考慮壓力溶解的酸壓裂縫長期導(dǎo)流能力模擬方法

李力 王潤宇 曾嶸 劉平禮 王茜 梁沖

1. 中國石油西南油氣田分公司工程技術(shù)研究院；2. 西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3. 中國石油勘探開發(fā)研究院

酸蝕裂縫導(dǎo)流能力預(yù)測(cè)模型對(duì)于酸壓效果的預(yù)測(cè)非常重要，Nierod 和Kruk 等人［1-3］使用白云巖進(jìn)行模擬酸壓過程時(shí)，通過酸蝕裂縫導(dǎo)流能力和巖石溶解量數(shù)據(jù)的對(duì)比，得到N-K 模型。N-K 經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式中的裂縫寬度是酸蝕裂縫理想縫寬，該模型考慮了閉合應(yīng)力、巖層上覆應(yīng)力、巖石溶解等因素，但未考慮巖性影響。Gomaa 等人［4］針對(duì)N-K 模型進(jìn)行了修正，給出了灰?guī)r地層、白云巖地層的修正公式。Gangi 等人［5］提出了“釘床模型”，運(yùn)用等效思想將裂縫壁面顆粒等效為等直徑，高度不同的柱狀體；該模型未考慮蚓孔、巖性、酸液對(duì)裂縫壁面刻蝕的影響。Tsang 等人［6］在孔隙模型中引入了粗糙度的概念，得到了一種理論上可以預(yù)測(cè)酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的模型，但在閉合應(yīng)力作用下裂縫粗糙表面會(huì)發(fā)生形變。Gong 模型［7］考慮了酸蝕作用對(duì)巖石強(qiáng)度、彈塑性的影響，還考慮了酸蝕作用對(duì)酸蝕裂縫粗糙壁面的影響，得到一種擬合程度高于NK 模型的計(jì)算方法，但該模型僅能描述中等尺寸的非均勻刻蝕且實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒有較好的重復(fù)性。牟建業(yè)等人［8］基于N-S 方程，以極短的步長求解壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)，但該模型并未考慮閉合應(yīng)力的作用。Deng 等人［9］在牟建業(yè)模型的基礎(chǔ)上加入了閉合應(yīng)力的影響因素。

國內(nèi)外關(guān)于酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的研究，并未著力于長期裂縫導(dǎo)流能力，在長期產(chǎn)能預(yù)測(cè)方面與實(shí)際有較大偏差。因此，考慮閉合應(yīng)力的作用，考慮裂縫壁面粗糙顆粒接觸后的溶解變形作用，建立了酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力計(jì)算方法，可以更加準(zhǔn)確預(yù)測(cè)酸壓后產(chǎn)能隨時(shí)間的變化規(guī)律。

1 裂縫長期導(dǎo)流能力模型

在碳酸鹽巖儲(chǔ)層前置液酸壓過程中，前置液壓開地層形成人工裂縫，人工裂縫在閉合應(yīng)力的作用下，寬度會(huì)不斷降低，導(dǎo)流能力也相應(yīng)逐漸減小。Yasuhara 等人［10］通過實(shí)驗(yàn)得到的裂縫寬度變化過程如圖1 所示。

圖1 酸壓過程中裂縫寬度的變化Fig. 1 Variation of fracture width in the process of acid fracturing

1.1 理論模型

在裂縫粗糙壁面接觸面上，受到閉合應(yīng)力影響，粗糙顆粒發(fā)生接觸變形、礦物溶解。溶解的礦物會(huì)沿著壁面水膜向孔隙空間擴(kuò)散。由于孔隙中溶質(zhì)濃度不平衡，擴(kuò)散的物質(zhì)隨后會(huì)在孔隙空間的自由面上進(jìn)行沉淀、溶解作用。壓力溶解過程和溶質(zhì)在自由面上的溶解過程是相互制約的。裂縫的寬度變化主要受礦物溶解過程、溶質(zhì)擴(kuò)散過程及自由面溶解-沉淀過程的影響，從而導(dǎo)致裂縫長期導(dǎo)流能力發(fā)生變化。壓力溶解過程如圖2 所示。

