MatlabPDE工具包在電場電勢可視化教學中的應用

張勇　吳衛華

摘 ? ?要：為了使學生更易理解電場、電勢以及兩者之間的關系，需要在電場電勢教學中采用可視化教學方式。展示了如何利用Matlab PDE工具包描述電場、電勢以及兩者之間的關系，并進一步提出了應用實例。PDE工具包可以形象地表示出帶電體的電場、電勢以及兩者之間的關系，并且在使用過程中不需要任何編程基礎。Matlab PDE工具包可以在大學物理電場電勢教學中廣泛地加以推廣。

關鍵詞：Matlab;PDE工具包;可視化教學;電場;電勢

中圖分類號：O441;G642.4 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-7394（2020）02-0087-07

“大學物理”是大學理工科非物理類專業學生一門重要的通識必修基礎課。由于課程中的某些概念比較抽象，學生不易理解，因此，需要結合圖形將難以理解的物理概念及公式形象地表示出來，即構建可視化的大學物理教學方式。在電場電勢章節教學中，我們發現，學生對復雜帶電體的電場、電勢以及兩者之間關系的理解有困難，雖然大多數教材都配套了對應的PPT（Microsoft Office PowerPoint），其中也含有一些對于帶電體電場以及電勢的形象描述，但是仍不夠全面，這就要求教師嘗試掌握一種直觀、形象描述電場、電勢的方法，采用可視化教學方式十分必要。

Matlab是由美國MathWorks公司出品的一款商業數學軟件，可實現矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法等應用。目前，Matlab在科研及教學領域已得到普及，并且被廣泛應用于大學物理可視化教學。[1-4]但是，在應用過程中需要使用者有相應的Matlab編程基礎，這對初學者而言還是有一定困難的。

Matlab中的PDE工具包（Partial Differential Equation （PDE） Toolbox）是一款強大的軟件工具包，它為使用者求解偏微分方程提供了方便。使用者可以用其解決結構力學、電磁場、熱傳導等問題。PDE工具包對使用者的編程能力沒有任何要求，使用者只需在操作界面中畫出相關問題涉及的圖形分布，設置邊界條件及相關參數，即可得出所求物理量的解;因此，這款工具包適合教師在教學中使用。本文將探討在“大學物理”電場電勢教學中，如何使用PDE工具包描述各種帶電體產生的電場、電勢以及兩者之間的關系。

1 ? 使用PDE工具包描述電場

電場與電勢的關系為：

[E=-??V]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

公式中[E]為電場矢量，V代表電勢。麥克斯韋方程組以及電場與電位移矢量關系為：

[??D=ρ]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

[D=εE]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中：[D]為電位移矢量，[ρ]為電荷密度，[ε]為介質的絕對介電常數。由公式（1）（2）（3）可以導出：

[-??（ε??V）=ρ。] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

求解公式（4）需要知道三個條件：電荷密度分布[ρ]，絕對介電常數[ε]以及邊界條件（邊界處的電勢V）。公式（4）中的電勢分布得出后，公式（1）中的電場分布即可通過解偏微分方程的辦法來得出。PDE工具包正是利用求解偏微分方程的辦法，得出帶電體的電場以及電勢分布。

使用PDE工具包描述帶電體的電場以及電勢的步驟如圖1所示。

利用PDE工具包描述帶電體的電場以及電勢的步驟為：（1）選擇應用模式為“Electrostatics”;（2）進入“Draw Mode”并畫出帶電體的形狀;（3）進入“PDE Mode”并設置帶電體周圍電介質的絕對介電常數[ε]以及帶電體的電荷密度分布[ρ];（4）進入“Boundary Mode”并設置邊界處的電勢V。其中，（2）至（4）步驟是為了設置解公式（1）（4）的三個必要條件。因此，PDE 工具包可以通過解偏微分方程的辦法求解出公式（1）（4）中的電場以及電勢分布，最后一步只需進入工具包中的畫圖設置，并進一步點擊畫圖按鈕，即可得出電場以及電勢分布。

