“同心協力”控制策略模型研究

彭嶼雯　肖琴

摘要：“同心協力”（又稱“同心鼓”）是一項團隊協作能力拓展項目，本文結合相關基本物理力學知識——沖量定理、力向一點平移定理、剛體定軸轉動微分方程和碰撞的恢復系數公式等，建立了排球與鼓面碰撞的碰撞數學模型和鼓面傾斜角度數學模型。

關鍵詞：沖量定律;碰撞的恢復系數;差分法;剛體定軸轉動微分方程

中圖分類號：G634.7文獻標識碼：A文章編號：1672-9129（2020）06-0185-02

Abstract："gungho"（alsoknownasthe"concentricdrums"）isateamcooperationabilitydevelopmentproject，thispapercombinedwiththebasicphysicalandmechanicalknowledge-impulsetheorem，forcetoalittletranslationtheorem，thedifferentialequationofrigidbodyfixedaxisrotationandrecoverycoefficientformulaofcollision，volleyballcollisionswithraisedcollisionmathematicalmodelisestablishedandtheraisedAnglemathematicalmodel.

Keywords：thelawofimpulse;recoverycoefficientofcollision;differencemethod;differentialequationofrigidbodyrotationwithfixedaxis

1問題的提出

“同心協力”項目的道具是牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項目開始，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員同心協力將球顛起，使其有節奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸其他位置。項目所用排球270g。鼓面直徑40cm，鼓身高度22cm，鼓重3.6kg。隊員不少于8人，隊員之間距離不小于60cm。項目開始時，球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，球被顛起的高度應離開鼓面40cm以上，如低于40cm，項目停止。需使連續顛球的次數盡可能多。

建立數學模型解決問題：

（1）理想狀態，每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，試討論這種情形下團隊的最佳協作策略，給出該策略下的顛球高度。

（2）在現實情形中，隊員發力時機和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，于是鼓面可能出現傾斜。建立模型描述隊員的發力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系。設隊員人數為8，繩長為1.7m，鼓面初始時刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時下降11cm，表1中給出了隊員們的不同發力時機和力度，求0.1s時鼓面的傾斜角度。

（3）在現實情形中，根據問題2的模型，在問題1中給出的策略是否需要調整？如果需要，如何調整？

2模型假設

（1）每名隊員只控制一根繩;

（2）鼓與球之間的碰撞彈力遠大于摩擦力和重力，對球的影響忽略不計;

（3）鼓的質量遠大于球的質量，碰撞力的大小完全由鼓的質量、大小和初速度決定;

（4）假設排球與鼓面碰撞的恢復系數與人造革PVC材料的恢復系數一致;

3符號說明

4模型的建立與求解

4.1問題一。由題意，牛皮鼓質量mD遠大于排球質量mB，由動量定理，鼓面在碰撞結束后的vDO=0，本文將牛皮雙面鼓與排球碰撞過程看作排球從高處自由落體到鼓面，得到排球與鼓面的碰撞時間為△τ[1]

注：查資料知，鼓面與排球碰撞的恢復系數e和人造革PVC材料的恢復系數相近，取e=0.86[3]

針對排球碰撞鼓面前的運動過程，使用速度位移公式

存在排球與鼓面碰撞的恢復系數計算公式[2]：

計算可得速度vDI

為節省人手，我們由8人拉鼓，結合動量定律，可以得到鼓與排球碰撞時的鼓面與排球之間的接觸力FN，初狀態隊員們對繩的拉力FT與繩和水平面的夾角θ0之間關系。建立模型：

編程求解，可得在給定顛球高度，發力方向和發力角度的對應值。

4.2問題二。

對隊員進行編號，并得到初始位置各隊員的拉力T0，繩與水平面角度θ0。

本題建模以剛體定軸轉動微分方程為中心，求解在表中各情況下的0.1s后，鼓的傾斜角度θ。

（1）無隊員提前用力：

將0.1s分為十等份，每份0.01s，第k份時的鼓面傾角為θk，0.1s時的鼓面傾角θ=θ10：

用以上公式聯立求解。

（2）有隊員提前用力：

該模型建立需要分步完成過程中的鼓傾角變化。

第一步：部分隊員提前0.1s過程中拉繩，鼓傾斜角為θa。

根據公式

可以求得θa。

第二步：全部隊員一起用力作用于鼓的0.1s中，令θ01=θa+θ0，Fr21，Fr1分別為這0.1s內的兩個方向的合力，該過程鼓傾角為θ：

4.3問題三。

建立模型：

情況1：鼓處于水平，球豎直下落，假設的鼓一直處于水平，則球反數值下落，利用問題1

情況2：鼓因發力時機等原因出現傾斜，前后的過程合力方向沿一條直線，利用問題2

情況3：鼓因發力時機等原因出現傾斜，前后過程合力方向不沿一條直線，則建立一個下x，y，z軸的三維空間立體模型，θ與情況2相同，可得θ。

鼓在三維空間立體模型中，沿垂直于X軸的方向的轉動慣量J2[2]為：

由剛體定軸轉動微分方程[2]可得下式：

通過模型求解結果來看，本文建立模型忽略摩擦力，空氣阻力等的影響，現實中，空氣阻力等諸多要素都應考慮。但是可以通過多次實驗測得實際情況，將實驗值與模型求解理論值進行比較，并作誤差分析，改進模型。

參考文獻：

[1]鄭煥武.自由落體與地面之間作用力公式的推導.出版地：西昌學院學報·自然科學版，200703

[2]范欽珊主編.理論力學.出版地：清華大學出版社，2004

[3]百度文庫.各材料的恢復系數.