的投資組合)，本文假設(shè)指數(shù)化投資者是利用已選取好了的部分成份股票構(gòu)建投資組合，至于如何選股則并不涉及。

1 指數(shù)化投資的控制模型

1.1 連續(xù)時(shí)間模型

假設(shè)在完備概率空間(Ω,F,Ft,P)中，某一個(gè)市場指數(shù)(例如S&P500)由m只成份股票組成(假設(shè)在所考慮時(shí)段內(nèi)標(biāo)的指數(shù)的構(gòu)成不變),且每只股票的價(jià)格Si(t),i=1,2,…,m滿足隨機(jī)微分方程:

(1)

其中W(t)=(W1(t),…,Wm(t))T是m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(t∈[0,T],W(0)=0)。此外，假定無風(fēng)險(xiǎn)債券滿足:

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=S00

(2)

(3)

將市場上標(biāo)的指數(shù)各成份股的數(shù)量按相同比例縮小，使調(diào)整后的成份股財(cái)富量與投資組合的財(cái)富總量在投資初期相等。調(diào)整后市場上標(biāo)的指數(shù)成份股的財(cái)富量表示為(aj為調(diào)整后第j只股票的數(shù)量)：

(4)

于是

(5)

用|x(t)-I(t)|在時(shí)間上的累積量表示跟蹤誤差,則指數(shù)化投資問題可以歸結(jié)為如下的隨機(jī)控制模型(其中e-2ρt是貼現(xiàn)因子，T<+∞為有限時(shí)區(qū)的情況，T=+∞為無限時(shí)區(qū)的情況)：

(x(0),I(0),Si(0))=(x0,I0,Si0)

(6)

(x(0),I(0),S(0))=(x0,I0,Si0)

(7)

1.2 離散時(shí)間模型

在概率空間(Ω,F,P)中，假設(shè)某一市場指數(shù)由m只成份股組成(假設(shè)在所考慮時(shí)段內(nèi)標(biāo)的指數(shù)的構(gòu)成不變)，每只股票的價(jià)格Si(t),i=1,2,…,m滿足下面的差分方程:

(8)

其中W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))T是系統(tǒng)噪聲，t∈{0,1,…,T}時(shí)間變量，且過程{W(t),t=0,1,…,T}是二階平穩(wěn)事件，均值和協(xié)方差滿足E[Wi(t)]=0，E[Wi(k)Wi(l)]=δkl，其中δkl是Kronecker函數(shù)，i∈{1,2,…,n},k,l∈{0,1,…,T}。此外，假定無風(fēng)險(xiǎn)債券滿足：

S0(t+1)=rS0(t),S0(0)=S00

(9)

考慮實(shí)際情況，我們假設(shè)bi>r>1。

(10)

將市場上標(biāo)的指數(shù)各成份股的數(shù)量按相同比例縮小，使調(diào)整后的成份股財(cái)富量與投資組合的財(cái)富總量在投資初期相等。調(diào)整后市場上標(biāo)的指數(shù)成份股的財(cái)富量表示為(aj為調(diào)整后第j只股票的數(shù)量):

(11)

則有：

(12)

(x(0),I(0),Si(0))=(x0,I0,Si0)

(13)

2 最優(yōu)策略的存在唯一性

2.1 連續(xù)時(shí)間情形

定義1對(duì)于系統(tǒng)

(14)

若存在一個(gè)反饋控制u(t)=KY(t),使得閉環(huán)系統(tǒng)

(15)

由于滿足穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)(7)可以作如下變換：

則(7)變成如下的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題：

s.t. dY(t)=[AY(t)+Bu(t)]dt+

Y(0)=y0

(16)

在連續(xù)時(shí)間情形，我們有如下結(jié)論(為了方便證明，我們先給出如下引理)：

引理1對(duì)于線性微分方程：

(17)

證明由于方程(17)是線性的并且所有的系數(shù)是有界的，那么顯然存在唯一的一個(gè)解P∈C([0,T];Sn)。現(xiàn)在考慮下列隨機(jī)微分方程：

(18)

