基于ARIMA模型的西安市國內生產總值預測分析

胡美

摘要：國內生產總值（GDP）是衡量一個國家經濟狀況的重要指標，對促進經濟增長和協助相關部門做出經濟決策具有重要意義。本文以陜西省西安市為例，選取西安市1983年至2019年GDP指標數據作為樣本，實證分析找到擬合 GDP 最優模型ARIMA（1，1，1）模型，對西安市GDP數據進行預估、檢驗。結果表明模型的GDP預測值與實際值誤差在5%以內。并運用模型預測西安市未來5年GDP數據。本文對GDP的指標分析具有一定現實意義，希望能為西安市的經濟決策提供參考。

關鍵詞：時間序列 ?ARIMA模型 ?西安市GDP

一、引言

GDP是衡量一個國家、一個地區經濟發展情況的重要指標依據。它是在一定時期內，一個國家或地區的經濟中所生產出的全部最終產品和勞務的價值，反映一國的國力與財富。西安市是國務院批復確定的中國西部地區重要的中心城市，是我國四大古都之一，也是聯合國科教文組織確定的“世界歷史名城”，具有悠久的古韻文化，但其經濟總量不高。2019年公布GDP數據雖同比增長7.0%，位居陜西省10市之首，但仍未破萬億元。為使西安市更加符合中心城市的要求，對其GDP數據的研究及相關經濟政策的提出，對衡量當地地區經濟狀況具有一定意義。

二、國內外研究現狀

目前，國內外許多學者對GDP的模型預測，大部分集中采用時間序列計量模型與灰色預測模型。時間序列計量模型適用于短期分析，灰色預測適用于通過少量的、不完整的信息，建立數學模型并進行預測。李守麗（2013）運用ARIMA（1，2，3）模型對鄭州市2011年到2015年GDP進行預測，模型誤差較小。楊探（2018）運用ARIMA（1，1，1）模型，使用1996-2012年的數據對我國城鎮居民人均可支配收入進行分析和預測，模型擬合效果較好。王爽、汪海飛（2010）選取1978-2019年海南省GDP數據為研究樣本，采用ARIMA（1，1，2）模型對海南省國內生產總值在平均誤差 5%內對其做出短期預測。戴琳琳（2019）選取青島市1990年至2014年GDP指標數據建立ARIMA（1，1，2）模型，對青島市 GDP 進行預測檢驗，模型的預測值與實際GDP 值誤差較小。對于西安市GDP預測模型研究較少，僅孫愛民（2020）選取西安市2010-2018年的GDP數據建立灰色GM（1，1）模型，對 2019-2023 年的 GDP 數據小誤差概率檢驗進行預測。

三、ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA模型全稱為自回歸求和移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡記ARIMA），是由博克思-詹金斯（Box-Jenkins）提出的一種用于進行時間序列預測的模型。稱為box-jenkins模型或者博克思-詹金斯法。ARIMA（p，d，q）稱為差分自回歸移動平均模型，AR是自回歸，p為預測模型中采用的時序數據本身的滯后數（lags），MA為移動平均，q為預測模型中采用的預測誤差的滯后數（lags），d為時間序列成為平穩序列所做的差分次數。常用自相關函數（ACF）與偏自相關函數（PACF）判斷（p，q）。AR自回歸模型，MA移動平均模型，ARMA模型都是特殊的ARIMA自回歸積分滑動平均模型。

若序列{}通過d階差分轉化為平穩時間序列，即是一個平穩時間序列，且可以擬合成一個平穩可逆ARMA（p，q）模型，序列{}擬合成如下樣式：，稱為求和自回歸移動平均模型ARIMA（p，d，q）

d階差分運算表示為：

差分后的序列是原序列的若干序列值的加權和，可擬合成一個自回歸移動平均模型。當時，ARIMA（p，d，q）即為ARMA（p，q）模型

其中{}為白噪聲。給定{}與{}條件下，使用條件MLE估計ARMA（p，q），首先根據ACF（自相關系數）與偏自相關系數（PACF）判斷是否存在或情況，若則判斷模型為MA（q）

若，則，產生的擾動項與產生的擾動項無交集，即ACF在時等于0，出現截尾。PACF函數拖尾，不包含自回歸部分。

如果，則判斷模型為AR（p）

PACF函數在時都等于0，出現截尾。ACF函數逐漸衰減，拖尾，不包含移動平均部分。

若以上兩情況都不符合，ACF與PACF函數都拖尾。考慮ARMA（p，q）模型。

四、實證分析

（一）數據的處理

本文選取西安市1983-2019年的 GDP 數據作為研究對象，所有數據均來源于《陜西統計年鑒》，如表 1 所示。在其目前現有數據基礎上，根據 ARIMA 模型對西安市 GDP 進行預測，樣本數據區間為1983-2019年，將樣本外2015—2019 年的實際數據與預測數據進行對比，判斷模型的擬合效果誤差值，進而再預測 2020—2024 年西安市 GDP 的發展情況。

