利用雙線性應力-應變模型求解管道爆裂壓力

杜改平

（太原鍋爐集團， 山西 太原 030008）

引言

解析解在力學的各個領域都有價值，為數值模擬程序的建立以及實驗程序和裝置的校準提供了基礎。當解析解不能用數學方法描述時，可以使用數值模型或實驗測量等基本方案解決。如在缺口效應區域，存在平板中圓形或橢圓形孔的應力分布狀態的解[1]。數值模擬求解了較為復雜的切口形狀的解析解。在壓力容器領域中，對于承受內部壓力的圓柱形容器有解析解。解在彈性和彈塑性區域都是已知的。在本文中，解析解以彈塑性容器中直至破壞的受壓圓柱容器的縮寫形式提供，從而可以為使用的雙線性材料模型計算爆破壓力。腐蝕引起的局部壁厚減薄，可以通過數值模擬來解決，該數值模擬通過具有理想幾何形狀的壓力容器的解析解進行驗證。

蒸汽鍋爐在目前的生產和應用中使用非常廣泛，本文以鍋爐汽水管道的變徑管道為例，由于鍋爐在運行過程中，會產生壓力和腐蝕破壞，以往對鍋爐管道形變分析通常以熱應變進行分析，本文對管道進行數學模型分析和三維應力分析，再進行爆破試驗和腐蝕件試驗，從而得到一個符合實際情況的結果，對鍋爐管道在運行工作狀態中起到參考作用，從而減少爆管情況的發生。

1 壓力容器的彈塑性應力-應變狀態的求解

在鍋爐汽水管道中，變徑管道通常使用合金鋼鑄造，連接處采用焊接，在實際運行過程中，由于工質水受熱在汽化過程中體積會發生膨脹，從而對管路系統造成一定的沖擊，導致管道容易發生一系列形變[2]。因此在彈塑性應力和應變的推導過程中，應考慮到材料的不可壓縮（v=0.5）和材料的塑性應變發生在總體積不變的情況，并且材料的體積變化始終是彈性變化的狀態。如圖1所示，z軸沿容器軸方向定向，r1和r2分別為彈性區域和塑性區域的邊界處的半徑。

圖1 內壓作用下圓柱形容器壁單元受力及變形

根據小彈塑性變形理論（均勻各向同性材料的擴展胡克定律），圖1為內壓作用下圓柱形容器壁單元受力及變形。我們可以將方程寫成：

式中：εr為徑向應變；εt為切向應變；εz為軸向應變；εi為正應變；σr為徑向應力；σt為切向應力；σz為軸向應力；σi為正應力。

正應力強度（有效應力）與應力偏差的第2個不變量有關，如公式（2）所示：

式中：τi為切應力；I2為力矩；Dσ為應力面積；σ1為徑向應力；σ2為切向應力；σ3為軸向應力。

選擇法向應力的強度，以獲得最大張力σ1=σi應變強度（有效應變）由以下公式給出：

式中：Dε為應變面積；ε1為徑向應變；ε2為切向應變；ε3為軸向應變。

式中：P0為中心受力；r1為內徑；r3為外徑；r為中徑。

作用于上頁圖1元件上的平衡方程可寫為：

式中：dφ為角度變量；dσr為應力變量；dr為半徑變量。

利用式（4）和式（5）求法向力方程：

式中：p1為內部壓力；p2為外部壓力。

根據式（2）求應力強度：

根據式（3）求應變強度：

式中：u為變形量；du為單位變形量。

消去u，可得到應變的微分方程：

式中：dεt為單位切向應變

通過對式（9）求解，我們得到了以r2為半徑的封閉圓柱容器的基本方程：

式中：dεt為單位徑向應變；σK為材料應力臨界值；r2為形變半徑；G為材料剪切模量。

以σi=f（εi）的函數形式計算切向應力和徑向應力，圖2為拉伸有效解析雙線性材料模型。

式中：h為應力比值。

將關系（12）放入等式（11），并應用物理上清晰的邊界條件：

可以在彈性塑性區域r1≤r≤r2獲得徑向和切向應力的關系：

圖2 雙線性材料模型參數

式中：σrp為塑性區域徑向應力；σtp為塑性區域切向應力。

通過方程得到了應力和應變之間的函數關系，作為后文比較依據。

2 爆破壓力求解

本節內容將確定壓力容器的爆破壓力，由于鍋爐管道的爆管情況發生較多，本節內容的管道是在沒有缺陷的情況下發生爆裂。為了確定爆破壓力，必須考慮容器的整個橫截面是否處于可塑狀態[3]，因為鍋爐管道受熱產生形變，在發生爆破的同時，管道壁溫度較高，管道通常處于可塑狀態。可以修改推導方程：