(1)礦物的溶解過程。粗糙裂縫接觸表面在進(jìn)行接觸時(shí)候，裂縫表面的粗糙顆粒在閉合應(yīng)力的作用下會(huì)發(fā)生溶解現(xiàn)象，而壓力溶解過程主要是受到裂縫中的化學(xué)勢(shì)的影響，且作用在裂縫孔隙壁面上的壓力為孔隙壓力。Revil 等人［11］、Heidug 等人［12］分別定義由礦物溶解引發(fā)應(yīng)變速率εdiss及裂縫中的化學(xué)勢(shì)差Δμ為

圖2 壓力溶解過程Fig. 2 Pressure dissolution process

式中，εdiss為應(yīng)變速率，s?1；Δμ為裂縫接觸面上的高應(yīng)力點(diǎn)和裂縫孔隙壁面的低應(yīng)力點(diǎn)的化學(xué)勢(shì)之差，J/mol；Vm為物質(zhì)的摩爾體積，m3/mol；K+為物質(zhì)的溶解速率常數(shù)，mol/(m2· s)；R為理想氣體常數(shù)，J/(mol · K)；T為系統(tǒng)溫度，K；d為粗糙接觸面直徑，m；σa為作用在裂縫接觸面上的真實(shí)壓應(yīng)力，MPa；Δf為裂縫接觸界面處和孔隙壁面處的摩爾赫姆霍茲自由能之差，J/mol；H為粗糙接觸界面的平均曲率，m?1；γ為單位粗糙接觸界面上的能量，J/m2。

當(dāng)裂縫內(nèi)反應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到熱力學(xué)平衡時(shí)，化學(xué)勢(shì)差?Δμ為0，作用在裂縫接觸面上真實(shí)壓應(yīng)力σa與臨界壓力σc達(dá)到相同，反應(yīng)停止［11］。

式中，σeff為有效應(yīng)力，為總應(yīng)力減去孔隙壓力，MPa；Rc為接觸面積比，總的接觸面積與裂縫總面積之比，無因次；Em為巖石熔化熱，J/mol；Tm為巖石熔化溫度，K；上標(biāo)eq 代表反應(yīng)平衡狀態(tài)。

巖石溶解線性流動(dòng)過程中，定義應(yīng)變速率為

整理上式得到溶解質(zhì)量通量dMdiss/dt為

物質(zhì)溶解速率常數(shù)k+與溫度間的關(guān)系為

式中，dMdiss/dt為溶解質(zhì)量通量，kg/s；ρg為巖石密度，kg/m3；dc為粗糙接觸面的直徑，m；為參考的溶解速率常數(shù)，mol/(m2· s)；Ea為溶解活化能，J/mol。

(2)溶質(zhì)的擴(kuò)散。巖石在接觸面溶解后，會(huì)通過擴(kuò)散作用從巖石表面擴(kuò)散到裂縫間的孔隙壁面上，一般使用擴(kuò)散通量來描述這一過程。濃度梯度越大，擴(kuò)散通量越大。根據(jù)Fick 第一定律，得到在半徑為r的圓型接觸面上的擴(kuò)散通量Jm為

式中，w為裂縫接觸界面上水膜的厚度，m；Db為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；C為擴(kuò)散物質(zhì)的體積濃度，kg/m3；dC/dx為擴(kuò)散物質(zhì)濃度梯度，kg/m4；r為圓形接觸面的半徑，m。

對(duì)x在h≤x≤dc/2 的范圍內(nèi)積分可得

擴(kuò)散系數(shù)Db與溫度之間的關(guān)系可以定義為

式中，dMdiff/dt為擴(kuò)散質(zhì)量通量，kg/s；h為一微小長度，其作用是避免在Fick 第一定律積分中出現(xiàn)奇異性，取值為初始粗糙度接觸面的直徑dc的1/1 000，m；Cint為裂縫接觸面處(x=h)溶解礦物的質(zhì)量濃度，mg/L；Cpore為裂縫孔隙空間中(x=dc/2)溶解礦物的質(zhì)量濃度，mg/L；D0為參考的擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；ED為擴(kuò)散活化能，J/mol。

(3)溶質(zhì)的沉淀和自由面的溶解。將巖石溶解物從裂縫孔隙向裂縫壁面自由面沉淀的速率定義為沉淀質(zhì)量通量，將巖石溶解物從裂縫孔隙向裂縫壁面自由面溶解的速率定義為溶解質(zhì)量通量［13］

