不完全數據可靠性評估和壽命預測方法

傅惠民， 孫 丁

（北京航空航天大學 小樣本技術研究中心， 北京 100191）

0 引言

工程上經常遇到不完全數據， 機電產品外場使用中得到的壽命數據絕大多數屬于隨機截尾的不完全數據。如何對這類數據進行高置信度的可靠性評估和壽命預測，是工程上亟待解決的難題。 目前，主要采用極大似然方法對不完全數據進行統計分析[1，2]，但是無法進行高置信度的可靠性評估和壽命預測。 文獻[3]建立了無失效數據的可靠性評估和壽命預測方法，文獻[4]在形狀參數下限已知的情況下給出了Weibull 分布極少失效數據的可靠性評估和壽命預測方法。 本文在文獻[5]提出的不完全數據秩分布理論基礎上， 進一步建立一種隨機截尾的不完全數據可靠性評估和壽命預測方法， 成功解決了上述問題。

1 不完全數據可靠度置信下限

1.1 不完全數據的一般形式

在實際工程中，經常遇到表2 所示的不完全數據，即隨機截尾的不完全數據， 其特點是失效數據和中止數據交叉分布。

1.2 失效數據可靠度單側置信下限

設不完全數據來自分布F（t），則ti時刻的可靠度為

與完全數據的秩分布不同， 不完全數據秩分布需要考慮每個中止數據繼續進行試驗后的所有情況。 h（j+1）kr表示對于第i=nj+k 個失效數據， 如果在它之前的中止數據對應的試件繼續試驗，有且僅有r 個試件在ti前失效這一情況所占的比例。

由于H（RL，i）嚴格單調遞減，且可靠度單側置信下限RL，i位于區間[0，1]內，所以式（4）可以方便地通過二分法求解。

同理，若將式（4）中置信度改為1-γ，即可求得Ri的置信度為γ 的單側置信上限RU，i。

對于不完全數據中的中止數據可靠度單側置信下限也可類似計算[5]。

根據式（4）可以求得不完全數據中每一個失效數據ti對應的置信度為γ 的可靠度單側置信下限RL，i，i=1，2，…，nq，并列于表1。

表1 不完全數據中失效數據及其可靠度置信下限

對表1 中壽命及其可靠度置信下限數據進行擬合，即可得到其置信限曲線。

2 兩參數Weibull 分布不完全數據可靠性評估和壽命預測方法

設壽命t 服從兩參數Weibull 分布：

式中α 為形狀參數，β 為尺度參數。

2.1 兩參數Weibull 分布的置信限曲線

對于式（1）給出的來自分布F（t）的一組不完全數據，表1給出了其失效數據ti對應的置信度為γ 的可靠度單側置信下限RL，i，i=1，2，…，nq。 研究表明工程上許多情況，其可靠度單側置信下限RL（t）與壽命t 之間關系可用下式描述式中x=lnt，y=lnln[1/RL（t）]。 若式（1）給出的不完全數據來自兩參數Weibull 分布，則采用最小二乘法對表1 中數據進行擬合，分別求得αγ和βγ為

用于評估式（11）與表1 中數據擬合程度的線性相關系數為

2.2 兩參數Weibull 分布的可靠性評估

根據上面的置信限曲線RL（t），可以求得給定時刻t處可靠度R（t）的置信度為γ 的單側置信下限為

2.3 兩參數Weibull 分布的壽命預測

同樣根據置信限曲線RL（t），可以求得給定可靠度R時，置信度為γ 的可靠壽命tR的單側置信下限為

3 三參數Weibull 分布不完全數據可靠性評估和壽命預測方法

設壽命t 服從三參數Weibull 分布：

式中α 為形狀參數，β 為尺度參數，ε 為位置參數。 判斷式（1）給出的不完全數據是來自兩參數Weibull 分布還是三參數Weibull 分布，可令表1 中的γ=0.5，再通過下面的方法求得ε 的估計值ε0.5，若ε0.5＝0，則為兩參數Weibull 分布，否則為三參數Weibull 分布。

3.1 三參數Weibull 分布的置信限曲線

研究表明，若式（1）給出的不完全數據來自三參數Weibull 分布，則其可靠度單側置信下限RL（t）與壽命t之 間關系仍可用式（11）描述，此時式中x=ln（t-εγ），y=lnln[1/RL（t）]。 同樣，采用最小二乘法對表1 中數據進行擬合，得到αγ和βγ仍分別由式（12）和式（13）給出，并通過使其線性相關系數rγ的絕對值最大，推導出εγ的計算公式為[6]

3.2 三參數Weibull 分布的可靠性評估

根據上面的置信限曲線RL（t），可以求得給定時刻t處可靠度R（t）的置信度為γ 的單側置信下限為

即滿足式（23）。

3.3 三參數Weibull 分布的壽命預測

同樣根據置信限曲線RL（t），可以求得給定可靠度R時，置信度為γ 的可靠壽命tR的單側置信下限為

此時滿足式（25）。

4 對數正態分布不完全數據可靠性評估和壽命預測方法

設對數壽命x=lgt 服從正態分布，其分布函數為

式中μ 和σ 分別為對數壽命均值和標準差，Φ（·）為標準正態分布函數。

4.1 對數正態分布的置信限曲線

同樣工程上許多情況，其可靠度單側置信下限RL（x）與對數壽命x=lgt 之間關系通常可用下式描述

4.2 對數正態分布的可靠性評估

根據上面的置信限曲線RL（x），可以求得給定時刻x=lgt 處可靠度R（x）的置信度為γ 的單側置信下限為

4.3 對數正態分布的壽命預測

同樣，根據置信限曲線RL（x），可以求得給定可靠度R 時置信度為γ 的可靠壽命xR的單側置信下限為

此時式（25）成立。

5 算例

表2 給出了某型發動機葉片壽命試驗數據[7]，從中可以看到它們為隨機截尾的不完全數據， 該葉片壽命服從Weibull 分布。 下面采用本文方法對其進行高置信度的可靠壽命預測。 首先根據本文1.2 節方法，求得表2 中每一個失效數據ti對應的置信度γ=0.90 的可靠度單側置信下限RL，i，亦列于表2。 再根據本文第3 節方法，求得γ=0.50時，ε0.5＝6489， 由此可知該組不完全數據來自三參數Weibull 分布。 然后求得其置信度γ=0.90 的可靠壽命單側置信下限曲線為

表2 某型發動機葉片壽命試驗數據及其可靠度置信下限

6 結論

針對工程上常見的隨機截尾的不完全數據， 本文給出了不完全數據中失效數據的可靠度置信下限計算公式， 建立了可以對其進行高置信度可靠性評估和壽命預測的方法。

對工程上常用的兩參數Weibull 分布、三參數Weibull分布和對數正態分布進行了詳細討論， 給出了其高置信度、高可靠度的不完全數據置信下限曲線，建立了不完全數據可靠性評估和壽命預測公式。

對于任意連續分布的情況， 可先由本文方法求得不完全數據中每一個失效數據對應的可靠度單側置信下限，然后采用文獻[6]方法得到其置信限曲線，再進行可靠性評估和壽命預測。