對于雙線性材料模型（式12），使用應力強度和應變強度之間的關系，應用塑化時的恒定體積條件（V=0.5）并根據邊界條件計算積分常數：

根據Hubert-Mises-Hencky準則可以獲得破壞性壓力的結果關系：

式中：σred為爆破應力。

同時根據式：

橫截面完全可塑化的爆破壓力：

本節得到了壓力容器發生過度塑性變形導致爆裂的數學模型，作為下文的比較依據。

3 爆破壓力的數值解與實驗解對比

利用有限元分析軟件ANSYS對管道模型進行數值求解，該軟件有較豐富的情況模型和精確的分析結果[4]，首先選擇壓力容器的尺寸和形狀，尺寸采用130 t高壓鍋爐的主蒸汽下降管尺寸，并且外型存在焊接變徑，得到其具體數據使壓力容器在實驗室條件下也能達到破壞壓力。選擇圓柱形管道的幾何形狀，使其在壓力下出現的塑性應變發生在中間的錐形部分外底和焊縫區域。

在這個壓力容器模型中，實驗分別測試了實驗管道的幾何尺寸（管道縮窄的長度，管道中較粗和較薄部分的長度之比）對變形結果的影響。通過在規定焊接區域的節點的相同位移，分別模擬了容器底部與容器較厚部分之間的焊接效果。通過試驗結果表明，焊接作業中所產生焊縫在焊縫質量符合焊接標準的情況下[4]，對壓力容器的形變影響很小，對壓力容器錐形部分的變形影響不大，可以進行忽略。

對材料進行拉伸破壞實驗，材料拉伸曲線（通過直接測量）重新計算的真實應力近似為雙線性材料模型，如圖3。材料表現出正交各向異性行為，而且在材料的拉伸過程中，切向方向上的抗拉強度比在軸向方向上的抗拉強度高約10%。

圖3 用于有限元數值模擬的材料模型

測試壓力容器破裂壓力的兩個試件由150×8管道精車削制成，管道材料為碳素合金鋼，試件的尺寸內徑為143 mm，壁厚為4 mm，焊接環面底部。實驗過程中，首先通過電液脈動儀測得了破壞壓力容器試樣所需的油壓[5]。具體操作時在機架上夾緊直線液壓馬達（80/50/125），壓縮活塞面 5 026.5 mm2，將脈動器施加的力轉化為油壓。通過實驗得到的破壞壓力的結果，以及143 mm內徑和4 mm壁厚的解析關系的結果，和采用不同的比較準則，以及采用有限元法建立的數值模型的結果如表1所示。

表1 爆破壓力結果

根據表1中顯示，對于圓柱容器的解析度和數值解的一致性較高，以及與實驗模型相對應的密閉圓柱形容器的解析解與數值也有很好的一致性[6]。實驗確定的爆破壓力值比雙線性材料模型的解析解和數值解高出近4%。實驗結果表明，與Tresca準則相比，Huber Mises-Hencky準則的選擇與現實（對于給定類型的任務和材料）更符合實際情況。

4 有腐蝕缺陷的管子爆裂

采用與之前相同的壓力容器試樣，模擬管道在腐蝕情況下的爆裂情況。模擬情況主要有模擬面積為41 mm（25 mm寬）、24 mm、35 mm并且壁厚為壓力容器75%壁厚且方向是沿容器軸線方向減薄時的破裂壓力。所采用的材料模型、有限元模擬程序和爆破壓力的實驗測量方法與之前的試驗和模擬方法相同。表2為通過實驗得到的腐蝕缺陷管道試樣的破裂壓力值。

表2 具有腐蝕缺陷的管道試樣破裂壓力的比較 MPa

最高的爆破壓力是通過實驗獲得的真實壓力。因此可以認為，用數學模型或者有限元分析得到的壓力可以進行參考依據，并且存在一定的安全裕量。計算標準使用H-M-H分別以6.5%、10%和11%準則的數值計算最接近這些真實值（使用Tresca準則與實驗值相比，破壞性壓力值的差異顯著）[7-8]。根據標準的關系計算得出的爆破壓力值相差20%以上（標準DNV-RP-F101），相差30%以上（ASME B31G標準）。

根據ASME（美國機械工程師協會）標準（DNV）所獲得的相對較高的破裂壓力。然而，在數值模型中，所有的因素都可以被考慮進去，以確定更接近其真實值的破壞性壓力。因此，數值模型是一種很好的工具，可以合法地幫助延長受損管段的使用壽命，從而建立更現實的安全價值[9]，防止破壞這些管段。通過本次試驗和分析可以對鍋爐的汽水管路進行預處理或者尺寸處理，保證其在運行中的安全。