式中，dMprec/dt為自由面沉淀質(zhì)量通量，kg/s；k?為溶解礦物的沉淀速率常數(shù)，s?1；Apore為裂縫孔隙的面積，其值為裂縫總面積減去裂縫接觸面積，m2；Ceq為平衡狀態(tài)時(shí)溶解礦物的質(zhì)量濃度，mg/L；m為反應(yīng)級(jí)數(shù)，取m=1；為自由面溶解質(zhì)量通量，kg/s；k+為溶解礦物的溶解速率常數(shù)，s?1。

1.2 裂縫接觸面模型

如圖3 所示，將裂縫表面接觸區(qū)域簡化為多個(gè)圓形接觸面，直徑為dc。受到閉合應(yīng)力作用，假設(shè)裂縫表面只受到無滑移的機(jī)械壓實(shí)作用可得

圖3 裂縫局部接觸表面示意圖Fig. 3 Sketch of local fracture contact surface

Yasuhara［14］通過分析裂縫剖面數(shù)據(jù)，提出了裂縫平均寬度和接觸面積比之間的關(guān)系式為

式中，b為裂縫平均寬度，m；br為裂縫殘余寬度，m；b0為裂縫初始寬度，m；Rc0為裂縫接觸點(diǎn)的初始面積比；a為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

1.3 裂縫寬度的計(jì)算

裂縫的寬度主要由溶解和擴(kuò)散過程及自由面溶解/沉淀過程貢獻(xiàn)的。對(duì)于溶解和擴(kuò)散過程有

通過上面一組方程可以得到Rc，代入式(15)可求得由裂縫粗糙接觸面上的溶解和擴(kuò)散作用引起的裂縫寬度變化bc(式15 得出的b值)，還需要計(jì)算在裂縫孔隙表面由于自由溶解和沉淀過程引發(fā)的裂縫寬度變化bF。

綜合上述計(jì)算，t時(shí)刻總的裂縫平均寬度為

1.4 裂縫內(nèi)溶解礦物濃度的處理

當(dāng)計(jì)算t時(shí)刻的裂縫平均寬度時(shí)，需要先得到t時(shí)刻Cint和Cpore的值。酸蝕裂縫閉合過程中，裂縫的閉合、壓實(shí)過程都受控于裂縫內(nèi)的物質(zhì)濃度。如圖4 所示，(1)、(2)、(3)分別代表裂縫接觸面溶解、擴(kuò)散和沉淀這3 個(gè)過程。這3 個(gè)過程分別對(duì)應(yīng)裂縫接觸面處的濃度Cint、裂縫孔隙空間中的濃度Cpore和裂縫壁面處的平衡濃度Ceq。其中(1)到(2)由擴(kuò)散作用決定，(2)到(3)由沉淀作用決定。

圖4 濃度變化過程示意圖Fig. 4 Sketch of concentration change process

Yasuhara 通過實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論［10］：成巖作用產(chǎn)生的沉淀礦物并不是長期導(dǎo)流能力損失的最重要原因，但這個(gè)過程真實(shí)存在。計(jì)算中忽略沉淀過程對(duì)裂縫寬度的改變，僅考慮擴(kuò)散作用影響得

式中，qi和Ci(i=1、2)分別為(1)、(2)處的質(zhì)量通量和濃度；VP為孔隙體積，m3。

將q1=dMdiss/dt，q2=0，C1=Cint，C2=Cpore帶代入式(23)并展開，可得酸蝕裂縫接觸面處的濃度Cint為

溶解礦物的轉(zhuǎn)移參數(shù)決定孔隙間濃度Cpore為

式中，Q為流量，m3/s；Δt為時(shí)間步長，s。

2 算例分析

結(jié)合以上研究，可分別計(jì)算溶解、擴(kuò)散、自由面溶解/沉淀過程中每個(gè)時(shí)間步長內(nèi)的裂縫導(dǎo)流能力變化。初始導(dǎo)流能力可以結(jié)合N-K 方程及初始裂縫寬度進(jìn)行賦值。經(jīng)過單時(shí)間步長計(jì)算后，可以得到更新后的裂縫寬度。該計(jì)算是在統(tǒng)一溫度系統(tǒng)中進(jìn)行耦合求解的，因?yàn)槿苜|(zhì)的平衡濃度Ceq一般是通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得，無法與溫度形成函數(shù)關(guān)系。通過編程求解，計(jì)算酸壓后每個(gè)時(shí)刻的酸蝕裂縫導(dǎo)流能力變化。模擬輸入?yún)?shù)如表1 所示。

