加權冪平均復合判斷矩陣的群體AHP一致性研究

周金明, 蘇為華, 朱曉臨

(1.安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000; 2.浙江工商大學 統計與數學學院，浙江 杭州 310018; 3.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009)

0 引言

運籌學家Saaty教授[1]提出的層次分析法 (Analytic Hierarchy Process，簡記為AHP) 是一種實用的多準則決策方法。該方法把一個復雜決策問題表示為一個有序的遞階層次結構，通過專家的比較判斷，計算各種決策方案在不同準則及總準則之下的相對重要性量度，從而據之對決策方案的優劣進行排序[1～4]。

專家判斷的偏好關系已廣泛應用于綜合評價中，偏好關系的元素形式很多，主要有語言型[5～8]和數值型[9～13]兩種偏好關系。群體綜合評價問題中一般利用選擇模型和共識模型處理偏好關系，并給出最終方案。選擇模型，即集結方法和權向量法。在群體決策中使用的最廣泛的兩種集結方法就是判斷矩陣的集結(AIJ)和權向量的集結(AIP)。當使用特征向量法作為權向量法時，一些學者對AIJ和AIP存在一些爭議。Ramanathan和Ganesh[14]認為采用特征向量法作為權向量法時，AIJ法違背了Pareto準則[15]，建議使用AIP法。Forman和Peniwati則認為AIP和AIJ的采用受不同的條件限制，是否使用AIJ或AIP取決于群體是否是一個合作的整體[16]。然而，當使用對數最小二乘法最為權向量法(RGMM)時,Barzilai和Golany表示AIJ和AIP是等價的[17]。然而，在共識模型中如何確定最終方案，關鍵在于專家個體偏好的集成以及一致性的共識判定。判斷矩陣的一致性是群體綜合評價的一個重要方面。一致性是所有決策者就所有可能的替代方案達成完全一致的意見[18～25]。事實上,在群體評價中，由于每個成員的知識結構，評判水平，個人偏以及信息的不確定性，多樣性，模糊性等眾多因素的影響，群體幾乎不可能對所有問題達成完全一致的共識，以至于有時決策結果偏離客觀現實太遠，不具有說服力。因此，研究群體評價的共識模型具有重要意義。一致性測度[19,26]作為一種軟共識測度不僅可以降低評價成本，而且可以衡量評價者之間的差異，也是共識模型的基礎。

縱觀現有文獻，一方面，國內外學者關注群體AHP中判斷矩陣的構造方法(正互反判斷矩陣、互補判斷矩陣)，判斷矩陣的靈敏度問題,一致性檢驗問題,判斷矩陣的調整(修正)和標度選擇合理性問題以及滿意一致臨界值(C.R.<0.1)的科學性等問題；另一方面，主要是判斷矩陣的不確定數據屬性選擇問題即研究區間數AHP，三角(梯形)模糊數AHP，二元語義數AHP，直覺模糊數AHP，猶豫模糊AHP，云模型AHP等問題。然而，如何實現群體專家偏好的集結是群體AHP判斷無法逃避的現實問題即如何實現復合判斷矩陣的集成，它也是處理專家偏好的基礎和核心內容。利用加權冪平均集成技術進行群體偏好意見的集結是有意義的。加權幾何平均法是一種最常用的群體偏好集結方法，如果專家或決策者給出的判斷矩陣具有完全一致性，則加權幾何平均復合判斷矩陣也具有完全一致性[27]。但是，若由專家給出的判斷矩陣中有一些不具有完全一致性，則集結后的判斷矩陣不具有完全一致性[28,29]。幾何平均以及算術平均都是冪平均的特殊情形而已。關于其他冪次的加權冪平均復合判斷矩陣一致性問題的研究并不多見；另外，考慮到群體AHP判斷期望群體專家成員之間的意見趨同(收斂)，采用加權調和平均平均復合判斷矩陣方法進行群組判斷矩陣的集成；進一步地，分析和研究其他冪次平均復合判斷矩陣集成的性質。綜上所述，需要對冪平均復合判斷矩陣的一致性問題進一步研究，主要從以下幾個方面進行討論：(1)若專家群體判斷矩陣均具有滿意一致性,則其他類型的加權冪平均復合判斷矩陣是否也具有滿意一致性？(2)當判斷矩陣滿意一致時，冪平均的次數與一致性指標的關系如何？是否冪平均的次數越高，一致性越好?(3)判斷矩陣的階數對滿意一致性的影響如何；(4)復合判斷矩陣滿意一致性比率關于專家權數靈敏性問題。