由文獻(xiàn)[12]第一章定理6.14可知方程(18)存在唯一且可逆的解Φ(t)。 利用伊藤引理，可以得到

上面等式兩邊同在[t,T]上積分

Φ(T)TP(T)Φ(T)-Φ(t)TP(t)Φ(t)

于是推得

兩邊取期望(利用伊藤過程的鞅性質(zhì)，最后一項(xiàng)伊藤積分的期望為0)，可得

P(t)=E{[Φ(t)-1]TΦ(T)TGΦ(T)Φ(t)-1+

因?yàn)镼≥0,G≥0，所以P(t)≥0。

定理1(連續(xù)時(shí)間情形最優(yōu)投資策略的存在唯一性)

(1)對(duì)于連續(xù)有限時(shí)區(qū)的情形，存在唯一的控制變量

使得隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題(16)的目標(biāo)泛函取得最小值，即利用隨機(jī)控制進(jìn)行指數(shù)化投資時(shí)，存在唯一的最優(yōu)策略使得跟蹤誤差與組合風(fēng)險(xiǎn)加權(quán)總和最小。其中P*、φ是以下方程的解:

(19)

(20)

(2)對(duì)于連續(xù)無限時(shí)區(qū)的情形，由于系統(tǒng)(16)均方能穩(wěn)，則該系統(tǒng)存在唯一的控制變量

使得隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題(16)的目標(biāo)泛函取得最小值，即利用隨機(jī)控制進(jìn)行指數(shù)化投資時(shí)，存在唯一的最優(yōu)策略使得跟蹤誤差與組合風(fēng)險(xiǎn)加權(quán)總和最小，其中Pmax是以下方程的最大解：

(21)

證明(1)隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制的經(jīng)典解法是借助于Riccati方程求解。若(19)和(20)有唯一解P*、φ，則系統(tǒng)(16)的最優(yōu)控制為：

以下證明(19)和(20)存在唯一解。由之前的矩陣變換，顯然有R>0,Q≥0，我們?nèi)菀讓⑹?19)變?yōu)椋?/p>

(22)

作如下迭代：

則可以得到一列Pi滿足下面的方程：

由引理1可知Pi(t)≥0，下面我們證明Pt≥Pi+1。

首先我們同樣可以寫出Pi+1滿足下面的方程：

兩式相減可得：

(23)

令Δi=Pi-Pi+1,Λi=Ψi-Ψi-1，則有：

=B(Ψi-Ψi-1)=AΛi

又因?yàn)椋?/p>

=0

則(23)式可以變?yōu)椋?/p>

因?yàn)镻1≥P2≥…≥Pi≥Pi+1≥…≥P≥0，則有：

則有P為Riceati方程(19)的解。

下面證明唯一性：

假設(shè)P和P*是方程(2.8)的兩個(gè)解，則它們分別滿足如下方程：

(24)

(25)

再令Δ=P-P*,Λ=Ψ-Ψ*，其中Ψ*的定義與上面的相似，(24)～(25)則有:

由引理可知P≥P*，同理再令(25)～(24)同理可以證明P*≥P，從而便有P*=P，這就證明了唯一性。容易發(fā)現(xiàn)(22)是一個(gè)一階線性微分方程，顯然存在唯一解，從而定理得證。

(2)類似于有限時(shí)區(qū)的情形，無限時(shí)區(qū)的線性二次最優(yōu)控制問題仍可借助于Riccati方程(19)求解，在系統(tǒng)(16)均方能穩(wěn)的條件下若(19)有最大解Pmax，則(16)的最優(yōu)控制即為：

2.2 離散時(shí)間情形

定義2對(duì)于系統(tǒng)

(26)

若存在一個(gè)反饋控制u(t)=KY(t),使得閉環(huán)系統(tǒng)

(27)

定義3考慮下面的隨機(jī)系統(tǒng)：

定義4對(duì)于以下系統(tǒng)：

(28)

若Z(t)≡0,a.s.,?t∈N?Y(s)=0，則稱系統(tǒng) (A,A1,…,Am;C)(或(28))是精確能觀的。

引理2若系統(tǒng)(A,A1,…,Am)是均方能穩(wěn)的，則對(duì)任意的Q≥0,下面的Lyapunov方程：

(29)