表1 酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力計(jì)算輸入?yún)?shù)Table 1 Input parameters for calculating the long-term flow conductivity of acid-etched fracture

初始縫寬為5.52 mm 時(shí)，經(jīng)過500 d 的生產(chǎn)，縫寬變?yōu)?.17 mm。初期縫寬損失速度較大，后期趨于平緩，模擬結(jié)果如圖5 所示。通過N-K 方程可以計(jì)算出酸蝕裂縫導(dǎo)流能力。設(shè)定初始導(dǎo)流能力分別為30、40、50 μm2· cm 時(shí)，相對(duì)初始導(dǎo)流能力為20 μm2· cm 的情況，裂縫導(dǎo)流能力下降速度相對(duì)較快，且初始導(dǎo)流能力越高，導(dǎo)流能力下降速度越快，曲線最終都趨于平緩，如圖6 所示。其中，經(jīng)過300 d的生產(chǎn)，初始導(dǎo)流能力為50 μm2· cm時(shí)，下降了6.79 μm2· cm；初始導(dǎo)流能力為40 μm2· cm時(shí)，下降了5.40 μm2· cm；初始導(dǎo)流能力為30 μm2· cm 時(shí)，下降了4.03 μm2· cm；初始導(dǎo)流能力為20 μm2· cm 時(shí)，下降了2.65 μm2· cm。在生產(chǎn)300 d 到生產(chǎn)500 d 的范圍區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)流能力的降低非常緩慢，逐漸趨于穩(wěn)定。

圖5 初始導(dǎo)流能力為30 μm2 · cm 時(shí)裂縫中固定點(diǎn)寬度隨時(shí)間變化曲線Fig. 5 Variation of fracture width at the fixed point over the timeat the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

圖6 裂縫導(dǎo)流能力隨時(shí)間變化曲線Fig. 6 Variation of fracture’s flow conductivity over the time

如圖7 所示，隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，裂縫寬度會(huì)逐步減少，裂縫接觸面積比會(huì)逐步增大。這就造成了以下趨勢(shì)：隨著裂縫寬度的下降，裂縫導(dǎo)流能力下降，裂縫寬度下降速率放緩，裂縫導(dǎo)流能力下降速率放緩。

圖7 初始導(dǎo)流能力為30 μm2 · cm 時(shí)裂縫接觸比變化曲線Fig. 7 Variation of fracture contact area ratio at the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

圖8 裂縫局部長度的開度隨時(shí)間變化曲線Fig. 8 Variation of the opening of the local fracture length over the time

以單翼裂縫為研究對(duì)象，在圖8 中繪制出模擬生產(chǎn)1～500 d 時(shí)的裂縫開度曲線。縫口處的裂縫初始開度較大，裂縫間初始接觸面積比較小，裂縫接觸面上的有效應(yīng)力較大，壓力溶解作用較強(qiáng)，裂縫開度下降較快，模擬生產(chǎn)1～500 d 時(shí)，縫口處的裂縫寬度下降了0.36 mm。裂縫末端的裂縫間初始接觸面積較大，其壓力溶解作用相比于縫口處較弱，模擬生產(chǎn)1～500 d 時(shí)，開度僅下降了0.25 m。在模擬生產(chǎn)400 d 后，σa與σc之間的應(yīng)力間差異已經(jīng)非常微弱，壓力溶解反應(yīng)逐漸停止，裂縫開度下降速度逐漸平穩(wěn)。

如圖9 所示，裂縫之間的初始面積比對(duì)酸蝕裂縫的長期縫寬變化有著較大的影響：初始接觸面積比越大，相同施工條件和生產(chǎn)時(shí)間下，裂縫寬度變化越小；初始接觸面積比越小，相同施工條件和生產(chǎn)時(shí)間下，裂縫寬度變化越大。初始接觸面積比為0.1 時(shí)，經(jīng)過500 d 的生產(chǎn)，縫寬下降0.31 mm，相比于初始接觸面積比為0.03 時(shí)，縫寬同期下降0.53 mm。初始接觸面積越大，意味著裂縫壁面之間的接觸面積越大。在單軸壓應(yīng)力條件下，作用在裂縫接觸面上的真實(shí)壓應(yīng)力相對(duì)較小，壓力溶解作用相對(duì)較弱，裂縫壁面物質(zhì)損失量較少，縫寬變化幅度較小。