2 ? 應用舉例

2.1 ?點電荷的電場及電勢

圖2展示了真空中點電荷的電場以及電勢，其中：（a）圖由PDE 工具包實現，PDE 工具包只需在圖形界面中畫出點電荷（這里是一個平面點電荷，相當于一個極小的圓盤）并設置點電荷的帶電密度以及邊界處的電勢，即可表示出電場及電勢，圖中邊界處的電勢設置為0;（b）圖由Matlab程序實現，點電荷的電勢是已知的[V=q/4πεr]。因此，根據公式（1）只需要利用Matlab中的“gradient”命令來求電勢的梯度即可求出電場，具體的代碼如下：

[x，y]=meshgrid（-1.：0.1：1.，-1.：0.1：

1.）;%以0.1為步長建立平面數據網格

z=1./sqrt（x.^2+y.^2+0.04）; %寫出電勢表

達式

pi=3.1415927;

e0=8.85*10^（-12）; %設置真空介電常數

z=z/4./pi/e0;

[px，py]=gradient（-z）; %求電勢在x，y方

向的梯度即電場強度

contourf（x，y，z，20） ?%畫出等勢線

hold on %作圖控制

quiver（x，y，px，py，‘r） %畫出各點上電

場的方向

圖2（a）展現的是平面點電荷的電場與電勢（PDE工具包目前只能展示平面電荷的電場與電勢），圖2（b）所示是立體的點電荷的電場以及電勢。兩者從圖像上看有一定的區別，但是都能定性地表示出點電荷的電場、電勢以及兩者之間的關系，因此，在教學中兩者都可以使用。

2.2 ?復雜帶電體的電場及電勢

復雜帶電體的電場、電勢以及之間的關系可以利用PDE工具包或者編寫Matlab程序來實現。利用PDE工具包描述復雜帶電體的電場以及電勢只需簡單地畫出帶電體的形狀并進行相關設置，這對于教師來說十分方便易學;而利用Matlab編程來描述復雜帶電體的電場以及電勢，需要將帶電體分解成很多個微小的帶電體（每個小帶電體可以近似看作點電荷），然后，利用已知的點電荷的電勢以及電勢疊加原理求解出復雜帶電體的電勢，再通過求電勢梯度得出電場分布。可見，通過編程求解復雜帶電體的電場以及電勢需要有一定的編程基礎，并且操作上不直觀，而利用PDE工具包求解則比較直觀、方便，并且不需要任何的編程基礎。所以，對于沒有編程基礎的教師，在電場電勢可視化教學中使用PDE工具包是十分便利的。

2.2.1復雜帶電體的電場

圖3展示了4種處于真空中的帶電體的電場方向，箭頭所示為所在位置電場的方向。其中：（a）圖為等電量正號點電荷（Q1= Q2）附近的電場;（b）圖為等電量異號點電荷（Q1= -Q2 ）附近的電場;（c）圖為電量不等的正號點電荷（Q1= 5Q2，Q1為左側電荷）附近的電場;（d）圖為長直均勻帶正電的物體附近的電場。可以看出：（1）電場線從正電荷出發，止于負電荷或者指向無窮遠處;（2）具有對稱性的帶電體的電場方向也具有一定的對稱性。

圖4展示了4種處于真空中的帶電體的電場大小，其中：（a）圖為等電量正號點電荷（Q1= Q2）附近的電場;（b）圖為等電量異號點電荷（Q1= -Q2 ）附近的電場;（c）圖為電量不等的正號點電荷（Q1= 5Q2，Q1為左側電荷）附近的電場;（d）圖為長直均勻帶正電的物體附近的電場。圖中的點電荷實際是由很小的平面圓盤電荷代替，并處于真空中，因此，相對介電常數為1。在實際操作中，我們設置真空介電常數[ε0] =1，因此，圖中電場的單位為1/[ε0]V/F。從圖中可以看出：（1）具有對稱性的電荷的電場大小也具有對稱性;（2）隨著電荷的增大，電場也增大（比較a、c圖）;（3）遠離電荷處的電場幾乎為0。

圖5為處于電介質中的等電量正號點電荷（Q1= Q2）附近的電場大小，其中：（a）圖中電介質的相對介電常數[εr]為2;（b）圖中電介質的相對介電常數[εr]為4。與圖4中的（a）圖比較可以得出，處于電介質中的電荷的電場比處于真空的電荷的電場小，電場的大小隨著電介質的相對介電常數的增加而減少。處于電介質中的電荷的電場方向與真空中的電荷的電場方向一樣，因此，本文中不再展示。

