矩陣式返向器與扁圓形返向器的動力學分析

劉明輝，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

現今應用較為普遍的返向器為扁圓形返向器與圓形返向器，其安裝布置形式為通過螺母上沿圓周均勻分布的安裝孔完成與滾珠和螺母的裝配[1]。矩陣式返向器作為一種新型的返向器，不同于普通返向器的安裝形式，它通過螺母軸向上的直槽插入螺母[2]，如圖1所示。每個返向通道之間的距離為一個導程，且為一列分布。矩陣式返向器使得滾珠絲杠副螺母具有更小的軸向尺寸，滾珠絲杠副也因此更為緊湊，在航空航天伺服機構中有很大的應用前景。

圖1 含矩陣式返向器的滾珠絲杠副模型 (局部)

目前，學者們已經對內循環滾珠絲杠副的返向器進行了動力學方面的研究與探討。在對仿真模型的處理上，大多采取了部分模型簡化的方式進行仿真，例如滾道形狀簡化[3]、返向器簡化[4]和螺母簡化[5]等，與實際使用情況相比仍有差距。本文將對原始的滾珠絲杠副模型進行仿真，比較分析兩種返向器在相同工況下的接觸特性，以獲得更加貼合實際的研究結論。

1 內循環返向器回珠曲線建模

研究了一種應用于航天伺服控制系統的含矩陣式返向器的滾珠絲杠副，由北京某研究所提供。該型號滾珠絲杠副的基本結構參數如表1所示。

表1 滾珠絲杠副結構參數

返向器的回珠曲線是影響滾珠運動循環流暢性的決定性因素之一[6]。本文中兩種返向器皆采用五次拋物線型回珠曲線，函數關系為[7]：

(1)

式中：θ為等距曲面方程的參數角，rad；ρ是球心到絲杠軸線的距離，ρ=ρ(x)，mm；系數A、B、C可由式(2)計算得到。

可解得系數A、B、C的關系式為：

(2)

(3)

式中：xF為回珠曲線與螺旋線交點的x坐標；λ為螺旋升角，rad。

根據五次拋物線型回珠曲線的設計方法，回珠曲線上點到軸的距離ρ可用偏離量υ表示，即

(4)

由于該曲線的對稱性，只需計算滾珠沿絲杠滾道爬升段、翻越絲杠滾道牙頂圓角段和經過絲杠滾道牙頂段3段曲線上ρ的值。其中，在每段曲線上回珠曲線到螺旋軸的距離ρ與偏離量υ的對應關系如表2所示。

表2 回珠曲線上的點到螺旋軸的距離ρ與偏離量υ的對應關系 單位：mm

其中: 偏離量υa、υb與α1的計算公式為：

(5)

(6)

在MATLAB中編寫上述函數關系并代入相關參數，并按以下順序進行求解：

1) 根據公式(3)求出xF的值；

2) 通過公式(2)求出系數A、B、C；

3) 通過公式(5)求出υa與υb，通過公式(4)計算得到每段曲線交界處的x的值；

4) 通過表2中偏離量υ的取值范圍得到每段回珠曲線中x的區間。

MATLAB計算的參數值如表3所示，五次拋物線型回珠曲線如圖2所示。

表3 返向器回珠曲線相關參數表

圖2 MATLAB中生成的五次拋物線型回珠曲線

2 滾珠絲杠副的動力學分析

2.1 滾珠絲杠副建模

在Creo 3.0中完成絲杠、螺母、滾珠鏈和返向器的建模，并按照順序進行裝配[8]，將模型另保存為Parasolid(.x_t)格式。除返向器以及對應的螺母結構不同外，其余的尺寸參數皆相同。其中，矩陣式返向器模型如圖3(a)所示，扁圓形返向器模型如圖3(b)所示；兩種滾珠絲杠副模型分別如圖4(a)、圖4(b)所示。

圖3 兩種返向器模型

圖4 兩種滾珠絲杠副裝配模型

2.2 基于ADAMS的動力學仿真

首先，在ADAMS中導入2.1節里創建的Parasolid(.x_t)文件，設定滾珠絲杠副各部分的材料屬性如下：絲杠、螺母、返向器、滾珠的材料均為鋼，各零件的彈性模量、泊松比、密度數值相同，分別為2.07×105MPa、0.29、7.8×10-6kg·mm-3。