存在唯一的解P≥0。

下面證明P是唯一的。在系統(tǒng)(26)中，令u(t)≡0,P(0)=P(1)=…=P(T+1)=P,從而對(duì)任意的Y(s)∈Rn，有:

Y(0)TPY(0)-E[Y(T+1)TPY(T+1)]=Y(0)TPY(0)-E[Y(T+1)TPY(T+1)]

對(duì)于離散無限時(shí)區(qū)的情形，我們給出兩個(gè)假設(shè)條件：

(L1)系統(tǒng)(A+BK,C1+D1K,…,Cm+DmK)是均方能穩(wěn)的。

由于滿足(L1)，(L2)，我們可以對(duì)系統(tǒng)(13)作如下變換：

則離散有限時(shí)區(qū)的控制模型轉(zhuǎn)化為：

s.t.Y(t+1)=AY(t)+Bu(t)+

Y(0)=y0

(30)

在離散時(shí)間情形，我們有如下結(jié)論：

定理2(離散時(shí)間情形最優(yōu)投資策略的存在唯一性)

(1)對(duì)于離散有限時(shí)區(qū)的情形，存在唯一的控制變量

使得問題(30)的目標(biāo)泛函取得最小值，即利用隨機(jī)控制進(jìn)行指數(shù)化投資時(shí)，存在唯一的最優(yōu)策略使得跟蹤誤差與組合風(fēng)險(xiǎn)加權(quán)總和最小，其中P*(t),t=0,…,T是如下Riccati方程的解:

(31)

(2)對(duì)于離散無限時(shí)區(qū)的情形，若系統(tǒng)還滿足條件(L1)和(L2)，則存在唯一的控制變量

使得問題(30)的目標(biāo)泛函取得最小值，即利用隨機(jī)控制進(jìn)行指數(shù)化投資時(shí)，存在唯一的最優(yōu)策略使得跟蹤誤差與組合風(fēng)險(xiǎn)加權(quán)總和最小，其中P*(t),t=0，1，…，是如下Riccati方程的解：

(32)

證明(1)對(duì)于離散有限時(shí)區(qū)的情形問題(30)相應(yīng)的Riccati方程為(31)，由于(31)是有限時(shí)區(qū)差分方程，故存在唯一解P*(t),t=0,…,T,從而容易得到(31)存在唯一的最優(yōu)控制。

(2)對(duì)于離散無限時(shí)區(qū)的情形，問題(30)相應(yīng)的Riccati方程為(32)。以下證明在條件(L1)和(L2)下，(32)存在唯一解P*(t)>0,t=0,1,…：

第1步證明(32)有解P(t)≥0。 首先考慮有限時(shí)區(qū)離散LQ問題，我們的目標(biāo)是尋找u(0),u(1),…,u(T),使得

顯然VT(Ys)隨著T的增大而增大，且下面的Riccati方程:

=VT1-t(Y0)≥VT-t(Y0)

又如果0≤t1≤t2≤T，顯然有PT(t1)≥PT(t2)，從而PT(t)相對(duì)于T是遞增的，相對(duì)于t是遞減的。

另一方面，因?yàn)橄到y(tǒng)(30)是穩(wěn)定的，故存在u1(t)=K1Y(t)使得閉環(huán)系統(tǒng)(27)均方能穩(wěn)，所以對(duì)任意的Y0∈Rn，存在常數(shù)c1滿足：

此外還有：

對(duì)于?T∈N,?t≤T有：

c‖Y0‖≥J(Y0,u1)≥V(Y0)≥VT-t(Y0)

第2步證明P>0且唯一。 先證明P>0，否則存在Ys≠0使得PY0=0，將(32)寫成:

(33)

令u(t)=KY(t)，則對(duì)任意的T∈N

=-E[Y(T+1)TP(T+1)]≤0

3 注記

上文證明了連續(xù)/離散情形下，運(yùn)用隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制進(jìn)行指數(shù)化投資的最優(yōu)策略的存在唯一性。人們自然會(huì)想到，當(dāng)組合風(fēng)險(xiǎn)在業(yè)績評(píng)價(jià)中的權(quán)重λ→0+(即投資組合只注重跟蹤誤差的最小化而不考慮降低組合風(fēng)險(xiǎn))時(shí)，本文中最優(yōu)投資策略的極限應(yīng)該就是文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。以下我們將通過連續(xù)/離散情形隨機(jī)最優(yōu)控制的例子予以說明。