1 基本概念與理論

定義1設A=(aij)n×n(i,j=1,2,…,n)為判斷矩陣，若

aij=aikakj,(i,j,k=1,2,…,n)

(1)

成立，稱判斷矩陣A是完全一致的。

定義2設A=(aij)n×n為判斷矩陣，矩陣的抽象冪運算為

(2)

定義3設判斷矩陣A=(aij)n×n，B=(bij)n×n的Hadmard積為C=A?B，其中，

cij=aijbij,(i,j=1,2,…,n)

(3)

定義4設判斷矩陣A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，矩陣的抽象加法運算為C=A⊕B，其中，

(4)

定義5稱A=(aij)n×n為擬次序判斷矩陣，若滿足當ij時，總有aij≤1。

(5)

定義7設判斷矩陣A(h)(h=1,2,…,m)，f(·)為正實數域上非負單調冪函數，加權冪平均(WPM)算子定義為

(6)

注1當s=1時，WPM算子即為加權算術平均(WAM)算子

(7)

注2當s=2時，WPM算子即為加權平方平均(WSM)算子

(8)

注3當s→0時，WPM算子即為加權幾何平均(WGM)算子

(9)

注4當s=-1時，WPM算子即為加權調和平均(WHM)算子

(10)

(11)

表1 隨機生成矩陣的一致性指標值的均值

由矩陣的抽象加法“⊕”和乘法“?”運算的定義可知：運算具有可交換性、可結合性等優良性質；運算卻不具備數乘可分配性和乘法對加法的可分配性。

性質1A?B=B?A。

性質2(A?B)s=As?Bs,s∈R。

性質3A?B?C=A?(B?C)=(A?B)?C。

性質4A⊕B=B⊕A。

性質6A⊕B⊕C=A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C。

性質1～6的證明：A?B=C,B?A=G,cij=aijbij=bijaij=gij,∴C=G,性質1成立。

A?B?C=P,pij=aijbijcij=aij(bijcij)=(aijbij)cij,∴A?B?C=A?(B?C)=(A?B)?C,性質3成立。

∴A⊕B=B⊕A,性質4成立。

性質5成立。

∴A⊕B⊕C=(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C),性質6成立。

注5A?(B?C)≠(A?B)⊕(A?C)。

A?(B⊕C)=P=(pij)n×n

(A?B)⊕(A?B)=T=(Tij)n×n

∴pij≠tij。

A?(B⊕C)≠(A?B)⊕(A?C)。

2 主要結果

H≤G≤A≤S

(12)

定理的證明：

因為A(h)(h=1,2,…,m)是滿意一致矩陣，從而有

3 數值算例

設有四個專家針對四個指標分別進行評價得到擬次序判斷矩陣A(h)(H=1,2,3,4)，并給出各專家判斷矩陣的權重向量以及一致性比率(見表2)。

表2 專家判斷矩陣的計算結果

依據一致性比率C.R<0.1，可知四個專家判斷矩陣均通過一致性檢驗，是滿意一致性矩陣。

(1)若假設四個專家中沒有權威專家，不妨設權重為k1=k2=k3=k4=0.25。此時，計算得到的加權調和平均復合矩陣為

(2)若四位專家的權重有差異，不妨設k1=0.1,k2=0.2,k3=0.3,k4=0.4。經計算得到的加權調和平均復合矩陣為

計算結果表明：在等權重、非等權重的情形下，所得加權調和冪平均復合判斷矩陣均為滿意一致性矩陣，一致性比率關于專家權重的擾動靈敏度較低。

利用上述四個專家判斷矩陣，針對冪平均次數為s=1(加權算術平均)和s→0(加權幾何平均)的兩種情形下，分別計算出復合判斷矩陣的一致性比率并與本文方法進行比較。從表3可以看出，三種冪平均復合判斷矩陣具有近似的權重向量，均為滿意一致矩陣，一致性指標值在0.0440附近，本文方法(s=-1)的一致性比率最小。

