考慮視場角的飛行時間和末端傾角控制導引律

康 珅，趙 洪，卜奎晨，高 峰，鐘婧佳

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

近年來隨著飛行器性能的提升，對飛行器航跡規劃的要求日益提高，某些特殊場景中，既要求飛行器從特定的方向到達目標點，又希望控制飛行器的飛行時間。針對多約束航跡規劃需求，本文重點研究視場角受限情況下的飛行時間和末端傾角控制導引律。

相對于分別研究末端兩項運動學約束的文獻，針對同時滿足飛行時間和末端傾角約束的導引律研究相對較少。文獻[1]、[2]中提出的方法采用相似的多約束導引律設計思路，首先設計最優末端傾角控制導引律，之后估計該導引律的飛行時間，再根據估計飛行時間與期望飛行時間之差進行反饋，形成飛行時間控制回路。文獻[3]設計了二階滑模控制律用于跟蹤期望的視線角曲線，并對視線角曲線進行航跡成型設計，從而同時滿足了飛行時間和末端傾角約束。文獻[4]采用彈目距離擴展多項式生成導引指令，并通過線性化模型將期望約束與多項式系數關聯從而求解系數表達式。文獻[5]采用滑模導引律跟蹤虛擬目標的方法實現了對移動目標點的飛行時間和末端傾角約束導引。

本文采用任意階時間多項式設計前置角變化曲線并將飛行時間和末端傾角約束轉化為多項式邊界條件，形成了帶有飛行時間和末端傾角約束的導引律，相比現有文獻中方法，主要有如下優點：a）飛行控制總消耗更接近最優解；b）用戶可調參數物理意義明確；c）導引律結構簡潔，有利于實現視場角約束。

1 問題描述

本文考慮二維質點運動，以縱向平面為例，考慮飛行器M 和目標點T ，二者相對運動關系如圖1 所示。

圖1 飛行器-目標點相對運動幾何關系示意Fig.1 Engagement Geometry of Planar Guidance

飛行器法向加速度a 垂直于飛行器速度矢量，不改變其數值大小V 。前置角ε 與視線角、傾角之間的關系可表示為

則飛行器的運動可由如下微分方程描述：

式中 r 為飛行器至目標點相對距離。

本文探討飛行時間和末端傾角約束導引律，設計導引律控制飛行器以期望的傾角、在期望的飛行時間到達目標，即設計導引指令γ˙，對于給定的期望傾角 γd和期望飛行時間 td，當且僅當t = td時有r= 0，且同時滿足 γ = γd。

2 前置角多項式與導引指令

本文采用時間多項式設計前置角變化規律。由于所處理的問題帶有末端傾角和飛行時間兩個隱式約束，因此提前預留兩個多項式系數進行用于滿足該約束，將前置角變化規律定義為n+2 階時間多項式：

式中 n 為正整數； κn+2,κn+1, …κ0為待定系數。為確定這些系數，需給出適當的邊界條件。首先式（5）必須滿足前置角初始條件，即：

式中iε 為前置角初始值。其次，為保證命中目標，需定義前置角終端條件：

除去飛行時間和末端傾角預留的兩項系數和邊界條件式（6）、式（7），式（5）中剩余n ?1 個系數待定，因此補充前置角終端條件如下：

至此，除可確定n+ 2階多項式中n 個系數，剩余2 個用于滿足期望約束。由式（1）可知，可以通過量測獲得時，生成導引指令γ˙僅需要前置角變化率。考慮式（5）對時間的導數，并認為和，將其改寫為閉環形式：

顯然為得到ε˙需確定 κ1。將多項式最高階項系數κn+2和次高階項系數κn+1視為自由系數，用于控制飛行時間和末端傾角。則將邊界條件代入式（5）得到閉環前置角變化率與多項式階數n 的關系，應用數學歸納法得到：