例1求解如下最優(yōu)控制問題:

s.t. dx(t)=[x(t)+u(t)]dt+[x(t)+u(t)]dW(t)

x(0)=x0

解首先要求系統(tǒng)必須是均方能穩(wěn)的，假設(shè)反饋控制為u(t)=ax(t)，則有:

dx(t)=(1+a)x(t)dt+(1+a)x(t)dW(t)

由伊藤引理有:

dE(x(t)2)=(3+a)(1+a)E(x(t)2)dt

例2求解如下最優(yōu)控制問題：

s.t. dx(t)=[x(t)+u(t)]dt+[x(t)+u(t)]dW(t)

x(0)=x0

解由例1知-3

由上可知，當(dāng)ε→0+時(shí)，例2中最優(yōu)控制的極限即是例1中的最優(yōu)控制。

對(duì)于離散時(shí)間情形，我們給出如下例子：

例3求解如下最優(yōu)控制問題:

s.t.x(t+1)=[x(t)+u(t)]+u(t)W(t)

x(0)=x0

解首先要求系統(tǒng)必須是均方能穩(wěn)的，假設(shè)反饋控制為u(t)=ax(t)，則有：

Ex(t+1)2=(a+1)2Ex(t)2+a2Ex(t)2

=(2a2+2a+1)Ex(t)2

則當(dāng)|(2a2+2a+1)|<1時(shí)，即-1

例4求解如下最優(yōu)控制問題:

s.t.x(t+1)=[x(t)+u(t)]+u(t)W(t)

x(0)=x0

解首先要求系統(tǒng)必須是均方能穩(wěn)的，假設(shè)反饋控制為u(t)=ax(t)，由例3可知當(dāng)-1

令ε→0+，對(duì)最優(yōu)反饋控制變量兩邊取極限可得：

由上可知，當(dāng)ε→0+時(shí)，例4中最優(yōu)控制的極限即是例3中的最優(yōu)控制。

4 小結(jié)

本文將考慮組合風(fēng)險(xiǎn)的指數(shù)化投資問題歸結(jié)為隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題。 本文的主要結(jié)論是：對(duì)于有限時(shí)區(qū)的情況，無論是連續(xù)還是離散時(shí)間情形，最優(yōu)控制都唯一存在，即利用隨機(jī)最優(yōu)控制進(jìn)行指數(shù)化投資，最優(yōu)投資策略唯一存在并且可以精確求解；對(duì)于無限時(shí)區(qū)的情況，在連續(xù)時(shí)間情形，本文證明了系統(tǒng)在均方能穩(wěn)的條件下存在唯一的最優(yōu)投資策略；在離散時(shí)間情形，當(dāng)系統(tǒng)均方能穩(wěn)且精確能觀時(shí)最優(yōu)投資策略是存在的，且相應(yīng)的Riccati方程存在唯一的正定解。 本文還通過隨機(jī)最優(yōu)控制的例子說明了文獻(xiàn)[7]所討論的問題，可以視為本文的模型當(dāng)λ→0+(即投資組合只注重跟蹤誤差的最小化而不考慮降低組合風(fēng)險(xiǎn))時(shí)的極端情形。

然而，在實(shí)際投資中，由于各種外生因素的影響，往往需要不斷調(diào)整模型的反饋控制函數(shù)的參數(shù)，以使目標(biāo)系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。這樣頻繁的更新反饋控制往往會(huì)使系統(tǒng)陷入局部最優(yōu)而不是全局最優(yōu)。其實(shí)，這也是用數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實(shí)問題存在的一個(gè)共同的問題，值得進(jìn)一步研究。 另外，由于側(cè)重理論推導(dǎo)，未進(jìn)行實(shí)證分析，本文模型對(duì)于市場實(shí)踐的應(yīng)用價(jià)值尚待檢驗(yàn)，擬作進(jìn)一步研究。