根據(jù)上面的研究內(nèi)容，通過控制單一變量的方法，對(duì)比分析考慮酸蝕裂縫導(dǎo)流能力變化的儲(chǔ)層壓降與定導(dǎo)流能力生產(chǎn)的儲(chǔ)層壓降。假定裂縫為100 m的雙翼裂縫，裂縫的初始平均寬度為5.38 mm，井的供給半徑為400 m，儲(chǔ)層的孔隙壓力為24.8 MPa，井底流壓為21.3 MPa。其他參數(shù)均設(shè)置為相同數(shù)值以保證模擬結(jié)果的可對(duì)比性，模擬生產(chǎn)200 d，模擬結(jié)果如圖10 所示。固定酸蝕裂縫導(dǎo)流能力所計(jì)算出的單井產(chǎn)能，比考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力變化的計(jì)算結(jié)果偏大。生產(chǎn)初期定導(dǎo)流能力條件下的單井日產(chǎn)能，比考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力變化的單井日產(chǎn)能多出20 m3/d。在生產(chǎn)200 d 時(shí)，這種差異變?yōu)?.4 m3/d。這部分的差異是由生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的裂縫寬度損失造成的。裂縫是儲(chǔ)層與井筒之間非常重要的溝通橋梁，裂縫寬度的變化會(huì)導(dǎo)致裂縫導(dǎo)流能力的變化，從而影響油氣滲流。

圖9 不同初始接觸面積比下酸蝕裂縫寬度變化Fig. 9 Variation of acid-etched fracture width at different initial contact area ratios

圖10 酸蝕裂縫導(dǎo)流能力與單井日產(chǎn)能關(guān)系曲線Fig. 10 Relationship between the flow conductivity of acidetched fracture and the single-well daily productivity

模擬生產(chǎn)200 d 后，得到如圖11 所示的儲(chǔ)層縱剖面壓力曲線，其中橫坐標(biāo)原點(diǎn)為井筒位置，考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力變化的壓力曲線與定導(dǎo)流能力壓力曲線都形成壓降漏斗。考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力變化的儲(chǔ)層壓力下降小于同時(shí)期恒定導(dǎo)流能力生產(chǎn)的儲(chǔ)層壓降。由于考慮了生產(chǎn)過程中酸蝕裂縫的寬度損失，壓降漏斗擴(kuò)展過程緩慢，儲(chǔ)層油氣資源動(dòng)用程度較低。由此可見，在進(jìn)行油氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模擬時(shí)，酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力變化的影響是不可忽略的，考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力的變化更貼近實(shí)際生產(chǎn)情況。

圖11 模擬生產(chǎn)200 d 后儲(chǔ)層壓力曲線Fig. 11 Reservoir pressure curve after 200 d simulated production

3 結(jié)論

(1)酸蝕裂縫初始導(dǎo)流能力越高，壓力溶解作用越強(qiáng)，裂縫導(dǎo)流能力下降的越快，導(dǎo)流能力曲線最終都趨于平緩，初始導(dǎo)流能力大小會(huì)影響穩(wěn)定后導(dǎo)流能力的高低。

(2)酸壓設(shè)計(jì)時(shí)需根據(jù)巖性選擇合適的酸壓工藝和施工參數(shù)，獲得比較寬且深的刻蝕溝槽，從而得到較大的初始接觸面積比，可以有效降低酸蝕裂縫縫寬損失，從而可以較長時(shí)間保持裂縫的高導(dǎo)流能力。

(3)在進(jìn)行酸壓前產(chǎn)能預(yù)測(cè)時(shí)，考慮酸蝕裂縫長期導(dǎo)流能力的變化會(huì)更加吻合實(shí)際情況，壓力溶解效應(yīng)對(duì)酸壓裂縫寬度變化所帶來的影響不可忽略。