通過以上分析可見，利用PDE工具包可以形象地表示出復雜帶電體電場的大小、方向以及電介質對電場的影響。

2.2.2復雜帶電體的電勢及其與電場的關系

圖6展示了4種帶電體的電勢以及電場的方向，其中：（a）圖為等電量正號點電荷（Q1= Q2）附近的電勢以及電場;（b）圖為等電量異號點電荷（Q1= -Q2 ）附近的電勢以及電場;（c）圖為電量不等的正號點電荷（Q1= 5Q2，Q1為左側電荷）附近的電勢以及電場;（d）圖為長直均勻帶正電的物體附近的電勢以及電場。由圖6可以看出：（1）電場的方向處處與等勢線垂直;（2）沿著電場線的方向電勢是降低的;（3）對稱的帶電體的電勢以及電場都是對稱的，這與教材中的描述一致。可見，利用PDE工具包可以很容易地將帶電體的電勢及其與電場的關系以圖像的形式表現出來，并且這些圖像有利于學生對電場、電勢之間關系的理解。

2.3 ?平板電容器的邊緣效應

平板電容器兩極板間的邊緣效應一直是人們關注的話題[5-7]，電容器的邊緣效應對電容的性能有很大的影響，并且平板間電場的邊緣效應對“大學物理”實驗中電子束的電偏轉（“大學物理實驗”課程中有開設這一實驗）也有影響;因此，向學生直觀地展示出平板電容器兩極板間的邊緣效應，對“大學物理”以及實驗教學十分必要。如圖7所示，利用PDE工具包分析平板電容器間的電場，（a）（b）兩組電容器的帶電量以及材料都相同，但是電容器的板間距不一樣，所以具有不同程度的邊緣效應。（a）圖中兩極板間的電場在豎直坐標±0.4附近開始出現邊緣效應，而（b）圖中兩極板間的電場在豎直坐標±0.7附近才出現邊緣效應，可見板間距越大，兩極板間電場的邊緣效應越明顯，這也與文獻[8]中利用ANSYS仿真得出的結論一致。通過PDE工具包可以形象地表示出電容器兩極板間的電場以及電場的邊緣效應，這對于學生理解平板電容器構造及其邊緣效應是十分有幫助的。

3 ? 結語

本文探討了如何利用PDE工具包描述帶電體的電場及電勢，利用PDE工具包展示了點電荷的電場及電勢并與Matlab編程計算出的結果相比較，發現兩者都能很好地展示電場、電勢以及之間的關系。而對于復雜帶電體，PDE工具包使用起來比Matlab編程方便，并且不需要任何的編程基礎，因此，該工具包可以在“大學物理”電場電勢教學中廣泛加以應用和推廣。

PDE（Partial Differential Equation Toolbox）是一款強大的軟件工具包，它為使用者求解偏微分方程提供了方便。使用者不僅可以利用其分析電場電勢問題，還可以利用其分析解決結構力學、磁場以及熱傳導等問題;因此，該工具包也可以進一步應用到其他課程的教學中。

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責任編輯 ? 盛 ? ?艷

Application of Matlab PDE Toolbox in Visual Teaching of Electric

Field and Potential

ZHANG Yong，WU ?Weihua

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract： In order to make it easier for students to understand the electric field，the electric potential and the relationship between them，it is necessary to adopt the visual teaching method in the electric field and potential teaching. How to use Matlab PDE toolbox to describe electric field，electric potential and the relationship between them is shown，and the application examples are also shown in the paper. The PDE toolbox can show the electric field，electric potential and the relationship between them vividly，and it does not need any programming basis in the use process. Therefore，the PDE toolbox can be widely used in the teaching of the electric field and potential.

Key words： Matlab;PDE toolbox;visual teaching;electric field;electric potential

收稿日期： 2020-01-14

基金項目：國家自然科學基金資助項目“LHC能區小碰撞系統中奇異和重夸克介子的壓縮關聯”（11905085） ;江蘇理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 工學院基金項目“半導體合金薄膜的相變行為及信息存儲機理研究”（KYY18048）

作者簡介：張勇，講師，博士，主要研究方向為理論物理。