1.平穩性檢驗。將1983—2019 年西安市GDP數據做折線圖，如圖1所示，隨著時間的推移，直觀看出西安市GDP呈現指數增長趨勢，初步判斷為非平穩的時間序列。為了消除異方差以及指數趨勢，對其進行對數化處理，記為 lnGDP。

圖 1 西安市 GDP 的時間趨勢圖

對lnGDP采用ADF單位根檢驗，檢驗結果如下表

表2 lnGDP 的 ADF 檢驗結果

t-Statistic Protb.*

ADF統計量 -1.371277 0.8496

檢驗標準 1%臨界值 -4.28458

5%臨界值 -3.562882

10%臨界值 -3.215267

注：臨界值為MacKinnon（1996）one-sided p-values。

由檢驗結果得知ADF 統計量為-1.3713，該值明顯大于不同顯著性水平下的臨界值，對應P值大于顯著性水平，說明此時間序列存在單位根，lnGDP序列是非平穩的。建立模型必須是平穩序列，對 LNGDP 進行一階差分，一階差分序列記為 DlNGDP，并進行單位根檢驗。如表3所示，ADF 檢驗的統計量為 -3.6865，該值小于 5% 顯著性水平下的臨界值 -3.574，即單位根是不存在的，DlNGDP在 5% 顯著性水平下是平穩的時間序列。由此可知，DlNGDP序列是一階單整過程，存在一個單位根。DlNGDP～I（1），可對平穩的DlNGDP構建ARIMA（p，q）模型。

2.ARIMA 模型的建立和求解。運用博克思-詹金斯法，選擇合適的p，d和q值，對西安市lnGDP 的一階差分變量做自相關分析，圖2給出西安市lnGDP 的自相關（ ACF）系數和偏自相關（ PACF）系數圖。

從圖2根據表4判斷標準可以看出，自相關系數（ AC）與偏相關系數 （ PAC ）都是拖尾的。但無法確定具體的p與q，大致確定p=1，q=1，但因為信服力不夠，本文對其它模型AR（1），MA（1），AR（2），MA（2），ARIMA（1，1，2），ARIMA（1，1，1）進行建模，根據AIC準則、SC準則、R2，DW值確定最佳適合精準度最高的模型。結果如下表所示

根據表5可知，由DW自相關檢驗可知MA模型存在一階正自相關，從其余模型根據AIC準則，SC 準則越小越好，判斷其最優模型，發現ARIMA（1，1，1）模型優于其他模型，p值為1，q值為1，擬合效果較好。圖3是其模型運算結果。

可對lnGDP初步建立ARIMA（1，1，1）模型。利用 1983- 2019 年樣本數據建立 ARIMA 模型，結果見下表：取 p=1，q=1，建立 ARIMA（1，1，1）模型：

模型的R2= 0.99，D.W= 2.17

從表6看出模型的LM檢驗統計量0.7655水平上不拒絕原假設，即模型的殘差不存在序列相關，亦可從圖4中Q-Stat及其p值顯示認為殘差序列屬于白噪聲序列，即模型顯著有效。

由表7可得在0.7水平上不拒絕原假設H0：無異方差存在，即所建模型無異方差。

根據 ARIMA（1，1，1）模型對 2015—2019年西安市GDP 進行預測，繪制預測值與實際值誤差比較，算出5年的平均誤差為3.1252%在5%以內，誤差較小，預測準確度較好。

根據西安市1983-2019歷史數據，預測2020-2024 年GDP數據值分別為10208.46097億元、11442.64143億元、14304.41624億元、15953.99652億元，畫出擬合圖。

從預測中發現，西安市GDP隨著時間的推移呈現快速上升趨勢，有望于2020年突破萬億元大關，2024年突破1.5萬億元。呈現良好的發展趨勢，有助于西安市經濟繁榮發展。

五、結束語

通過求和自回歸移動平均模型建立的 ARIMA（1，1，1）模型較好地對西安市1983—2019年GDP非平穩時間序列數據進行了擬合，預測出 2020 年到2024 年西安市GDP數據，計算其平均誤差百分比為 3.1252%，控制在5%范圍內。為西安市政府制定一系列的經濟政策提供一定的決策依據。從預測數據中看出，西安市GDP數據有望在2020年突破萬億元大關。本文對GDP分析預測僅考慮其數值，但影響GDP數據的因素有很多，影響機制復雜，日后在考慮其它影響因素方面有待加強改進。

參考文獻：

[1]鄭少智，楊衛欣.基于ARIMA模型的我國國內生產總值的分析與預測[J].中國市場，2010，000（048）：24-25，28.

[2]李守麗.時間序列模型在地級市 GDP 預測中的應用[D].鄭州大學，2013.

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[6]孫愛民.基于改進GM（1，1）模型的西安市GDP預測[J].價值工程，2020，39（09）：88-92.

[7]王燕.應用時間序列分析 - 第 2 版[M].中國人民大學出版社，2008.

作者系西安工業大學經濟管理學院經濟學碩士研究生