表3 冪平均復合判斷矩陣的選擇方法與結果比較

然而，其他冪平均的次數如何影響一致性比率未知，計算它們之間的變化規律(見圖1)。

從圖像上可以發現，四階判斷矩陣隨著冪平均的次數的變化，一致性比率的變化關于次數s的圖像呈凹函數關系，且具有以下特征：

(1)當s∈(-∞,-1.23)∪(1.23,+∞)時，C.R>0.1，即復合判斷矩陣不是滿意一致的；

(2)當s→0時，C.R→0， 此情形下的復合判斷矩陣趨于完全一致矩陣；

(3)當s∈[-1.23,1.2]時，C.R<0.1復合判斷矩陣為滿意一致矩陣。采用專家判斷矩陣的數據計算復合判斷矩陣過程中，考慮不同的復合判斷矩陣結構的三種情形下對一致性比率的影響：

圖1 冪平均的次數與一致性比率的關系(n=4)

表4 調和平均復合判斷矩陣的一致性比率

圖2 三種情形下的調和平均的次數與復 合判斷矩陣一致性比率的關系

當冪平均的次數改變時，三種情形下的這種相似性比較明顯(見圖2)，從圖形上看，當冪平均次數小于時，情形(2)的一致性較差，情形(3)的一致性最佳；而當冪平均次數大于1時，情形(3)的一致性反而最差，情形(2)的一致性表現的效果最佳。本文提出的方法即對判斷矩陣中大于1的元素進行冪平均的效果介于兩者之間，一致率的效果表現適中，本文方法所得復合判斷矩陣的一致性比率相對比較穩定。

從判斷矩陣的階數來看，冪平均復合判斷矩陣的一致性比率會隨著階數的升高呈下降趨勢，即評價體系的指標數越多，經冪平均復合后的判斷矩陣一致性程度效果越好。有趣的是，隨著階數的升高一致性比率關于冪平均的次數仍呈先減少后增加的趨勢，且在當s→0時，復合判斷矩陣趨于完全一致矩陣(見表5)。

表5 冪平均次數、判斷矩陣階數對復合判斷矩陣一致性比率的影響結果

續表5

4 結束語

群體評價中專家判斷矩陣的復合及其構成的復合判斷矩陣一致性研究是十分有意義的。本文針對加權冪平均復合判斷矩陣的一致性問題進行了研究和探索，結果表明：

(1)冪平均的次數會影響復合判斷矩陣的一致性，冪平均的次數在有限區間內保證復合判斷矩陣的滿意一致性，有限區間長度同時依賴于判斷矩陣的階數與冪平均的次數，且一致性比率是關于冪平均次數的凹函數；當判斷矩陣的階數n=4時，復合后判斷矩陣滿意一致性的冪平均次數有限區間為[-1.23,1.2],隨著階數的升高，有限區間的區間長度會隨之增加；

(2)判斷矩陣的階數越高，對專家給出判斷矩陣的難度加大，然而隨著判斷矩陣階數的升高，一致性比率會呈遞減趨勢，即專家的共識趨同；

(3)專家的權數對于一致性比率影響較小，即專家權數的靈敏度較低，給定權數擾動后不會影響復合判斷矩陣的滿意一致性。

然而，在判斷矩陣階數任意給定的一般情形下，尚未給出使得冪平均復合判斷矩陣也為滿意一致矩陣的有效區間。下一步的研究方向是進一步研究冪平均復合判斷矩陣一致性問題的理論基礎，分析復合判斷矩陣的最優冪平均次數以及專家判斷矩陣內部元素的波動性對復合判斷矩陣一致性的影響機制，構建模型從而實現群體評價中的共識判斷。