式中 td為期望命中時間。

式（10）對時間積分，并代入初始條件式（6）得到前置角函數為

為控制飛行時間以及末端傾角，后續步驟需上述兩約束確定式（11）中的系數κn+1和κn+2，即導引系數。

3 導引律設計

3.1 線性化導引系數

線性化導引模型需要假設飛行器速度在水平方向上恒定不變，飛行器僅在垂直方向進行修正機動，如圖2 所示。

圖2 線性化導引模型示意Fig.2 Linearized Engagement Geometry

定義y 為垂直偏差，則傾角與視線角可表示為

綜合式（11）、（13）～（15），并令t =td可得到傾角表達式為

上式準確表達了線性化模型中的末端傾角約束。繼續建立飛行時間約束方程并確定κn+1。

將飛行軌跡長度表示為

式中 xf為距離目標點的水平長度。之后假設飛行時間與水平距離線性相關，可解得：

綜上，κn1+和κn+2確定后，前置角多項式（5）中所有系數均確定。

3.2 導引系數更新

對于準確描述實際問題的非線性導引模型，直接應用經過上述簡化計算而得出的結果，難免引入線性化誤差，對各項導引控制品質造成負面影響，導致導引精度降低。因此本節中給出導引系數κn1+和κn+2的在線更新方法。

考慮當前時刻視線坐標系中的距離關系，有：

以當前時刻為時間零點，則期望的飛行時間應扣除已飛行時間，有：

同時，以當前時刻飛行器各狀態的當前值替換初始值：

期望的末端傾角應變換至當前視線坐標系，根據角度關系有：

應用上述替換，式（19）、式（17）和給出的導引系數可改寫為

可解得以當前狀態更新的導引系數κn+1和κn+2，從而使導引律式（12）閉環。

4 仿真結果

4.1 視場角約束設置

本文認為飛行器攻角相對于前置角較小，將飛行器視場角約束近似為航跡前置角約束。給出如下切換條件用于實現視場角約束：

其中ε˙由式（10）計算得到。式（29）的物理意義如圖3 所示，當前置角的值進入寬度為ρ 的限制區域內，并且有繼續發散的趨勢，將前置角的變化律置零，導引指令退化為；當前置角變化率趨于收斂，允許式（12）生成的導引指令繼續控導引彈。

圖3 視場角約束示意Fig.3 Concept of Field of View Constraint

4.2 仿真算例

4.2.1 時間和傾角控制

本組算例中，飛行器的期望飛行時間固定為td=30 s，各子算例期望傾角和控制總消耗dt如表1 所示。子算例在導引律中均使用n=1，并與控制總消耗最優結果進行對比，表中k/k'分別表示本文所提出方法和數值計算最優結果。由表可知，各仿真條件中，所提出的導引方法控制總消耗與最優結果僅相差7%以內。彈道、傾角、前置角、加速度曲線分別如圖4～7所示。

表1 仿真算例1 控制總消耗結果Tab.1 Total Control Effort of Case1

圖4 算例1 彈道曲線Fig.4 Trajectory of Case 1

圖5 算例1 彈道傾角曲線Fig.5 Flight Path Angle Profile of Case 1

圖7 算例1 加速度曲線Fig.7 Acceleration Profile of Case 1

4.2.2 帶有視場角約束的時間和傾角控制

本組算例中，期望飛行時間 td=30 s，期望傾角γd= 0。視場角限制設置為 εmax=?εmin=50°，限制區域ρ=2°。飛行器自動駕駛儀延遲時間常數設置為τ =0.2 s。飛行器飛行時間誤差和期望傾角誤差如表2所示。其中2-1 開啟視場角約束式（29），2-2 關閉視場角約束。彈道及視場角曲線分別如圖8、圖9 所示。由圖8 可知，約2 s 時，視場角達到預設值，2-1 將視場角限制在了50°之內，而2-2 超出了視場角限制。由表2 可知，視場角約束方法式（29）對飛行時間和末端傾角的影響較小。

表2 仿真算例2 導引誤差結果Tab.2 Summary of Guidance Error

圖8 算例2 彈道曲線Fig.8 Trajectory of Case 2

圖9 算例2 視場角曲線Fig.9 Look Angle Profile of Case 2

5 結 論

本文采用時間多項式設計前置角變化規律，提出了帶有飛行時間和末端彈道角約束的導引律。引入前置角初始條件和命中目標的終端條件，使多項式中待定系數減少至兩個，用于控制飛行時間和末端傾角。之后在線性化模型的基礎上，引入末端彈道角作為終端約束，建立了兩個系數之間的聯系，使待定系數減少至1 個。采用在線更新導引系數的方式，根據碰撞幾何及彈目相對運動關系的變化不斷更新線性化模型，得到了閉環形式導引律。仿真結果表明，所提出的導引律在控制總消耗上十分接近最優結果，能夠在視場角受約束情況下，有效實現對飛行時間和末端傾角的控制。