然后給各個構件之間添加約束與接觸，如表4所示。

表4 滾珠絲杠副約束與接觸設置

最后對轉動副添加驅動，對螺母端部施加軸向力并進行仿真。驅動角速度曲線如圖5所示。圖5中，在螺母位移相同的前提條件下設置不同轉速條件下的仿真時間。

圖5 絲杠驅動角速度曲線

根據含矩陣式返向器的滾珠絲杠副的實際使用工況，設定滾珠絲杠副在ADAMS中進行動力學仿真的4種工況條件，如表5所示。通過不同工況下對比分析使得返向器的性能分析更加貼合實際。

表5 滾珠絲杠副仿真工況

3 滾珠對兩種返向器的碰撞仿真分析

在高速、重載工況下，返向裝置受到滾珠循環、連續、快速的碰撞接觸和摩擦影響，導致返向裝置所受載荷高頻變化，工作溫升較快；在產生低頻噪聲與振動的同時，容易引發摩擦磨損、蠕變松弛、力學致熱、疲勞、屈服失效等各種力學失效現象，是影響滾珠絲杠副壽命的主要原因[9-10]。因此，有必要分析不同工況下滾珠對返向器的碰撞力的變化情況。

各工況下滾珠對返向器的接觸碰撞力仿真曲線如圖6、圖7、圖9和圖10所示。將各工況下的碰撞力曲線導入MATLAB中得到滾珠對返向器的接觸碰撞力峰值，如表6所示。

表6 不同工況下滾珠對返向器的接觸碰撞力

以下將含矩陣式返向器的滾珠絲杠副簡稱為Model 1，將含扁圓形返向器的滾珠絲杠副簡稱為Model 2。選取滾珠鏈的第一圈中最先進入返向器的一顆滾珠為研究對象，分析其循環運動過程中與返向器的接觸特性。

3.1 轉速對滾珠碰撞力的影響

當滾珠絲杠副受到恒定軸向力時，滾珠在額定轉速和低轉速工況下對返向器的碰撞力是不同的。

圖6 低速常載工況

圖7 額定轉速工況

結合表6和圖6(a)，當滾珠進出返向器時，會產生較大的沖擊碰撞力,在滾珠翻越絲杠滾道頂部時產生的碰撞力較小，即碰撞力分段現象。由圖7(b)和表6可知，額定轉速下滾珠對扁圓形返向器的碰撞力略大于低轉速下的碰撞力。

隨著轉速的增加，滾珠對矩陣式返向器的碰撞力增加量約為245 N，增加率為61.25%；滾珠對扁圓形返向器碰撞力的增加量為11 N，增加率為61.11%。

結合表6和圖6(b)可知，滾珠對扁圓形返向器的碰撞力在ns=400r/min時有遞減的趨勢，這是由于絲杠轉速較低，在0.1s后，即絲杠轉速達到恒定轉速后，出現滾珠運動的不連貫造成的，如圖8所示。

滾珠進入返向器推力主要來自于后面的滾珠。轉速較低時，滾珠與滾珠之間的間隙使得后面滾珠與前面滾珠的接觸時間較長，導致滾珠的入射速度降低，滾珠對返向器入口處的碰撞力減小。

圖8 運動過程中滾珠與滾珠之間的 間隙圖

3.2 軸向力對滾珠碰撞力的影響

該種含矩陣式返向器的滾珠絲杠副在實際使用中受到恒定軸向力。在軸向力作用下，滾珠的運動與受力狀態將發生改變，對返向器的沖擊碰撞也會產生較大影響。

結合表6和圖10可以看出，當滾珠絲杠副無軸向力作用，且驅動轉速ns=1 220r/min時，滾珠對兩種返向器的碰撞力皆<1N。

結合表6、圖6和圖9可知，在轉速恒定條件下，滾珠對矩陣式和扁圓形返向器的碰撞力隨著軸向力的增加而增大。隨著軸向力的增加，滾珠對矩陣式返向器的碰撞力的增加量為118 N，增加率為29.5%；滾珠對扁圓形返向器碰撞力的增加量為69 N，增加率為383%。

圖9 低速重載工況

圖10 對比工況

4 結語

1) 從位置結構方面，扁圓形返向器的軸向間距為1.5倍節距，而矩陣式返向器每個返向通道的中心距離為單倍節距，因此矩陣式返向器所需的螺母尺寸更小，該種滾珠絲杠副的結構更緊湊。

2) 由動力學分析可知，在不同工況下，滾珠對兩種返向器的碰撞力皆隨著轉速和軸向力的增加而增大；相同的工況下，滾珠對矩陣式返向器的碰撞力明顯大于滾珠對扁圓形返向器的碰撞力，但軸向力對扁圓形返向器的增加率遠大于矩陣式返向器。因此，含矩陣式返向器的滾珠絲杠副更適合于結構緊湊且短時工作的機構中，同時，在突變的工況下擁有更好的傳動平穩性。